空间解析几何与向量代数习题与答案

1、第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量a(6,7,6)的单位向量为.2、设已知两点Mi(4,J2,1)和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模,方向余弦和方向角.3、设m3i5j8k,n2i4j7k,p5ij4k,求向量a4m3np在x轴上的投影，及在y轴上的分向量.二、1、设a3ij2k,bi2jk,求(l)ab及ab;(2)(2a)3b及a2b(3)a、b的夹角的余弦.2、知M1(1,1,2),M2(3,3,1),M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.3、设a(3,5,2),b(2,1,4),问与满足时，abz轴.三、1、以点(1,3,-2)为球心，且通

2、过坐标原点的球面方程为.2、方程x2y2z22x4y2z0表示曲面.23、1)将xOy坐标面上的y2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为,曲面名称为.222)将xOy坐标面上的xy2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程,曲面名称为.3)将xOy坐标面上的4x29y236绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为,曲面名称为.4)在平面解析几何中yx2表示图形。在空间解析几何中2,yx表不图形.5)画出下列方程所表示的曲面z24(x2y2)(2)z4(x2y2)四、22x y 1、指出方程组 T -9y 3析几何中表示1 在平面解析几何中表不图形.图形，在空间解2、求球面x2y2z29与平面xz1的交线在

3、xOy面上的投影方程222-22.3、求上半球0zqaxy与圆柱体xyax(a0)的公共部分在xOy面及xOz面上的投影.五、1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点(1,2,3)且平行于直线-y-二的直线方程.2152、求过点(0,2,4)且与两平面x2z1,y3z2平行的直线方程.3、求过点(2,0,-3)且与直线x2y4z70垂

4、直的平面方程.3x5y2z104、求过点(3,1,-2)且通过直线4的平面方程.521xy3z0,5、求直线与平面xyz10的夹角.xyz06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系x2yz7x1y3z1)直线与直线;2xyz72112)直线上_2y_2_z_3和平面x+y+z=3.314，xyz10,一7、求点(3,-1,2)到直线y的距离.2xyz40B1、已知abc0(a,b,c为非零矢量)，试证：abbcca.2、ab3,ab1,1,1,求（a,b）.3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模|atb|最小？并证明此时b(atb).4、求单位向量，使na且nx轴，其中a(3,6,8).

5、5、求过轴，且与平面2xyJ5z0的夹角为的平面方程.36、求过点M1(4,1,2),M2(3,5,1),且垂直于6x2y3z70的平面.x2yz10vv77、求过直线y,且与直线：-y-z平行的平面2xyz20112y18、求在平面：xyz1上，且与直线L:垂直相交的直线方程z19、设质量为100kg的物体从空间点M1(3,1,8),移动到点M2(1,4,2),计算重力所做的功210、求曲线 y(长度单位为)z2x0在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z3线？11、已知 OA i 3k,OBj 3k ,求OAB的面积2x4yz0,12、.求直线y在平面4xyz1上的投影直线

6、方程3xy2z900,不全为零，C1、设向量a,b,c有相同起点，且abc0,其中证明：a,b,c终点共线.2、求过点Mo(1,2,1),且与直线：2相交成一角的直线方程.21133、过(1,0,4)且平行于平面3x4yz100又与直线人上一3且相交的直线方112J2的最短距离.01),母线平行于向量 g 1,1,1,程.4、求两直线：X三与直线：2x工011635、柱面的准线是xoy面上的圆周(中心在原点，半径为求此柱面方程6、设向量a,b非零，b2,(a,b)一，求lim3x0xb7、求直线L:1、6112、3、7112y2(y1)y轴旋转一周所围成曲面方程第七章2、M1M2=2,cos3

7、、在x轴上的投影为1、1)(2)(3)M1M25i(2a)3bcos(a,b)空间解析几何与向量代数习题答案1,cos22,cos213,在y轴上的分量为1)6(a2,4,1,M2M3aM1M2M2M37j2(2)(1)7kb)18,a32、210,2,2,2.172d72、17即为所求单位向量。1、(x1)2(y3)2(z2)22、14以（1,-2,-1）为球心，半径为的球面3、1）y2z22x,旋转抛物面6i2b4j2)x22(a4kb)10i2j14k22y z2x，球面3）绕x轴：4x29y29z236旋转双叶双曲面绕y轴：4x24z29y236旋转单叶双曲面4、抛物线，抛物柱面5、四

8、、1、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。2x22xy282 、z0（v旦）22a23 、在xoy面的投影为：（x2）ya在xOz面的投影为:z01) 1 (y 1) 3(z 1)五、1、3x7y5z402、1(xx y 2 z 42319y 22z 59 03、y504、9yz20、1、qU22153、16x14y11z6504、8x5、06、1）垂直 2 ）直线在平面上3、, 21、证明思路:a b c 0, a (a b c) 0即ababac0,又aa0,abacca同理得abbc2、思路：aba|bsin(a,b)aba|bcos(a,b

9、)。答案：(a,b)63、思路|atb|2(atb)(atb)|a|2t2|b|22t(ab)ab该式为关于的一个2次方程，求其最小值即可。答案：t-a-bb|b|1 一一4、思路：bbi,则na,nb。答案：n(8j6k)105、思路：平面过轴，不妨设平面方程为AxBy0,则nA,B,0,又(A,B不全为)、八1八答案：所求平面万程为x3y0或x-y036、法一：，所求平面法向量nM1M2，且nn16,2,3ijk取nM1M2n17436,3,10623又平面过点M1(4,1,2),则平面方程为6x3y10z70解法2.在平面上任取一点M(x,y,z),则MM1M1M；和n16,2,3共面，

10、由三向量x4y1z2共面的充要条件得6230,整理得所求平面方程7437、思路：用平面束。设过直线的平面束方程为x2yz1(2xyz2)0答案：平面方程为11x3y4z1108、思路：求交点(1,1,1),过交点(1,1,1)且垂直于已知直线的平面为x10。答案:9、思路：重力的方向可看作与向量方向相反答案：WFM1M20(2)0.3(100g)(6)600g5880J10、思路：先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为2x 9 0o原曲线是由旋转抛物面z 0y2 z2 2x 0被z 3平面所截的抛物线。-_1 .11、思路：S oab 1 |OA OB | ,答案:2. 1

11、912、思路：利用平面束方程。答案17x 31y 37z 117 04x y z 11、证明：设OAa,OBb,OCc,根据三角形法则。则ABba,ACca,abBCcbo根据条件,不全为，不妨设0,则ABcaaaba即AC与AB共线。点A,B,C在一条直线上。2、解：在已知直线上任取两点P1(2,1,0),P2(0,0,1),则向量x1y21RM03,1,1,P2Mo1,2,2,则构造直线束方程：-，表不3122过点且与已知直线共面的所有直线。根据已知条件：(31) 2 ( 1)(2) 1 (所求直线方程为-1 -y223213、解：设所求直线方程为m12) cos，即 42 ,32z 1

12、O21y z 4n P当与成一角时，有358所求直线与已知平面平行，则 3m 4n p 0(1)又所求直线与已知直线共面，在已知直线上任取一点(1,3,0),则m n pMoM1 0,3,4在平面上。三向量共面，得1120,0 34即 10m 4n 3p 0(2)由(1) (2),得m:n : p 16:19: 28所求直线方程:x 1 y z 41619284、解：已知两直线的方向向量为S1 0, 1, 1,S26, 3,0,故垂直于两方向向量的向量可取为nSiS23i 6j 6k,又点(1,0,0)在直线上过直线且平行于的平面为3(x 1) 6y 6z 0,即 x 2y 2z 1 0,又点(0,0, 2)在.1222221为所求两直线间的最短距离。5、解：设柱面上任意一点M(x,y,z),过作平行于向量的母线且准线相交于Mo(xo,y0,0),又M°M|g,即M°Mg,xx0,yy0,z。22.又Mo在圆上，x0y0122-22(x)(y)1,即(xz)(yz)16、解：.22axbaaxb|a(axb)(axb)aalim!lim!lim-x0xx0x(|axb|a|)x0x(|axb|a|)2.212(aa2xabxb)aa2abxb2ablim：lim-jj-y-：-r-p2c