频率响应分析法

1、1 5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念5.2 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性第五章第五章 频率响应分析法频率响应分析法2 5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念5.1.1 频率特性的定义频率特性的定义11)()()(12TssUsUsGRCRC网络的传递函数网络的传递函数输入正弦信号输入正弦信号tAusin1221211)(11)(sATssUTssU拉氏反变换，得电容端电压拉氏反变换，得电容端电压)arctansin(11)22222TtTAeTAtuTt（输出电压输出电压瞬态分量瞬态分量稳态分量稳态分量 时，第一项趋于零，时，第一项趋于零， R

2、CRC网络的稳态响应表示为网络的稳态响应表示为t)arctansin(1lim222TtTAut)11sin(11TjtTjARCRC网络的微分方程网络的微分方程122uudtduTTRCRCi(t)u1(t)u2(t)TjTA1111)(22TjT11arctan)(q稳态稳态输出输出与输与输入频率相同，振入频率相同，振幅和相角不同幅和相角不同q输出的稳态响应与输入是同频率的正弦信号，输出幅输出的稳态响应与输入是同频率的正弦信号，输出幅值和相角取决于频率。值和相角取决于频率。输入输入正弦信号正弦信号与与输出输出稳态分量关系图稳态分量关系图ejATjjG)()(11)(4 幅频特性幅频特性22

3、( )( )( )AG jUV（相频特性相频特性)()()()(1UVtgG实频特性实频特性)(cos)(A)(U虚频特性虚频特性)(sin)()(AVejATjjG)()(11)(q 称为系统的频率特性，描述系统在正弦输入时，称为系统的频率特性，描述系统在正弦输入时，稳态输出的幅值和相角随输入频率变化的规律。稳态输出的幅值和相角随输入频率变化的规律。)(jGTjjG11)(11)(TssG频率特性表达式频率特性表达式传递函数表达式传递函数表达式sjjsTsTj1111即即)()()()()(jVUeAjGjq频率特性的描述频率特性的描述5 q 频率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法频

4、率特性也是描述系统的动态数学模型，频率响应法q 从频率特性出发研究系统。从频率特性出发研究系统。系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减系统对不同频率输入信号在稳态情况下的衰减（或放大）特性；（或放大）特性；q幅频特性幅频特性()A)(q相频特性相频特性系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后系统稳态输出对不同频率输入信号的相位滞后（或超前）特性。（或超前）特性。q理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系理论上可将频率特性的概念推广到不稳定系统，但是不稳定系统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在，统的瞬态分量不会消失，瞬态分量和稳态分量始终同时存在，不稳定系统的频率

5、特性观察不到。不稳定系统的频率特性观察不到。q稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下稳定的线性定常系统，正弦信号的作用下 输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同输出的稳态分量也是正弦信号，和输入频率相同; ; 振幅与输入信号振幅之比为幅频特性；振幅与输入信号振幅之比为幅频特性； 相位与输入信号相位差为相频特性。相位与输入信号相位差为相频特性。 输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。输出稳态分量与输入正弦信号的复数比得频率特性。)(A)( )()( )jG jAe q三种数学模型的关系如图三种数学模型的关系如图频率特性的定义频率特性的定义: :6 频率特性分析设计系统用几何曲线表示，频

6、率特性分析设计系统用几何曲线表示，这些曲线有：这些曲线有：5.1.2 5.1.2 频率特性的几何表示频率特性的几何表示q幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线q对数频率特性曲线对数频率特性曲线q对数幅相特性曲线对数幅相特性曲线7 q 为变量，为变量，幅值和相角幅值和相角表示在同一复数平面图上，表示在同一复数平面图上， 时，向量的端点在复平面上的运动轨迹即时，向量的端点在复平面上的运动轨迹即 的幅相频率的幅相频率特性曲线。特性曲线。0)(jG)()(A)(U)(V幅相曲线，幅相曲线，1.幅相频率特性曲线：幅相频率特性曲线：简称幅相曲线（乃氏曲线、极坐标图）简称幅相曲线（乃氏曲线、极坐标图）8 )()(

7、jG)()()(jGjGjG)(lg20)(jGL 2对数频率特性曲线对数频率特性曲线)(je)(A)j(G)(j)(Aln)j (Gln幅值相乘变为相加，简化作图。幅值相乘变为相加，简化作图。9对数坐标系对数坐标系3. 对数幅相特性曲线（对数幅相特性曲线（11 比例环节比例环节微分环节微分环节积分环节积分环节一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节5.25.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性q典型环节典型环节q熟练掌握典型环节的频率特性及几何图形。熟练掌握典型环节的频率特性及几何图形。12 典型环节零极点分布图典型环节零极点分布图G(s)=sG(s)=sG(s)=

8、Ts+1G(s)=Ts+1G(s)=G(s)=s s1 1G(s)=G(s)=Ts+1Ts+11 1j j0 0微分环节微分环节积分环节积分环节一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节G(s)=G(s)=T T2 2s s2 2+2Ts+1+2Ts+11 1G(s)=KG(s)=KG(s)=TG(s)=T2 2s s2 2+2 Ts+1+2 Ts+113 q幅相特性幅相特性K)j (GG(s)=K 00)()(11KtgUVtg KVUA)()(225.2.1 5.2.1 比例环节比例环节 与频率与频率无关。无关。 是实轴上的一个点，是实轴上的一个点，坐标为（坐标为（k

9、 k，j0j0）。）。 A AKLlg20| )(K1K1时，分贝数为正；时，分贝数为正；K1K1时，分贝数为负。时，分贝数为负。幅频曲线升高或降低幅频曲线升高或降低相频曲线不变相频曲线不变改变改变K K对数频率特性对数频率特性0)(15 p幅相曲线幅相曲线jjG1)(一个一个负的负的纯虚矢量纯虚矢量o900从矢量的角度均为变化时，各jImG(j)jImG(j)ReG(j)ReG(j)0 0矢量的模随着矢量的模随着的增大而的增大而减小减小G(s)=G(s)=s s1 11j5.2.2 5.2.2 积分环节积分环节16 G(s)=1s100.2210.1L()dB0dB2040-40-20201

10、00-20dB/dec-20dB/dec-20dB/dec, 1 . 0 j1lg2010lg20dB20 , 1 j1lg201lg20dB0 G(s)=10s1 j10lg20dB2010lg20 ,10 j10lg20dB01lg20 1 G(s)=5s点点过过)0 , 2 . 0(90000-90090)(jjG1)(相角均为相角均为-900是一条直线，斜率是一条直线，斜率-20dB/decq积分环节积分环节对数频率特性曲线对数频率特性曲线17 对数曲线求斜率对数曲线求斜率L()dB0dBabLaLbab斜率斜率= =对边对边邻边邻边=La-Lb a- blg a- lg b18 例例

11、5.15.1求剪切频率求剪切频率c cc =0.4L()dB0dB-7.96-21.94c15斜率斜率= =-7.96lg1sk) s (G =1时时,cj4 . 0 s4 . 0) s (G 则有则有令令=1=1得：得：(-21.94)lg5L(1) = -7.96 = 20lg k, k=0.4699. 098.13 20 19 q幅相曲线幅相曲线G(s)=s j)j (G一个纯虚矢量一个纯虚矢量o900矢量的角度均为变化时，各从jImG(j)ReG(j)01234矢量的模随着矢量的模随着的增大而增大的增大而增大5.2.3 5.2.3 微分环节微分环节20 G(s)=s100.2210.1

12、L()dB0dB2040-40-2020100+20dB/dec+20dB/decq微分环节对数频率特性曲线微分环节对数频率特性曲线, 1 jlg201lg20dB0 ,10 jlg2010lg20dB20 5 . 0 25 . 0 jlg20dB0 G(s)=2s G(s)=0.1sjjG)(90)(相角均为相角均为900+20dB/dec90000-900是一条直线，斜率是一条直线，斜率+20dB/dec21 惯性环节惯性环节0.25 2+1A()=1() = -tg-10.5 j01ImG(j)ReG(j) 00.51245820o o()A()01-14.50.97-26.60.89-

13、450.71-63. -68.2 -76 -840.45 0.37 0.24 0.0515 . 01)(jjG11)(TssG15 . 01)(ssG11)(TjjGq幅相曲线幅相曲线22 11)(22TU1)(22TTVTUV)()(022VUU222)21()21(VU证明证明:频率特性分解为实部和虚部频率特性分解为实部和虚部惯性环节的幅相特性曲线为半圆惯性环节的幅相特性曲线为半圆1111)(222UVTU即即23 惯性环节对数幅频渐近曲线的分析惯性环节对数幅频渐近曲线的分析1T1lg20)(Alg20)(L22 时时，1T dB01lg20)(L 时时，1T T1lg20)(L时，时，T

14、1 1Ts1) s (G 1 时时，T1 1Ts1) s (G Ts1 水平线水平线低频渐近线低频渐近线斜率斜率-20dB/dec-20dB/dec的斜线的斜线高频渐近线高频渐近线时时，T1 dB321lg20)(L 1Ts1)s(G 24 G(s)=10.5s+1 G(s)=100s+5100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100q惯性环节对数频率特性曲线惯性环节对数频率特性曲线-20-2026dB0o- 30o- 45o- 60o- 90o1s2 . 020 Tarctan)(145T=2，（2）=1/T为惯性环节的交接频率为惯性环节的交接频率交接频率交接频率=5交接

15、频率交接频率=2145T=5，（5）25 q用渐近线的方式表示幅频特性用渐近线的方式表示幅频特性,必然存在误差。最大误必然存在误差。最大误差发生在交接频率处，最大误差为差发生在交接频率处，最大误差为q利用误差曲线对近似曲线修正即得精确曲线利用误差曲线对近似曲线修正即得精确曲线 。（图示误差曲线）（图示误差曲线）22111()()()20lg 1020lg23LLLTdBTTT 渐实26 q幅相曲线幅相曲线1Tj)j (G 实部衡为实部衡为1 1，虚部随，虚部随增大而增大的矢量增大而增大的矢量变化矢量的角度从oo900矢量的模随着矢量的模随着的增的增大从大从1 1变化到无穷变化到无穷G(s)=

16、Ts+1jImG(j)ReG(j)012341一阶微分一阶微分27 G(s)= G(s)=0.5s+10.5s+10.30.3 G(s)= G(s)=( (0.25s+0.1)0.25s+0.1)L()dBL()dB10100.0.2 22 21 10.0.1 10dB0dB20204040-40-40-20-2020201001000 0o o+30+30o o+ 45+ 45o o+ 60+ 60o o+ 90o+20+20+20+20Tarctan)(1245T=2，（）=1/T=1/T为惯性环节的交接频率为惯性环节的交接频率q一阶微分对数频率特性曲线一阶微分对数频率特性曲线交接频率交接

17、频率=2交接频率交接频率=0.4=0.4增益增益K=0.03K=0.0320lg0.03=-30dB20lg0.03=-30dB28 5.2.6 5.2.6 振荡环节振荡环节1212)(22222TssTsssGnnn22222222124)1 (1)(TTarctgTTjGo01)0j (G o1800)j (G 11()()902onTG jG j221nr2121)(mrAA(00.707)(00.707)出现谐振，出现谐振，r r、M Mr r为谐振频率和谐振峰值为谐振频率和谐振峰值得得令令,0d)(dA 290j121)(nA2121)(rA221nr22222222124)1 (1

18、)(TTarctgTTjGq幅相曲线（幅相曲线（NyquistNyquist曲线曲线）30 21)1(TAq曲线与虚轴交点坐标为曲线与虚轴交点坐标为 ；频率为频率为n，210j，2121)(rrAM)22( q谐振幅值谐振幅值q越小，越小，r r越接近越接近n n，M Mr r越大；当越大；当00时，时，r r趋于趋于n n，M Mr r趋于无穷大。趋于无穷大。2221211nrTq谐振频率谐振频率)22( q较小时，幅频特性出现谐振峰值，较小时，幅频特性出现谐振峰值， (00.707)q越小，曲线与虚轴交点的幅值越大，即越小，曲线与虚轴交点的幅值越大，即31 振荡环节振荡环节L()L()渐近

19、线分析渐近线分析121)(22TssTsG时时，1T 时时，1T 1)j (A 22T1)j (A dB0)(L, Tlg40)(L, )j (A222222T4)T1(1 T1或或n1)(,sGT1 或或n 22sT1)s (G, 注意：注意： 这项总是去掉的！这项总是去掉的！要在要在n n或或r r处修正处修正!32q振荡环节振荡环节L()L()100.2210.1L()dB0dB2040-40-202010022224( )22 2 0.24nnnG sssss dBAm14. 8121lg20lg20292. 1212nr-402221(),()901TarctgTT - 90o0o-

20、 180o () o33 q 较小时，在较小时，在=n n附近，附近，A()A()出现峰值，即出现峰值，即 产生谐振。产生谐振。q出现谐振的条件出现谐振的条件是是 0.7070.707221nr2rr121)(AMrMnr0q谐振峰值谐振峰值 Mr对应的频率为谐振频率对应的频率为谐振频率r。34 q振荡环节振荡环节再再分析分析0dBL()dB20lgkn 21lg20r2121lg20-40?2 2n nn n2 22 2n nS S2 2S Sk k(s)(s)G Gw w+ + w w+ +w w= =221n = r(0 0.707) 00.5 0.51 = 0.5222221120lg

21、14LLLTTTT 实渐 友情提醒友情提醒: (n)= - 90o35 夸张图形夸张图形L()0dB-405 . 00 L()0dB-405 . 0= L()0dB-40707. 05 . 0 L()0dB-401707. 0 2121lg20221n = r1.25dB36 0)(时T190)02()(1tg180)(时0221T1T2tg)( )0 180 37 q渐近线误差渐近线误差222)2()(1 lg20)(nnL2222)lg(20)2()(1 lg20)(nnnLnn38 q幅相曲线幅相曲线TjTjG2)1 ()(22矢量的虚部始终为正矢量的虚部始终为正T1T1T1时，实部为负

22、，矢量在第二象限时，实部为负，矢量在第二象限jImG(j)ReG(j)01ooo1809000时时，矢矢量量的的角角度度从从从从 5.2.7 5.2.7 二阶微分二阶微分G(s)=T2s2+2Ts+1 2j)T1j (G)(jG39 q二阶微分的对数频率特性二阶微分的对数频率特性22222212)(nnnssTssTsGT1n ojG180)(,01)0j (Go ,902)(onjG对数幅频渐近曲线对数幅频渐近曲线0dBL()dB+40n221nr212lg20mL2lg20)(nL00.70700.707时有峰值：时有峰值：40 对数坐标图的对比对数坐标图的对比 (dB)10 1 10 0

23、.1 1 0 40-20 40dB/dec -40dB/dec (o)180 -180 0 0.1 20 -40二阶微分与振荡环节二阶微分与振荡环节1/j和和j 0.1 (dB)1 10 0 20-20 20dB/dec -20dB/dec (o)90 -90 0 0.1 1 10 j 1/j 积分与微分环节积分与微分环节 0.1 (dB)1 10 0 20-20 20dB/dec -20dB/dec 1/T 1+j T和和1/(1+j T)(o)90 -90 0 0.1 1 10 一阶微分与惯性环节一阶微分与惯性环节动画动画41 p幅相曲线幅相曲线5.2.8 5.2.8 延时环节延时环节se

24、sG)(jejG)(1)(A)(3 .57)(0| )j (G|lg20)(LT3 .57)rad(T)(42 典型环节相角小结典型环节相角小结G(s)=s微分环节微分环节积分环节积分环节一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节G(s)=Ts+1G(s)=s1G(s)=Ts+110 恒定恒定正正9090o o恒定恒定负负9090o o 0o +90o 0o -90o0o90o180o0o -90o-180oG(s)=T2s2+2Ts+11G(s)=T2s2+2Ts+1延时环节延时环节sesG)(0o 43 非最小相角环节相角小结非最小相角环节相角小结G(s)=k (k

25、mn m时，曲线终点幅值为时，曲线终点幅值为 0 0 ，相角为相角为(n(nm)m)9090；如图示如图示)(mn njjniiTjjjKjHjG11) 1()() 1()()(I I型系统（型系统（v = 1v = 1）0) 0(A90)0(0)(A90)mn()(I型系统幅相图型系统幅相图IIII型系统（型系统（v=2v=2）0)0(A180)0(0)(A90)mn()(II型系统幅相图型系统幅相图48 3. 开环幅相曲线与实轴的交点开环幅相曲线与实轴的交点njjniiTjjjKjHjG11) 1() 1()()(）（4. 4. 开环幅相曲线的变化范围开环幅相曲线的变化范围( (象限、单调

26、性）象限、单调性）无一阶微分环节无一阶微分环节), 2 , 10mii（0有一阶微分环节有一阶微分环节00Im()()0G jH j求交点频率求交点频率x令令其解即幅相曲线与实轴的交点。其解即幅相曲线与实轴的交点。)()(RexxjHjG,代入代入相角单调减小相角单调减小曲线平滑变化曲线平滑变化11( )(tan)tannmjijiarcTarc 相角相角可能可能不是单调变化不是单调变化曲线会出现凸凹现象曲线会出现凸凹现象11( )(tan)tannmjijiarcTarc 49 3311jj，022j，例例5.25.2)1s (s)3s)(2s (5) s (G2 解：解：o180)0 j

27、(G o900)j (G 求交点：求交点： Im ()0G j令处。与负实轴相交于2525)1 ()55(5) 1(jjjG曲线如图所示：曲线如图所示：0-25ImG(j)ReG(j)1x开环幅相曲线的绘制开环幅相曲线的绘制无实数解，所以与虚轴无交无实数解，所以与虚轴无交点点230()G jjRe()0,G j令26402j 时，j，31jjjj ，5()Gjj)j1(5 j)6(5)j (G22 ,1x即2,5(6)025(2)(3)()(1)jjG jjj频率特性频率特性MATLAB绘制的图绘制的图50 p型系统，始于相角为型系统，始于相角为 的无穷远处的无穷远处 9027090)03(9

28、0)00mn（终于终于p低频渐近线坐标低频渐近线坐标)()(1)(lim)(Relim2142221222212100TTKTTTTTTKjGVx例例5.35.3 ，绘制概略开环幅相曲线，绘制概略开环幅相曲线) 1)(1()(21sTsTsKsG42221222212212121)(1)1)()() 1)(1()(TTTTTTKjTTKTjTjjKjG解：解：2121)(ReTTTKTjGxp曲线与实轴交点曲线与实轴交点211TTxp曲线如图示曲线如图示p无微分环节，相角由无微分环节，相角由 单调减小到单调减小到 ，曲线平滑，曲线平滑; 90027051 例例5.45.4求幅相曲线与实轴的交点

29、。求幅相曲线与实轴的交点。103.16x101.437xU52 例例5.5 5.5 绘制绘制 开环幅相曲线。开环幅相曲线。 ) 1() 1()()(122TjTjKjHjG) 1() 1()()(122sTssTKsHsG解：解：1)(1)()(21222TTKA 12arctan180arctanTT 0012arctanarctanTT曲线位于第三象限曲线位于第三象限12TT 12TT 012arctanarctanTT曲线位于第二象限曲线位于第二象限12TT 12TT )0(A180)0(0)(A180)(53 niinsGsGsGsGsHsG121)()()()()()()()(11)

30、()()()()(1jjniiniieAeAjGjHjGniiniiAAL1)(lg20)(lg20)(nii1)()(5.3.2 5.3.2 开环对数频率特性曲线的绘制开环对数频率特性曲线的绘制p根据典型环节方便地绘制开环对数频率特性曲线根据典型环节方便地绘制开环对数频率特性曲线n个典型环节组成开环传递函数个典型环节组成开环传递函数频率特性频率特性开环对数幅频特性开环对数幅频特性开环对数相频特性开环对数相频特性各典型环节的叠各典型环节的叠加加各典型环节的叠加各典型环节的叠加5410100.20.22 21 10.10.1L()dBL()dB0dB0dB20204040-40-40-20-20

31、2020100100-20-2000-20-20) 1()(TssKsG例例5.65.6已知已知绘制其开环对数频率特性曲线。绘制其开环对数频率特性曲线。20lgK20lgKL L1 1L L1 11L L3 33 31 1K比例环节比例环节()-90-90o o-180-180o o-45-45o o0 0o os1积分环节积分环节T1惯性环节惯性环节11Ts-20-20 A解：三个典型环节：比例解：三个典型环节：比例K 、积分、积分 和惯性环节和惯性环节 ，各典型环节对数频率特性曲线，如图示。各典型环节对数频率特性曲线，如图示。 s1）（11Ts-40-4055 )(L（2） 时，低频段或延

32、长线（时，低频段或延长线（ 的频率范围内有交接的频率范围内有交接频率）的分贝值是频率）的分贝值是 。低频段或延长线与零分贝线的交。低频段或延长线与零分贝线的交点频率为点频率为 。11Klg20vK0（3）典型环节交接频率处，斜率变化。遇到）典型环节交接频率处，斜率变化。遇到 环节，斜率改变环节，斜率改变20 dB/dec20 dB/dec；遇到；遇到 环节，环节，斜率改变斜率改变40 dB/dec40 dB/dec。1)1 ()(TssG122) 12()(TssTsG56 p绘制对数幅频特性曲线的步骤：绘制对数幅频特性曲线的步骤：（1 1）将开环传递函数化成典型环节串联组成的标准形式；）将开

33、环传递函数化成典型环节串联组成的标准形式；（2 2）根据开环增益）根据开环增益K K，计算，计算20lgK20lgK的分贝值；的分贝值；（3 3） 在在=1=1处，标出处，标出L(1)=20lgKL(1)=20lgK点，过（点，过（20lgK20lgK，1 1）点）点绘制斜率为绘制斜率为-20vdB/dec-20vdB/dec的低频段；的低频段；（4 4）根据交接频率绘制出相应线段；）根据交接频率绘制出相应线段；（5 5）若有必要，利用误差修正曲线，对交接频率附近的）若有必要，利用误差修正曲线，对交接频率附近的曲线修正，得到精确的特性曲线。曲线修正，得到精确的特性曲线。5710100.20.2

34、1 10.10.1L()dBL()dB0dB0dB20204040-40-40-20-202020100100-20-20-40-40低频段低频段：4 0j5 . 0 时为时为38db38db1 . 0时为时为52db52db转折频率：转折频率：0.5 2 300.5 2 30斜率：斜率： -40-40 -20 -40-20 -40-20-20-40-405252385 51414- -10100.50.530302 2) 130/ s)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 绘制绘制的的L()L()曲线曲线例例5.75.7 58 绘制绘制 的对数曲线。的对数曲线。)1

35、00s4s)(1s ( s)15s(2000) s (G22 解：解：) 1251100)(1() 15(20)(22ssssssGdb14. 8L,59. 9,10, 2 . 0mrn 对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。o7 .78 o3 .84 1tgo0o45 o90 o6 .22o8 .126 2 . 0tg21o0o90o180o3 . 2 o15 211004tg o0o90 o180 o90 o90 o90 o90 o90 s1例例5.85.8-90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o对数幅频：低频段：

36、对数幅频：低频段：20/s -2020/s -20转折频率：转折频率：1 5 101 5 10斜率：斜率： -40 0 -40-40 0 -40修正值：修正值：0 1 5 10 各环节角度：各环节角度：59低频段：低频段： 20/s -20转折频率：转折频率：1 5 10斜率：斜率： -40 0 -400 1 5 10 -90o-114.7o-93.7o-137.5o-180o-20-40-400dB20dB-20dBL()-90o-120o-150o-180o()1510绘制曲线绘制曲线60 交接频率交接频率: :1 1=0.2=0.2，2 2=1=1，3 3=5=5；=0.2=0.2，斜率

37、，斜率-20-20变为变为-40-40；=1=1， 斜率斜率-40-40变为变为-20-20；=5=5， 斜率斜率-20-20变为变为-60-60。) 152 . 025)(15() 1(2)()(22ssssssHsG ， 。2KdBK02. 6lg20例例5.95.9绘制绘制 对数幅频特性曲线。对数幅频特性曲线。)252)(15 () 1(50)()(2ssssssHsG解整理成典型环节的串联解整理成典型环节的串联低频段渐近线低频段渐近线=1,L(1)=6.02 dB=1,L(1)=6.02 dB，过（，过（6.026.02，1 1）点）点画画-20 dB/dec-20 dB/dec的直线

38、。的直线。对曲线进行必要的修正。对曲线进行必要的修正。曲线如图曲线如图61 p最小相位系统的相角变化范围最小。最小相位系统的相角变化范围最小。p非最小相位系统的相角变化范围大于最小相位系统。非最小相位系统的相角变化范围大于最小相位系统。p最小相位系统：传递函数在最小相位系统：传递函数在S右半平面上没有零、极点。右半平面上没有零、极点。p非最小相位系统：传递函数在非最小相位系统：传递函数在S右半平面上有零、极点。右半平面上有零、极点。sTsTsG12111)(sTsTsG12211)(12111)(TjTjjG12211)(TjTjjG5.3.35.3.3最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统

39、和非最小相位系统p最小相位系统：对数幅频特性曲线的变化趋势和对数相最小相位系统：对数幅频特性曲线的变化趋势和对数相频特性曲线的变化趋势一致。频特性曲线的变化趋势一致。例例5.105.1021222211)(TTA121arctanarctan)(TT122arctanarctan)(TT00180062 2100.1(1)3( )1(1)30sG ss-200L()203+20-200L()-20-401002000L()-203.06+40-28200( )(0.021)G sss最小相角系统，由最小相角系统，由L()求求G(s)例例0L()-20-40114205( )(1)G ss s2

40、11( )0.1 ()2 0.213.063.06G sss 2.9363 1L()dB0dB40-1.9424.08-20-40-40-208)1s1 . 0)(1s5 . 2( s)1s5 . 0(40) s (G 40K 最小相角系统，由最小相角系统，由L()求求G(s)例例120log20log20log24.08KTdB1112.5T220log20log20log2.520log0KTdB2210.5T20log20log20log2.520log0.51.94KdB 3310.1T31264 30509.490.780.147.2L()dB0dB-20-40-40-20)1s01

41、2. 0)(178. 0s344. 0278. 0s( s)1s31)(1s46. 6(9 .22) s (G22 最小相角系统，由最小相角系统，由L()L()求求G(s)G(s)例例22.9K 1120log20log20log40log9.4900.78KTdB1116.46T33113T43211.280.78T 320log20log20log6.4640log20log00.78KTdB9.49304410.012T5020log20log20log6.46140log20log4.40.783KdB 483.3-4.40( 4.4)20lg50lg 10.344,0.939(舍）4

42、0lg0.78 lg9.4943.4xxdB43.4213.821rMdB65 1362)36)(120)(115( 142)4)(12(10)(2212sssssssssG最小相角系统，由最小相角系统，由L()L()求求G(s)G(s)例例时曲线斜率均为时曲线斜率均为-20(n-m)dB/dec-20(n-m)dB/dec；时的相角是否等于时的相角是否等于-90-90(n-m)(n-m)，判断系统是否为最，判断系统是否为最小相位系统。小相位系统。只有比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶微分和二阶微只有比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统。分环节的系统是最小相

43、位系统。66 5.4 5.4 频率域稳定判据频率域稳定判据p奈氏判据和对数频率稳定判据应用广泛。奈氏判据和对数频率稳定判据应用广泛。p频域稳定判据由开环系统的频率特性分析频域稳定判据由开环系统的频率特性分析闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性p频域稳定判据还能指出系统的稳定储备频域稳定判据还能指出系统的稳定储备稳定裕度，以及提高和改善系统动态性能稳定裕度，以及提高和改善系统动态性能（包括稳定性）的途径。（包括稳定性）的途径。5.4 频率域稳定判据频率域稳定判据67 5.4.1 5.4.1 奈氏判据的数学基础奈氏判据的数学基础1 1辅助函数辅助函数F F( (s s) )如图示，令：如图示，令：)(

44、)()(11sNsMsG)()()(22sNsMsH)()()()()()(2121sNsNsMsMsHsG)()()()()()()()(1)()(212121sMsMsNsNsNsMsHsGsGs1212121212( )( )( )( )( )( )( )1( )( )1( )( )( )( )M s MsN s N sM s MsF sG s H sN s N sN s N s F F( (s s) )称为称为辅助函数辅助函数分子和分母的阶次均是分子和分母的阶次均是nniiniipszsKsF11)()()(F F( (s s) )的零点的零点 为闭环极点，极点为闭环极点，极点 为开环

45、极点。为开环极点。ipizF(s)表示成表示成辅助函数零极点辅助函数零极点F F( (s s) )的零极点的数相同；的零极点的数相同；F(s)F(s)和和G(s)H(s)G(s)H(s)只差常数只差常数1 1；F(s)的特点的特点R(s)C(s)E(s)- -G(s）H(s）闭环特征式闭环特征式最高次幂为最高次幂为n开环特征式开环特征式最高次幂为最高次幂为n68 通过通过F(s) 函数映函数映射，在射，在F(s)平面平面有封闭曲线有封闭曲线F2 2幅角原理幅角原理s平面任选一点平面任选一点s=+j，通过，通过F(s) 映射映射,在在F(s)平面找平面找到相应的象。（如图）到相应的象。（如图）任

46、选一条不过任选一条不过F(s)零极点的零极点的封闭曲线封闭曲线S，包围，包围F（s)一一个零点个零点,其他零极点在其他零极点在S外外F(s) 零、极点分布零、极点分布F(s)映射映射研究研究s在在s平面上沿封闭曲线平面上沿封闭曲线S顺时针运动旋转一周，顺时针运动旋转一周，F包围坐标原点的次数和运动方向。包围坐标原点的次数和运动方向。F(s)F(s)为为s s的有理分式，分子分母同阶的有理分式，分子分母同阶( )1( )( )F sG s H s 69 若若s s平面上平面上s s包围包围F(s)F(s)的的Z Z个零点，个零点，和和P个极点，且个极点，且s不通过不通过F(s)的任一零、极点；的

47、任一零、极点；当当s s沿沿s s顺时针旋转一圈时，顺时针旋转一圈时，F(s)的相角变化为的相角变化为F(s)相角为相角为)()()()()()()(2121nnpspspszszszssF)()()()()()()(2121nnpspspszszszssF若若s 包围了包围了F(s) 一个零点，一个零点，F(s)的其它零极点都位于的其它零极点都位于s 之之外外,当当s在在s平面上沿平面上沿s顺时针运动一周时，向量顺时针运动一周时，向量s-zi相角变相角变化化-2，其他，其他向量相角变化为零，则向量相角变化为零，则2)()(izssFF(s)的相角变化的相角变化-2；即；即F(s)曲线在曲线在

48、F平面平面绕原点顺时针绕原点顺时针转一圈；转一圈；2 2幅角原理（续）幅角原理（续）niiniipszsKsF11)()()(70 幅角原理（续）幅角原理（续）若若s s平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线s s包围包围F(s)F(s)的的Z Z个零点个零点、P个极点，且不通过个极点，且不通过F(s)的任一零点和极点的任一零点和极点,当当s沿沿s顺时针旋转一圈时，顺时针旋转一圈时，F(s)曲线绕原点逆时针转曲线绕原点逆时针转过的圈数为过的圈数为R = P - Z 表示曲线顺时针包围平面坐标原点的周数，表示曲线顺时针包围平面坐标原点的周数，0R0R表示不包围坐标原点。表示不包围坐标原点。0R表示曲线

49、逆时针包围平面坐标原点的周数，表示曲线逆时针包围平面坐标原点的周数，71 5.4.2 5.4.2 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据p 顺时针方向包围顺时针方向包围s s平面整个右半平面，平面整个右半平面， 由虚轴和半由虚轴和半径径 为无穷大的半圆组成。幅角原理中的为无穷大的半圆组成。幅角原理中的Z Z和和P P表示表示F（s ）位于右半位于右半s平面的零极点数。平面的零极点数。ssps沿沿 正虚轴变化正虚轴变化, 通过通过 映射到映射到 平面平面, 是开环频率特性的极坐标图是开环频率特性的极坐标图;s)()(sHsG)()(sHsGps沿沿 半径无穷大的半圆变化，半径无穷大的半圆变化， 因因n

50、m,当当 时时, ，映射到平面上即坐标原点；映射到平面上即坐标原点；ss0)()(sHsG)()(sHsGp 曲线由三部分组成曲线由三部分组成 (1)正虚轴，即正虚轴，即 ， 从从0到到 ; (2)半径为无穷大的右半圆半径为无穷大的右半圆; (3)负虚轴负虚轴,即即 ， 从从 变化到变化到0。js sjsps沿沿 的负虚轴变化，在的负虚轴变化，在 平面映射是极坐标图关于平面映射是极坐标图关于实轴的镜像实轴的镜像)()(sHsGs72 p闭环系统稳定的充分必要条件为闭环系统稳定的充分必要条件为Z=0，即，即R=P。p若闭环系统临界稳定，奈氏曲线穿过临界点，这时奈氏曲线若闭环系统临界稳定，奈氏曲线

51、穿过临界点，这时奈氏曲线逆时针包围临界点的周数不定。逆时针包围临界点的周数不定。R奈氏曲线奈氏曲线即即s沿虚轴沿虚轴 到到 取值，频率特性取值，频率特性 的幅相曲线的幅相曲线逆时针包围临界点逆时针包围临界点 的周数；的周数；)()(sHsG j j)0, 1(jR = P - Z P辅助函数辅助函数右半右半s平面极点数平面极点数；即开环传函；即开环传函右半右半s平面极点数平面极点数Z辅助函数辅助函数右半右半s平面零点数平面零点数。即闭环传函即闭环传函右半右半s平面极点数平面极点数系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件:奈氏曲线逆时针包围奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)的周数的周数R等于开环传递

52、函数右半等于开环传递函数右半S平面极点数平面极点数P，即，即R=P；否则闭环；否则闭环系统不稳定。闭环正实部特征根个数系统不稳定。闭环正实部特征根个数Z按下式确定按下式确定奈氏判据可表述如下：奈氏判据可表述如下：Z = P - R奈奎斯特稳定判据（续）奈奎斯特稳定判据（续）73 )j (D _12()()NjNj结论：结论：无论是开环还是闭环无论是开环还是闭环，在在s s左左半平面的极点，角度增量为半平面的极点，角度增量为+90+90o o在在s s右右半平面的极点，角度增量为半平面的极点，角度增量为-90-90o o设开环极点有设开环极点有p p个在个在s s右右半平面半平面, ,(n-p)

53、(n-p)个在个在s s左左半平面半平面设闭环极点有设闭环极点有z z个在个在s s右右半平面半平面, ,(n-z)(n-z)个在个在s s左左半平面半平面=(n-z)90o+z(-90o)-(n-p)90o+p(-90o)oo180p180z )j (F 求求F(j)绕绕原点原点转的角度转的角度G (j) H (j)绕绕(-1, j0)点转的角度点转的角度)j (F = (P-z)j (F )j(D =_12()()NjNjF(j)=1+G(j)H(j)12121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )N s N sM s M sD sF sN s N sN s N

54、 s奈奎斯特稳定判据（续）奈奎斯特稳定判据（续）74 ) 1)(12)(13(18)(ssssG) 1)(12)(13(6)(ssssG( ()90270 )nm 例例5.11 应用奈氏判据系统的稳定性应用奈氏判据系统的稳定性) 1)(12)(13(18)(jjjjG解解系统系统( 0)18 0(18, 0)G jj()0270G j 由由0+变化变化,开环幅相特性曲线与开环幅相特性曲线与负实轴的交点为负实轴的交点为8 . 1如图中的实线所示。以实轴对称轴，如图中的实线所示。以实轴对称轴，00,P2R2) 2(0RPZ75 ) 1)(12)(13(6)(jjjjG例例5.12 系统系统 开环频

55、率特性开环频率特性( 0)18 0(18, 0)G jj( ()90270 )nm ()0270G j 由由0+变化变化,开环幅相特性曲线与开环幅相特性曲线与负实轴的交点为负实轴的交点为0.6图中的实线。以实轴为对称轴，图中的实线。以实轴为对称轴，00P0R 0 0 0ZP R 解：解：76 011RPZ12)()(jjHjG解解: :绘制绘制=0+幅相曲线幅相曲线, 如图中实线如图中实线;绘制绘制=-0幅相曲线，如图中虚线幅相曲线，如图中虚线.G(s)H(s)G(s)H(s)在右半在右半S S平面的极点数为平面的极点数为1 1，即，即P P=1=1由奈氏判据求出闭环系统在右由奈氏判据求出闭环

56、系统在右半半s s平面的极点数为平面的极点数为 奈氏曲线逆时针包围奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)(-1,j0)点点1 1周，即周，即R=1R=1。闭环系统稳定闭环系统稳定12)()(ssHsG例例5.13 开环传递函数为开环传递函数为,判断闭环系统判断闭环系统的稳定性。的稳定性。77 sp 幅角原理定义封闭曲线幅角原理定义封闭曲线 不穿过不穿过F F( (s s) )的任一零极点，原的任一零极点，原点有开环极点，不能直接应用点有开环极点，不能直接应用sp封闭曲线封闭曲线 在坐标原点以半径在坐标原点以半径 的半圆从右侧绕过开的半圆从右侧绕过开环极点所在的坐标原点，其它不变环极点所在的坐标原点，

57、其它不变0sjelins00 090 90 00lim11lim)1()1()()(jjesvnjjvmiiessTssKsHsGjvjvveeK)lim(05.4.35.4.3开环系统含有积分环节时奈氏判据的应用开环系统含有积分环节时奈氏判据的应用p图中小半圆的表达式图中小半圆的表达式)()(sHsGp若若S S取图中实轴上半部，取图中实轴上半部，s s沿四分之一无穷小圆弧逆时针沿四分之一无穷小圆弧逆时针变化，即变化，即=0=00 0+ +时，时，=0=0+90+90，G(s)H(s)G(s)H(s)曲线沿着半径曲线沿着半径为无穷大的圆弧顺时针方向转过为无穷大的圆弧顺时针方向转过v90v90

58、。78 从从G(j0+)H(j0+)开始，逆时针补画开始，逆时针补画RR，角度为，角度为v90v90的圆弧，的圆弧， G(j)H(j)曲线的方向是顺时针，对应的曲线的方向是顺时针，对应的是是0 00+0+。将这两部分衔接起来，得到有积分环节的开。将这两部分衔接起来，得到有积分环节的开环系统的幅相曲线。如图示环系统的幅相曲线。如图示综上所述，有积分环节幅相曲线的绘制：综上所述，有积分环节幅相曲线的绘制： 绘制绘制=0 0+以外的幅相曲线，其起点对应以外的幅相曲线，其起点对应=0+；79 p通常只绘制通常只绘制=0的幅相曲线，根据公式的幅相曲线，根据公式NPZ2Z=0，闭环系统稳定；否则，闭环系统

59、不稳定，闭环系统稳定；否则，闭环系统不稳定;Z=闭环特征方程正实部根的个数闭环特征方程正实部根的个数实用方式实用方式:通过开环幅相曲线在（通过开环幅相曲线在（-1,j0）点左侧负实轴上）点左侧负实轴上的穿越次数获得的穿越次数获得N。p增大时，曲线自上而下通过增大时，曲线自上而下通过（-1,j0-1,j0）点左侧的负实轴，为正）点左侧的负实轴，为正穿越；穿越；( (如图如图2 2点点) )p增大时，曲线自下而上穿过增大时，曲线自下而上穿过（-1,j0-1,j0）点左侧的负实轴，为负）点左侧的负实轴，为负穿越。穿越。(如图如图1点点)80 z=p_2N闭环特征根在闭环特征根在s s右右半平面的半平

60、面的个个数数开环极点在开环极点在s s右右半平面的半平面的个个数数自下向上为自下向上为负负穿越，用穿越，用N N表示；表示；自上向下为自上向下为正正穿越，用穿越，用N N表示；表示；-1-1G G(j)(j)H H (j)(j)起于起于1 1之左实轴，为之左实轴，为半次半次穿越穿越-121N 21N z=0系统稳定系统稳定开环幅相曲线穿越开环幅相曲线穿越1 1之左之左实轴的实轴的次次数数-1N=N-N81 关于半次穿越关于半次穿越j0-182 ) 1() 1()(221sTssTKsG12(0)TT例例5.14已知已知应用奈氏判据判断系统的稳定性。应用奈氏判据判断系统的稳定性。解解:开环幅相曲