圆与方程知识点总结典型例题

1、2(1)当D2E24F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C-，半径rD2E24F圆与方程1.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x a)2(y b)2r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.2点与圆的位置关系：(1) .设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r:a.点在圆内 dvr ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d r(2) . 给定点 M (x0,y0)及圆C : (x a)2(y b)2r2.1M 在圆 C 内(x0a)2(y0b)2r22M 在圆 C 上(x0a)2(y0b)2r23M 在圆 C 外(x0a)2(y0b)2r2(

2、3) 涉及最值：1圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值PBiBNBC rminPB BMBC rmax2圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值PAiAN r ACminPAAMr ACmax思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直AC)3.圆的一般方程：x2y2Dx Ey F 0.（2）当 D2E24F 0 时，方程表示一个点当D2E24F 0时，方程不表示任何图形注：方程Ax2Bxy Cy2Dx Ey F 0表示圆的充要条件是：2 2D2E24AF 0.4.直线与圆的位置关系:直线Ax By C 0与圆(x a)2(y b)2的个数来判断：（1） 当0时，直线与圆有 2 个交点，直线与圆相

3、交;（2） 当0时，直线与圆只有 1 个交点，直线与圆相切;（3） 当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系(1)设两圆G: (xaj2(yth)2与圆C2: (xa?)2(yb?)2，圆心距d .1 a?)2(d b2)2d1$外离4 条公切线；drr2外切3 条公切线；r1r2d相交2 条公切线；1）2）3）圆心到直线的距离d直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交Aa Bb C,A2B2无交点；只有一个交点；有两个交点；弦长|AB|=2 ,r2d2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax By C 0 x2y2Dx EyF求解，通过解0dr1r2内切1 条公切线；0 dr

4、2内含无公切线；(2)两圆公共弦所在直线方程圆Ci:x22yDixEiyFi0，圆C2:x22yD2xE?yF20则DiD2补充说明：xEiEyFiF20为两相交圆公共弦方程1若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程;2若Ci与C2相离，则表示连心线的中垂线方程(3 )圆系问题过两圆Ci:x2y2Ux Eiy2 2Fi0和C2:x yD2x2 2x y D2x E2y F2E?y F20交点的圆系方程为x2 2yDix Eiy Fi0(i)补充：上述圆系不包括C2；2)当i时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)过直线Ax By C0与圆x2y2Dx Ey F0交点的圆系方程为2 2x yDx

5、 Ey FAxBy C 06.过一点作圆的切线的方程:(1)过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即yiyok(xixo)Rb yik(a xi)VR2i求解 k,得到切线方程【一定两解】例 i.经过点 P(i， 2)点作圆(x+i)2+(y2)2=4 的切线，则切线方程为 _(2)过圆上一点的切线 方程：圆(xa)2+(yb)2=r2，圆上一点为(xo, yo),外离外切相交内切则过此点的切线方程为(xoa)(xa)+(yob)(yb)= r2特别地，过圆x2y2r2上一点 P(xo,yo)的切线方程为xx yy r2.例 2.经过点 P

6、( 4, 8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9 的切线，则切线方程为 _7. 切点弦(1)过。C：(x a)2(y b)2r2外一点P(x,y)作OC的两条切线，切点分别为A、B, 则切点弦AB所在直线方程为：(x0a)(x a) (y0b)(y b) r28. 切线长：若圆的方程为(x a)2(y b)2=r2,则过圆外一点Rx0,y)的切线长为d= (xa)2+(yb)2r2.9.圆心的三个重要几何性质：1圆心在过切点且与切线垂直的直线上；2圆心在某一条弦的中垂线上；3两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆 C:x2+

7、y2 2x=0 和圆 C2：x2+y2+4y=0,试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB 的方程及公共弦长。一、求圆的方程例 1 (06 重庆卷文)以点(2, 1)为圆心且与直线3x 4y 5 0相切的圆的方程为()(A)(x 2)2(y 1)23(B)(x 2)2(y 1)23(C)(x 2)2(y 1)29(D)(x 2)2(y 1)29二、位置关系问题例 2 （06 安徽卷文）直线Xy1与圆x2y22ay0(a0）没有公共点，则a的取值范围是（）(A)(0, .21)(B)(、.2 1,、.2 1)(C)( ,21, ,21)(D)(0,.2 1)三、

8、切线问题例 3 （06 重庆卷理）过坐标原点且与圆x2y24x 2y520相切的直线方程为（）c11(A)y3x或yx(B)y 3x或yx331(C)y3x或yx(D)y 3x或y1x33四、弦长问题例 4 （06 天津卷理）设直线ax y30与圆(x1)2(y2）24相交于A、B两点，且弦AB的长为2 . 3，则a例 6 （06 全国卷二）过点（1, ,2）的直线1将圆（x角最小时，直线|的斜率k _.七、最值问题例 7 （06 湖南卷文）圆x22y4x4y100上的点到直线x y 140的最大距离与最小距离的差是（）(A) 30(B) 18(C)6.2(D)5. 2八、综合问题2例 5 （

9、06 全国卷一文）从圆x2x y22y切线夹角的余弦值为（）13厂一3(A) (B)(C)(D) 0252六、圆心角问题10外一点P（3,2）向这个圆作两条切线，则两2） y4分成两段弧，当劣弧所对的圆心五、夹角问题例 8 （06 湖南卷理）若圆2x2y4x4y100上至少有三个不同的点到直线l : ax by 0的距离为2J2，则直线I的斜率 k 取值范围圆的方程1.方程x2+y2-2 （t+3）x+2 （1 4t2）y+16t+9=0 （t匕R）表示圆方程，则t的取值范围是2.一圆与y轴相切，圆心在直线x 3y=0 上，且直线y=x截圆所得弦长为 2.7，求此圆的方程3.方程x2+y2+D

10、x+Ey+F= 0(C+E2 4F 0)表示的曲线关于x+y=0 成轴对称图形，则(+E=0B.+F=0+F=0D.D+E+F=08）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为 1,且与点B（3，1）距离为 2 的直线6.（ 2004 年全国卷山，16）设P为圆x2+y2=1 上的动点，则点P到直线 3x 4y 10=0 的 距离的最小值为_ .7. 已知实数x、y满足方程x2+y2 4x+1=0.求（1）丄的最大值和最小值；（2）yx的最小值；x（3） x+y的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系2 2 2 2例 1.求经过两已知圆：x y 4x 6 0和x y 4y 6 0的交点且圆心的横坐

11、标为 3的圆的方程。例 2 . 设圆方程为：(4)x2(4)y2(24)x (1240) y 48164 0其中 4求证： 不论 为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系_ 2 2例 1：求由下列条件所决定圆x2y24的圆的切线方程;A. 1t1B.71t!C.1t1t24.（ 2004 年全国U共有（）条5.条条条（2005 年黄冈市调研题）圆x2+y2+x 6y+3=0 上两点P、Q关于直线kxy+4=0 对称，则(1)经过点PC. 3,1)， (2)经过点Q(3,0)，(3)斜率为1直线和圆1自点(一 3，3)发岀的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射线所在直线与圆2 2x y 4x 4y 70相切，求光线 L 所在直线方