第12章测试卷答案

1、精品文档第十二章无穷级数测试卷、填空题:1 .若数项级数Unun收敛，则limun=0.n4n,二收敛1二2 .若数项级数UUn的通项满足|Un区F，则工Un是.n4nn4QO3 .若数项级数1tqn,当|q|<1时收敛,当|q|之1时发散.n44 .若哥级数Uanyn的收敛区间为(-9,9),则哥级数£一an(x3)2n的收敛区间n0n=0为(0,6).一二n111-15 .级数Z(-1)二三的部分和Sn=-2+(-1)n-Lj，此级数的和为2n"ocn_322/3.:1二2二1-26,已知级数£-2=，则级数12的和等于.nmn6n3(2n-1)8八.7

2、2n17 .幕级数Znx的收敛半径R=愿nm2n(-3)n一一精品文档ln 3、(-1)nn 18 .函数f(x)=ln(3+x)在x=0点展开的哥级数为一9a9 .函数f(x)=nx+x(一冗"xyn)的傅里叶级数为一+Z(ancosnx+bnsinnx)2nm2,则系数b3=b3=一二310 .周期为2的函数f(x),设它在一个周期匚1,1)上的表达式为f(x)=|x|,且它的傅里叶级数的和函数为S(x),则S(-5)=1、单项选择题:1.当条件( A )成立时，级数Z (Un +vn) 一定发散.n 1cOB. Z Un发散;n 1QOcdA.£Un发散且£

3、Vn收敛;n1n1oOC. vn Vn 发散;n 1cOcOA. Z Un发散，则£ Vn发散;n =1n =1oOooBo Z Un收敛，则工Vn收敛;n z1n =1oOoOC. Z Un发散，则£ Vn收敛;n 旦n q1oOqODo Z Un收敛，则£ Vn发散.n旦ng1 二 13. =£ F(x+1)n在区间(2 -x n 用 3D )上成立.A.(-1,1)；od2 一 4.若级数工an收敛,n 1B.(-3,3);二 a则v(n i nC.(-2,4);A )D.(-4,2).(A)绝对收敛(B)条件收敛5.下列级数中，条件收敛的是 (C

4、(A) /(-1)nY)nn 13(C)发散(D)收敛性不定)(B) 1-1)n一一nw n 2oO(C) (-1)2n 1(D)V (-1)1 Anm5n36.设 Un = ( T)n1,ln(1 +-=),则(,nA. Z Un与Z U2都收敛;n法n 1B. £ Un与£ U2都发散;n 1n 1QOC. £ Un收敛,n至QOZ U2发散;n 1D. Z Un发散，工U2收敛n 1n 1oOoOD.£Un和zVn都发散.n1n1QOQO2.若两个正项级数£un、2vn满足unWvn(n=1,2,)则结论(A)是正确的n1n1九 W(0q

5、),/、n,、则级数 (-1) (ntan )u2nn 1n0a7 .设Un>0(n=1,2,)且ZUn收敛，常数n1为(A).A.绝对收敛；B.收敛性与人有关C.条件收敛；D.发散.8 .级数工(1)n(1cos)(常数儿>0)(C).n1nA .发散；C.绝对收敛;B.条件收敛；D.收敛性与九有关.二n1(x_a)n.9 .若级数£(-1)-在x0处发散，在x=0处收敛，则常数a=(n4nD. -2A.-1;10.若f(x)是以2兀为周期的连续奇函数，则f(x)的傅里叶系数计算公式是(A.an= 0(n =0,1,2, ), bn二一 f(x)sinxdx (n =

6、1,2,)； 二。B.anC.an1 二f (x)cosnxdx (n =0,1,2, ),bn =0 (n -1,2,)； 二02 二= 0(n =0,1,2, ),bn = f (x)sin nxdx (n =1,2，);二0D.an2 7二一 f (x)cosnxdx (n =0,1,2, ),b 二0n = 0 (n =1,2,).QO三、利用定义判定级数工(Jn+2-2VM+Vn)的收敛性.nW解：Sn=33,2)-(.2-1)-(,4-,3)-(.,3-,2)一,(、.n2fh-1)-(、.n1-'-'n)=1-,2:;vn2-n-1,n 2+Jn 1t 1 一城2

7、 (nT°o)即原级数收敛.qQn=1n四、判定级数工(sin)的收敛性.解：因为un-sin->0是正项级数，且lim空警=同上学Jnnxwx3x03x26所以un=(_一sin)-：(一)3；1(n；=：)vnnnn6°°TT又£(2)3收敛，故比较审敛法的极限形式知原级数收敛n1n五、判定级数oOzn1n32(一1)丁的收敛性.解:因为Unn32，(T)nnn3(、21)n3n3n=Vnn. Vnn'n3(V2+1)1+"；2=>:二1(n')ITcQ六、设an=Ftannxdx，求Z,(an+ant)的值.0

8、n3n11n2斛：因为Un=(an-an2)二一4tanx(itanx)dxnn01/441n2.1.n.1=-4tanxsecxdxtanx=ttdt=n0n0n(n-1)又&=ZF7747=二；t1(n-joo),所以级数£)a+an卡)=1.kJ(k1)n1nJcOcOcO七、设级数£an、£bn都收敛且an<Cnwbn(n=1,2,),求证：级数£Cn收敛.n4nz1n=4解：由an<cnEbn得0Ecn-an<bn-an.oOoOoOoO又£an与Zbn都收敛，故正项级数Z(bn-an)收敛，再由比较审敛法知

9、£(Cn*n)收敛,n=1n4n1n=1qQqQ所以级数工Cn=Z(Cn-an)+an也收敛.n4n1二3n(_2)n八、求哥级数33一(2Lx2n的收敛域.解：不妨求出:二 o n- 32n'xd n n=in1n，与工CLx2n，的收敛区间分别为(-,)J1-X,-,再利n：n3.3.22用哥级数的运算性质,在其公共部分11，一，一 ，(-3,)上原级数是收敛的,33即原级数的收敛区间为cd九、求哥级数Z (-1)2n 12n -1的收敛域及和函数解：收敛域-1,1,和函数 s(x) = arctan x.厂2nxx十、设f(x)=£,(g£x

10、3;g)不求和函数，试将ftf(t)dt积分用f(x)表示出来.nmn!0x解：0 tf (t)dt0O八n zQt 2n I出6 /t 112n 2二 -x> n! 2n . 2nq“二2n2"二2n"二2n“=一'二一'、；=-=一-1=-f(x)-1.2n斗(n1)!2n3n!2口Fn!22/j/-A卜一、设正项数列an单调减少且工(-1)nan发散，试问Z()n是否收敛？说明理n4nanT由.“,、二1解：级数£()n收敛，理由如下:n4an1因为正项级数an单调减少，故应有下界(大于或等于零)，所以liman=a(存在)则n：.a之0,若a=0,则布由莱尼茨定理知£(-1)nan收n1敛，与条件矛盾，故aA0.于是U，1,从而()n()n,而J(，)n是an1a1an1a1na-1几何级数收敛，所以由比较法知级数1z()n收敛.ndan1十二、证明f(x)=x2在吟叼上能展开成傅里叶级数x2=-+4Z(-1)ncos2nx3nwn并由此结果求下列级数的和:1(1)2(-1)n+-T；n1n解：将函数f(x)=X2作周期为2n的周期延拓，从而有a0二1x2dx二一2;o.2-1,22conxdx=-