函数、导数与不等式专题练习(附答案)

1、函数、与数与不等式1 .已知点A(1,-1),B(4,0), C(2,2),平面区域D是由所有满足:AP = >“AB + NAC(1<?uWa,1Wb)的点P(x,y)组成的区域，若区域 D的面积为8,则4a +b的最小值为( C )A. 5B. 4 2C. 9D. 5 4 22 .设a = Jx2 _xy + y2 ,b = p«7,c = x + y ,若对任意的正实数x,y ,都存在以a,b,c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是( A )A.(1,3)B. (1,2 C. '1,-7 l1D.以上均不正确a b c分析：因为x,y均为正实数，则c>

2、;a ,要使以a,b,c为三边的三角形存在，则：<a b c,a c b即c-a<b<c+a恒成立，故：十，2. "lZ1<p<二十2+ /十.1 ,y x - y x. y x 1yx令t=3+Y,则：t之2,记卜=*+义+2-,旨+21 =斤万1, h单调递减，所 y x, y x , y x以 t=2 时，hmax =，2 +2 72 T =1 ,同理 t己:s=/-+-+2+J + -1= Vt-+2 + Vt -1 , y x y xs单调递增，可知t = 2时，Smin =5/2+2+>/2T1=3,故实数p的取值范围是(1,3),故选

3、Ao3 .已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f'(x)满足乎 + x<1,则下列结论正确 f (x)的是( B )A.对于任意xWR,f(x)<0,B.对于任意 x三R,f(x)0,C.当且仅当x3,1), f (x) <0D.当且仅当xw (1,收)，f(x)>0分析：由于f (x) +x <1, f (x)是定义在R上的减函数，所以：f (x) < 0, f (x) +xf x) > f '(x), f (x)即：f(x)+(x-1)f'(x) A0,故：I(x-1)f (x)H>0,则函数 y = (x1)f

4、 (x)在 R 上单调递增，而x=1时，则当x<1时，y <0, f(x)>0 ,当x>1时，y>0, f(x)>0 ,故对任意的 x w R, f (x) >0 ,故选 B.4 .定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的实数x ,都有：2 f (x) +x(x)父2包成立，则使x6.已知偶函数f(x)的定义域为(-1,0)50,1),且f(,)= 0,当0<x<1时，不等式: f (x) - f(1)<x2 -1成立的实数x的取值范围为 ( B )A. xx#±l B. (g,1)=(1,收)C.

5、 (-1,1)D. (1,0)u(0,1)分析：由题意得：当 x>0时，由2f (x) + xfx)< 2,可知2xf (x)十/ f'(x)2x< 0,设 g(x) =x2 f (x)-x2 ,贝U g'(x) =2xf (x)+x2f'(x)-2x <0恒成立，所以函数 g(x)在(0,)单 调递减，由 x2 f (x) - f (1) <x2 -1 ,即 g(x)Mg(1),即 x>1 ,当 x<0 时,因为函数 f(x)是 偶函数，同理得x<-1,综上可知，实数x的取值范围是(,)。,)，故选B.5.设函数f

6、9;(x)是函数f (x)(xw R)的导函数，f(0) =1且3f (x) = f'(x)-3 ,则不等式:4f(x) >f (x)的解集是分析：由3f (x)= fxx3k *a 3b = k l a *aB.C.虫,2eD.一二3(x-),3 设 f (x) = kax +b ,解得 b = -1,a =e3则 f ( x) = kln a x a,由此可得：又 f ( 0,1所以k = 2 ,则3x,3xf (x) =2e -1, f (x) =6e ,A.1 J<x - <x <0或一 <x< 1 >B.1 e 1<x -1 &

7、lt; x M 或一 < x < 1 >22解不等式 4 f (x)Af'(x),即 8e3x4>6e3x,解得 x >选B.C.11 一4x <x<一且x ¥0 _1 ,、一 1D. Vx-1 < x <或0< x <一,分析：由题意知，当0<x<1时，总有：(1-x)f'(x) ln(1-x2) >2f (x)包成立，即: x2-2 x2f '(x) ln(1 -x ) +2 f(x) >0 恒成立，即 f '(x) ,ln(1 -x 1 -x) + ln(1

8、_x2) f(x)>0 ,即f ( x)* l n (iX>恒成立，所以函数g(x) = f(x)ln(1x2)在(0,1)上单调递增，又因为函数y =ln(1 x2)是偶函数，y = f (x)为偶函数，所以函数g(x) = f (x)*ln(1 - x2)是偶函数,又由 f(1)=0,得 g(l)=0。当 xw(1,0)50,1)时，1x2w(0,1),所以 ln(1 x2)<0 ,所 22以不等式 f(x)<0u-2，、-1f (x) *ln(1 -x )>0 u g( x) > 0 u g( x ) > g(-)211ux<或x>,

9、结合 xw (1,0)u(0,1),知解集为: 221.11，、,，_(x -1 <x<或<x<1 b。故选 B.I2 2 J7 .棱长为1的正四面体ABCD中，E为棱AB上一点(不含 A, B两点)，点E到平面ACD和平面BCD的距离分别为a,b,则(ab+1)(a*b)的最小值为( abA. 28 . 2 .39 . 2.6分析：连接CE,DE,设三角形BCD的中心为O,由正四面体棱长为1,得：OA =近，由:3VA -BCD -VE -BCD VE SCD ?得:=a +b ,由 a+b 之270,得: 31之=6 ,所以 ab (a b)2他上!=诿.(1+2)

10、之述,故选d。ab3 ab 38 .已知f'(x)是定义在上R的函数f(x)的导函数，满足f'(x)+2f(x) >0 ,且f(-1)=0, 则f(x)<0的解集为( A )A.(-二，T)B. (-1,1)C.(-二,0)D. (-1，二)分析：由 f'(x)+2f(x)> 01T 得 e2x f'(x)+2e2x f (x) a 0 ,即，e2x f'(x) + (e2x)f (x) > 0 即 g(x)=e2xf (x)在 R 上单调递增，由 f(-1) = 0得 g(-1) =0 ,则 f (x 0 当时，x= (-

11、76;0,-1), 故选A.19 .已知函数f (x)的导函数f (x)辆足xf (x) +2 f (x)=，且f (1) 4 ,则函数f (x)的取大 x值为(D )A. 2eB. eD.21 一一一 c1分析：因为：xf (x) +2 f (x) = F ,所以：x f '(x) +2xf (x)=,令 g(x) = x f (x),贝U:xx9.11.g (x) =x f (x) +2xf (x)=，又 fX 1 =,所以：g(1) = 1,由 g (x)=，所以：g(x) = 1 + ln x ,xx1 g (x) 1 h ln x1 - 21nx .2所以：f(x)=空3 =

12、 9所以：f (x) =2，令厂(x) =0 ,得：x = e”，所以：x xx111当 x<e2 时， f'(x>0 当 xe2 时，f'(x)0 当* = 32 时，1f (x m) a=xf e 2( =)-i =；，故选 D.2 322(e2)10.已知 f(x)=1n(41+x2 +x)2+1 , a= f(摩),b = f(9),c = f(2 兀)，下列结论 2x 135正确的时(B )A. b a cB. c a bC. a b cD. c b a272 2分析：因为： f (x) = ln Ji +(-x) + (-x) I- + = ln(/ +

13、 x -x) - 2x 斗+1 ,所以: 12 1n 2f (x)+f (x) =0 ,即函数 f(x)为奇函数，由 f(x)= ,+4>0,得：f(x)为单.x2 1 (2x 1)2调增函数，又因为：n2>1>理>胆，所以：f(n2)>”妇> f (鲂)，即c>a b ,3535故选B.x 111.已知函数 f(x)=ln +, g(x)=e ，右g(m)= f (n)成立，则 nm的取小值为 2 2( B )A. 1 -ln2B. ln2C. 2,3-3D. e2 -3t 二.t-1、一分析：设 f (n) = g(m) =t ,贝U m = 2+

14、 lnt,n =2e 2(t >0),所以：n-m = 2e 2 -lnt-2 ,设,1, 1,t 一”.t.h(t) =2e 2 -lnt -2，所以：h'(t) =2e 2 - -，令 h'(t 0 ，解得：t=,当 0<t<'时，h'(t) <0 , t22,11 .11.当 t a 时，h (t) >0 ,所以当 t = 一时，h(t)min = h(-) = 2ln 2 = ln2,故选 B.222212.已知函数f (x) =x2(ex+e+)-(2x+1)(e2x+e*x“)，则满足f (x) > 0的实数x的取

15、值范围是( A )iC. (一3, 二)1D.(-二，-1) _.(-一，二)3分析：设 g(x) =x2(ex+e'),则 fx) gx) g2x1 + ，要使 f (x) > 0 ,则使 g(x) a g(2x +1), 因为 g(x) =g(x),所以 g(x)为偶函数，当 x0 时，g，(x)=2x(ex + e")x342013234201314.已知函数 f (x) =1+x 乙+上一工+IM ,g(x) =1 - x + - -III 23420132342013设 F(x) = f (x +4)g(x -4),且函数 F(x)的零点在区间 la T,a或

16、 lb-1,b(a <b,a,b Z)，则a +b的值为()A.0B. -C. 3D.2(ex e")之 0, 所以函数g(x)在10,收)上是增函数，所以|x>2x + 1 ,解得：_1<x< J ,故选A.1113.已知函数f(x)=()x-,则使得f (x) A f(2x1)成立的x的取值范围是2110g1(1x)2( D )_1D. I, -J', -1 - - 鼻 ,1 卜,I3A1 ,、一*#±1。当乂A0时，A. (3,1)B.分析：由1 +1og1 (1 +|x) #0得x#±1，所以函数f (x)的定义域为 2为减

17、函数， 1为减函数，所以f(x)为减函数，当x<0时，(1)为增函数,110gl(1 x)22110g1(1 ：|x)2为偶函数,1为增函数，所以f(x)为增函数。因为f(x)=(1)凶 110g1(1-x)2,2且 f (x) > f (2x -1)，所以 x <|2x -1 ,两边平方得：x2 < 4x2 -4x +1 ,即 3x2 4x +1 a 0 ,一,11一. 一一一一/ 1：一、.，斛得：x-或x >1 ,又x #±1 ,所以x的取值氾围是(-!, -1 Q |，1 3 1产),故选3. 3D.当x<-1时,2013f <x)

18、=1 x +x2 x3 +IH +x2012 =-> 0 也成立,即 f '(x) = 1 _ x + x2 _ x3 十川+ x2012 > 01 x2342013恒成立，所以f(x)=1+x-± + ±-±+|+2 在上R上单调递增，f(0)=1>0, 23 4201311 一 11f (_1)=(1-1)+(_-) + |+(-)<0, f(x)的唯一零点在1,0内，f(x+4)2 32012 2013的唯一零点在-57内，同理得g(x4)唯一零点在5,6内，因止匕b=6,a=4,a + b = 2。a215 .已知a,b,为

19、正头数，直线 y=x-a与曲线y = ln(x+b)相切，则 2 的取值氾围是1A. (0,1)B. (0,1)C. (0,二)D.11,二2 b - 3-a，令g高，则:g'<*皿分析：函数的导数为y'= , x=1 b ,切点为(1b,0),代入y = xa ,得：a + b = 1, x b因为a,b,为正实数，所以a w (0,1)，则:1(0,2)。2则函数g(a)为增函数，所以-aw2 b x2-1.0<x<116 .设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x之0时，f(x) = «,若对任意的lnx, x -1,xwfa,a+1，不等式f(

20、2x) Ef(x+a)恒成立，则实数a的最大值为( D )A. -1B. -C. -D.3234分析：当 x 20时，f (x) = J 1,° x <1,当 x w01 )时，y = x2 -1 递增，且 x = 1, y = 0 , ln x,x -1,当x知时，y= lnx递增，且经过点(1,0),则有f(x)在0,收)递增，由偶函数的性质可得 f(x) =f(x),不等式 f(2x)« f(x + a)即为 f(2x)< f(x + a),即有 2x <|x + a ,即为(3x +a)(x-a) <0,对任意的x亡G,a+1，不等式f (2

21、x) W f (x + a)恒成立，由二次函数的图像可得：(3a+a)(a -a) <0 ,且3(a +1) +a (a + 1-a) < 0,即为 0E0 且 a 4一0 ,则有4a<_3,所以a的最大值为_3。44 17.曲线f (x) =ax2(a >0)与g(x) =ln x有两条公切线，则a的取值范围是( D八1r1-1r 1A. (0,-)B. (0,)C.(-,二)D.(一,二)e2ee2e分析：设切线与f (x) =ax2(a >0)切于点(x, ax2),与gx) Rx切于点(x21nx2)，则切线:2 c2y = 2ax1(xx1)+ax1 =

22、2ax1x -ax1,1，、，y = (x -x2) In x2 二X21x + In x2 -1, 所 以x2-1a 24x2(1 - ln x?),(x2 >0),则该式有两解，设2axi =, x2,两式洎去为得_ 2a% =1 - In x2,g(x)=-2T-1，贝Ug'(x)=-83nx 4 设 h(x) =8ln x 4 ,贝U h(x)在(0,y)上单调4x2(1 -In x)16x3(1 -In x)2递增，且，所以存在 x0 = Ve使 h(x0) =0 ,所以，当 x w (0, Ve)时，h(x) < 0 ,当 x w (Ve +* 时，h(x) &

23、gt;0 ,即当 xw (0,痛)时，g*(x) <0 ,当 xw (娓加 时，g，(x) >0，所以 g(x)在(0, Ve)上单调递减，在(点 收)上单调递增，所以g(Te)=,所以aw (工,代)，故选D.2e2e18.设函数 f (x) = ex + x 2 , g(x) = In x + x2 -3 ,若实数 a,b 满足 f (a) = 0, g(b)= 0,则( )A. 0 :二 g(a):二 f (b)B. g(a):二 0 :二 f(b)C.f(b) <g(a) <0D. f (b) < 0 - g(a)分析：由于y =ex及y =x-2关于时单

24、调递增函数，所以函数 f (x) =ex+ x-2在R上单调 递增，分别作出 y =ex,y =2x 的图像，因为 f(0) =1 = 02<0, f(1) = e-1>0 , f(a)=0, 所以：0 <a<1.同理 g(x) =In x+x2 3在 R + 上单调递增，g(1)= In1+1 3 = 2 < 0 ,由于 g( J3) =In J3 +(J3)2 3=1m3>0 , 故由 g(b >0 可得 1<b<J3 , 所 以2g( a尸 I a2 a-3 g ( W ) 十 n1 , =f(b)4eb 42)-20- f(1) =

25、 e+1 2 = e 1 >0 ,所以：g(a):二 0 :二 f (b).119.定义在 R 上的函数f(x)满足f( x 2=)-f (x )当x 0 ,)2时，-2x2 , £x <1 ,f (x) = « 2，函数g(x) =x3 +3x2+m。若对任意s三1-4, -2 ,存在1f4邕£ 2-22,1 <x <2.t- U, -2),不等式f(s)-g(t)20成立，则实数m的取值范围是( C )分析：当x w 10,2 )时,1 ,f (x 2) =-f(x)21-2x2,0 <x<1,f(x) =<2，当 x

26、w42)时，x + 4w0,2),又1 -x,1堂 <222 " ,1<x<2.1 1f(x+4)=- f(x + 2)=- f (x),则2 4_2 一，、2-x8_x；-(4),4f (x = f x方 =34*(,当*<x<3时f(x)在4,-3)上为减函一2 12 x ：二厂32,数，-6 <f (x) M2,当一3Ex<2 时,f(x)在,5当x = -5时取得极小值为-8 ,所以当x- J, -2)时，f(x)的最小值为-8 ,对于函数g(x) =x3 +3x2 +m , 有 g '( x)= 3x + 6x= 3x (x

27、 2 )g(x)在-4,-2 )上是增函数，g( -2) =m +4 , g(T) = m -16 ,可见 m -16 W g(x) < m + 4 ,依题意若对任意 s=-4,-2),存在 tw U,-2 ),不等式 f(s)-g(t)之 0 成立，只需 m16W8n m<8020.已知函数 f(x) =m*2x+x2 +nx ,若x f(x) =0,xR= xx f (f (x) =0,x R #中，则m + n的取值范围为（ BA. 0,4B. 1.0,4C. 0,51D. 1.0,51分析：由题意得： f(0) nm,S +0+ 0=m,令 t Mx f( x) = 0,

28、xw R,则 f (t)= 0,且 tw(x f( f(x)=0,痔 R,所以 f (f (t) = f (0) =m =0 ,即 m = 0,所以 f(x) = x2+nx,所以 f (f (x) = f (x) f +nf (x) = (x2 + nx)2 十n (x2 + nx) = x(x + n)(x2 + nx + n),当 n = 0 时,f (x)=x2 , f(f(x) =x4 ,由 f (x) = 0,解得 x=0 ,由 f( f(x)= 0单得 x = 0 ,止匕时 x f( x)= 0, x 三 R = x f( f( xo= 0, x r=0*4 ,符合 题意，当 n

29、#0 时， x| ( x 0 货 R限，行xfKX) 0n Rw 年 n-，则 f(f(a 0=，且除 0,-n以外f(f(x) = 0再无其它实根，所以方程x2+nx + n=0无实根，即A = n2-4n<0,即0 <n <4o综上，满足条件的所有实数n取值范围为0£n<4,所以：0Em + n<4。21 .定义在区间(0,收)上的函数y = f(x)使不等式2f (x)< xf'(x)< 3f (x)|!成立，其中 y = f (x)为y = f (x)的导数，则()A. 8：二2：二16 B. 4：二段：二8 C. 3：二盘：

30、二4 D. 2 ：二 f2b 3 f(1)f(1)f(1)f(1)分析：因为 xf (x) 2 f (x) A0, x A 0 ,所以乎=f(x)*x2j2xf(x) = xf'(x),2f(x) > 0 _ x2x4x3所以丫=与单调递增，所以 ，因为*)-?”*), x>0,所x22212 f (1)以粤 1 = f(x)*x3：x2f(x)=xf'x)；3f(x)M0 ,所以 丫=瞥单调递减，所以f (2)门<8。f(1)IL xxxx 华.当，即皿<8,综上，有42313f(1)22 .已知定义在R上的奇函数f(x)的图像为一条连续不断的曲线，f

31、 (1 + x)= f (1-x),f(1)=a,且当 0<x<1 时，f(x)的导函数 f'(x)满足 f'(x)< f(x),贝U f(x)在2015,2016】上的最大值为( C )A. aB. 0C. -aD.2016分析：由f (1+x)= f(1-x)可得函数f(x)的图像关于直线x=1对称，又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0,且f(x)的图像关于点(0,0)对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则在 315,2016上的图像与-1,0上的图像完全相同，令g(x)=f(x),则eg<x) = f (x) (x) <0,函

32、数 g(x)在(0,1)上递减，贝 U g(x) <g(0) =0,所以 f x) < f (x) <0 , e则函数f(x)在(0,1)上单调递减，又由奇函数的性质可得f(x)在(1,0)上也单调递减，则f(x)在 £2015,2016上的最大值为：f (2015) = f (1) = f (1)= a 。23 .已知函数f (x)(xw R)满足f(1p1且f (x)的导函数fx)1 一一一 .<-,则不等式29x2 1f (x ) <一+-的斛集为 xw (-叩1 p1, 容1.分析：设 F( xA f (-x4f( x则 F ( xA2x1,0即

33、函数F (x)在R上单调递减，而f (x )一 +一,即221)/2dT-二，-1 . 1,二10所以F(x ) <F(1),而函数F(x)在R上单调递减，所以x2>1 ,即24 .在三棱锥 D ABC 中，已知 AB =2, AC BD =3，设 AD =a,BC =b,CD =c,则:的最小值为分析：设A D , aC B b=DCH 为 AB=2,所以 a+b+ 彩嚏 Ha b c 2(ab bc ca)=4 ,又 A C B D3-,所以(a+ c)(-b -c)2ab+bc+ca+c =3 ,所以 a + b + c2+(3 -c )尸 4c=a +b+2 ,a2十b2+

34、c2»( 3 c2),音牛a2+b2+2所以a2 b2 2 2ab 2ab 1 ab 1=2 ,当且仅当a = b 时,2的最小值是2.2y I x2 2y2 'ab 125 .记min a,b为a,b两数的最小值。当正数 x,y变化时，令t = min42x+y,则t的最大值为:分析：由所给定义知：tE2x y,t _ 22y 2，所以：x 2y_2 _2、 _,2 22、t2 ,4xy 2y2(2xy y ) . 2(x x y ) 2t - x2+2y22，：；x，y ,因为当点P运动到C点时，H达到最小值，点P ,1x2 22 2 . x y (2) * x y = x2+2y2 x2+2y2 所以：t <72 故：t 的最大值为：版2tx2 2 sin(x ) x26 .已知关于x的函数f (x) =24 的最大值为a ,最小值为b ,若2x cosxa+b =2 ,则实数t的值为： 1。2tx2.2sin(x ) x分析： 因为： f (x)=242x cosx22tx tsin x t cosx x2x2 cosx= t+ts21nx+x ,又2x cosxts21nx+x为奇函数,所以tlnxx得最大值与最