高等数学第8章五节隐函数的求导公式最终

1、1隐函数存在定理隐函数存在定理小结小结 implicit function 8.5 隐函数隐函数的求导公式的求导公式第第8 8章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用隐函数存在定理隐函数存在定理2 隐函数在实际问题中是常见的隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程平面曲线方程空间曲面方程空间曲面方程空间曲线方程空间曲线方程下面讨论如何由下面讨论如何由隐函数方程隐函数方程0),( yxF0),( zyxF 0),(0),(zyxGzyxF如如求偏导数求偏导数.3先变形方程先变形方程方程两边对方程两边对x求导求导,arctan)ln(2122xyyx ,)(1122212222xyxyx

2、yyxyyx yxyyyx .ddxyyxxy 例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 推导法推导法解解（一元隐函数求导法）（一元隐函数求导法）习题习题8.5 P102 2引例引例:已知已知 确定确定 , 求求)(xy )(xyy 0 xyeyx一般地一般地 , , 可确定可导函数可确定可导函数 , , 除了两侧同时求导，还可以如何求导除了两侧同时求导，还可以如何求导? ?)(xyy 0)y, x(F 0)yxy()y1(eyx 注意此方程能确定一个一元函数，是在注意此方程能确定一个一元函数，是在y可导的前可导的前提下进行的提下进行的并不一定都能确定一元并不一定都能确定一元函

3、数函数01yx22 显然这方程当显然这方程当x,y无论取什么实数都不满足这方无论取什么实数都不满足这方程，从而这个方程不能确定函数程，从而这个方程不能确定函数y=f(x).综上所述，在隐函数求导前，必须明确两个问题：综上所述，在隐函数求导前，必须明确两个问题：.在什么条件下，方程可以确定隐函数在什么条件下，方程可以确定隐函数y=f(x)2.如果方程可以确定隐函数如果方程可以确定隐函数y=f(x)，这个函数是否是可导，这个函数是否是可导的的注意以上两个问题，都与注意以上两个问题，都与(x,y)有关有关6一、二元方程的情形一、二元方程的情形在一元函数微分学中在一元函数微分学中,现在利用复合函数的现

4、在利用复合函数的链导法则链导法则给出隐函数给出隐函数)1(0),( yxF的求导法的求导法.并指出并指出:曾介绍过隐函数曾介绍过隐函数(1)的求导公式的求导公式,隐函数存在的一个充分条件隐函数存在的一个充分条件. .ddxz求求1. 由二元方程由二元方程 F(x, y) = 0确定一元隐函数确定一元隐函数y = f (x),7隐函数存在定理隐函数存在定理1 1设二元函数设二元函数F (x, y)在点在点P (x0, y0)的某一邻域内满足的某一邻域内满足:, 0),(00 yxFy; 0),(00 yxF并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有连续偏导数具有连续偏导数;它满足

5、条件它满足条件y0 = f (x0),则方程则方程F (x, y) = 0在点在点P (x0, y0)的某一邻域内恒的某一邻域内恒隐函数的求导公式隐函数的求导公式(2) (3) 能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边关于两边关于x求导求导,),(xF由由链导法则链导法则, 得得)(xf0 y = f (x),8,),(连续连续由于由于yxFy, 0),(00 yxFy且且, 0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 或简写或简写:.ddyxFFxy 于是得于是得所以存在所以存在(x

6、0, y0)的一个邻域的一个邻域, 在这个邻域内在这个邻域内),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xf0 9证证 记记x2)y, x(Fx y2)y, x(Fy 与与由公式可得由公式可得则则例例 求方程求方程01yx22 y = f (x)的一阶与二阶导数的一阶与二阶导数所确定的隐函数所确定的隐函数, 1yx)y, x(F22 ),(),(ddyxFyxFxyyx yxdxdy 注意上式中的注意上式中的y是是x的函数，再次求导得的函数，再次求导得222yyxydxyd 2y)yx(xy 3322y1yxy 10证证 记记,ee),(yxxyyxF xxyyxFe),( yy

7、xyxFe),( 与与且且yxFFxy dd.eeyxxy 隐函数隐函数 y = f (x),则则又例又例方程方程, 0ee yxxy一个隐函数一个隐函数y = f (x),能确定能确定.ddxy并求并求隐函数存在定理隐函数存在定理1 111解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 练习练习P102 2P102 2.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 ),(),(ddyxFyxFxyyx 隐函数的求导公式隐函数的求导公式公式法公式法引例引例:已知已知 确定确定 , 求求)(x

8、y )(xyy 0 xyeyx一般地一般地 , , 可确定可导函数可确定可导函数 , , 如何求导如何求导? ?)(xyy 0),( yxF前述引例前述引例:0 xyeyx, 0)( xyex,yFyx令令,0)(时时当当 xex,yFyxy就可确定可导函数就可确定可导函数 , 且且)(xyy yxFFxy dd.xeyeyxyx 14, 0),(000 zyxFz则方程则方程 F (x, y, z) = 0 在点在点(x0, y0, z0)的某一邻域内的某一邻域内; 0),(000 zyxF),(000yxfz 恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的

9、函数并有并有若三元函数若三元函数F (x, y, z)满足满足:它满足条件它满足条件在点在点P (x0, y0, z0)的某一邻域内的某一邻域内具有连续具有连续由三元方程由三元方程F(x, y, z) = 0确定二元隐函数确定二元隐函数.,yzxz 求求隐函数存在定理隐函数存在定理2 2,zxFFxz .zyFFyz (1)(2)(3)z = f (x, y),z = f (x, y),偏导数偏导数;二、三元方程的情形二、三元方程的情形15(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边分别关于两边分别关于x和和y求导求导,),(yxF应用应用复合函数求导复合函数求导法法得得),

10、(yxf0 xFzF xz , 0 ,zxFFxz .zyFFyz 设设 z = f (x, y)是方程是方程 F (x, y, z) = 0所确定的所确定的隐函数隐函数, 则则yFzF yz . 0 zF, 0),(000 zyxFz且且, 0 zF所以存在所以存在点点(x0, y0 , z0)的一个邻域的一个邻域, 在这个邻域内在这个邻域内因为因为连续连续,于是得于是得解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 综上：求隐函数的导数共有两种方法即：隐

11、函综上：求隐函数的导数共有两种方法即：隐函数存在定理和两边同时对其求导数存在定理和两边同时对其求导例例3. , 2)3sin(yzxzz yzx- 求求设设法法1. 记记 F(x, y, z) = sin(x 3z) 2y z有有 Fx = cos(x 3z),故故zxFFxz 1)3cos(3)3cos( zxzxzyFFyz 1)3cos(32 zxFy = 2, Fz = 3cos(x 3z) 1 法法2： sin(x 3z) =2y +z. ,yzxz求两边对两边对 x 求偏导，求偏导，z 是是 x 的函数，的函数，y看作常数看作常数.)3cos(zx)3cos()3cos(31 zx

12、zxzx解得解得:)3cos(31)3cos(zxzxzx类似得类似得)3cos(312zxzyxz)31 (xz解解(2)(0),xyzd ezed ()20,xyzedxydze dz )()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe练习：练习： 两边全微分：两边全微分： 思考题和思考题思考题和思考题 P102思考题思考题ysinyx3xy2FFdxdy223yx 思考题思考题 =-122例例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解解 ),(zyxF1222222 cz

13、byax则则,22axFx ,22byFy 22czFz xz,22zaxc yzzbyc22 令令)0( z,zxFFxz zyFFyz 法一法一 公式法公式法 x, y, z的的三个自变量的函数三个自变量的函数.在求在求Fx , Fy, Fz时时, 将将F(x, y, z)看作是看作是23方程确定了方程确定了一一个个二元函数二元函数z = f (x, y),方程两边对方程两边对x 求导：求导：(y看作常数看作常数)02222 xzczax xzzaxc22 方程两边对方程两边对y求导求导: ( x看作常数看作常数)02222 yzczby yzzbyc22 法二法二 推导法推导法例例 ,

14、1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解解24xz yz 将隐函数方程两边取全微分将隐函数方程两边取全微分)1(dd222222 czbyax0d2d2d2222 zczybyxaxyzbycxzaxczddd2222 yyzxxzzddd )(x,yfz 法三法三 全微分法全微分法例例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求25将将 xzzaxc22 yxz222axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc yzzbyc22 注注再一次对再一次对y求偏导数求偏导数,得得对复合函数求高阶偏导数时对复合函数求高阶偏导数时

15、,需注意需注意:导函数仍是复合函数导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法仍需用复合函数求导的方法.2z yz 262),(222 zyxxyzyxf是由方程是由方程设函数设函数yxd2d 解解 法一法一 用公式用公式2),(222 zyxxyzzyxF设设,22222zyxxyzxF ,22222zyxyxzyF .22222zyxzxyzF , 1)1,0, 1( xz,2)1,0, 1( yz).(d)1, 0 , 1(, zz处的全微分处的全微分在点在点则则确定的确定的.d2dd)1,0, 1(yxz 27法二法二 用全微分用全微分xy

16、zd得得2222 zyxxyzyxzd zxyd 2222d2d2d2zyxzzyyxx 0 ,)1, 0 , 1(代入上式代入上式将点将点 .d2dd)1,0, 1(yxz .dd, )tan(3xzxyeyyxzyx求求确定确定由方程由方程：设：设例例 解解.),(tan(可求全导数可求全导数 xyxz)1)(secdd2yyxxz , 0)( xyex,yFyx令令, yeFyxx ,xeFyxy yxFFy ,xeyeyxyx )1)(secdd2yyxxz ).1)(sec2xeyeyxyxyx 例例3. , 2)3sin(yzxzz yzx- 求求设设法法1. 记记 F(x, y,

17、 z) = sin(x 3z) 2y z有有 Fx = cos(x 3z),故故zxFFxz 1)3cos(3)3cos( zxzxzyFFyz 1)3cos(32 zxFy = 2, Fz = 3cos(x 3z) 1 法法2： sin(x 3z) =2y +z. ,yzxz求两边对两边对 x 求偏导，求偏导，z 是是 x 的函数，的函数，y看作常数看作常数.)3cos(zx)3cos()3cos(31 zxzxzx解得解得:)3cos(31)3cos(zxzxzx类似得类似得)3cos(312zxzyxz)31 (xz32解解令令则则,xyeysin)y, x(F2x ,ye)y, x(F

18、2xx ,xy2ycos)y, x(Fy yxFFxy dd.xy2ycoseyx2 .xdyd,xyeysin2x求求已知已知 ),(),(ddyxFyxFxyyx 隐函数的求导公式隐函数的求导公式公式法公式法习题习题8.5 P102 8.5 P102 33解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx .dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 ),(),(ddyxFyxFxyyx 隐函数的求导公式隐函数的求导公式公式法公式法习题习题8.5 P102 8.5 P102 习题习题8.5 P102 8.5 P102 yxzz0 xyz2zy2x及及求求设设 xyzxy1xyzyz1FFzzxx xyxyzxyz