2020年中考数学专题——探求动点轨迹破解最值问题

1、探求动点轨迹破解最值问题.这类线段有以（直线型、曲线最值问题是近几年中考的热点与难点之一，尤其是一类线段的最值问题备受命题人青睐下特点：线段的一个端点为定点，另一个端点为动点.解决此类问题的关键是构建动点的轨迹型）.下面，笔者略举数例加以说明.一、直线型轨迹:定线定距离、当动点在线段、射线、直线上运动时，则称动点轨迹为直线型，这样的动点主要有三类6定线定夹角、定点等距离。此时可将“点点距离”转化为“点线距离”1.定线定距离例1（ 2019年泰安中考题）如图1,矩形ABCD中，AB,利用“垂线段最短”求解最值EC上一动点,P为DF中点，连结 PB ,则PB的最小值是（(A)24,AD 2,E为A

2、B的中点，F为 )(D) 2 2(B)4M/DCQAE（C）、2分析如图-1PQ DE2CAB1 ,过点P作PQ CE交CE于点Q ,可证 PQF : DEF ,于是 42,可知点p到ce的距离始终是J2,即点p在平彳t于ce且距离为J2的直线i上运动.故线段PB的最小值转化为点 B到直线l的垂线段BM的长（如图2）, BM 272 .评注若动点P到定直线l的距离为定值，则动点 P的轨迹是平行于l的直线.2.定线定夹角例2如图3,在矩形ABCD中，AB 3, DCA 30，点F是对角线AC上的一个动点,两侧,连结DF ,以DF为斜边作 DFE 30的直角三角形DEF ,使点E和点A位于DF 从

3、点A到点C的运动过程中，则 CE的最小值是 E分析如图4,以AD为斜边作DAG 30的Rt DAG ,连接DEEG .因为DFDGADEDGFDA ,所以 EDG :FDA，故60夹角的射线GE上运动，CE的最小值转化为点DGE DAFC到该射线的垂线段60 .可知动点E在与DG成CH的长（如图5）。易得 AD 33, DG -, DH 23,所以CH 4评注若动点P与定线段AB形成的3.定点等距离图5PAB为定值，则动点P的轨迹是一条射线.例3造ABC如图6,在平面直角坐标系中，已知分析1OM BC.同理 AM2线l ,故PM的最小值是点DEP中，由等积法，可得PN -V5 .5P的轨迹是线

4、段 AB的垂直平分线.A(2,4) , P(1,0), B为y轴上的动点，以AB为边构1 .BC,所以OMAM .可知动点M的运动轨迹是线段 AO的垂直平分2P到l的垂线段PN的长(如图8).以图855 -易知 D(0, ) , E(5,0),所以 DE V5 .在 22评注 若动点P到两定点A, B的距离相等，则动点二、曲线型轨迹当动点在圆或圆弧上运动时，则称动点轨迹为曲线型，这样的动点主要有两类：定点定距离、定线定张角.此时可将“点点距离”转化为“点圆距离”，求解时常用到以下模型：如图9, P是。O外一点，直线PO 分别交。O于点A, B ,则点P到。O上各点距离最大值为线段 PA的长，最

5、小值为线段 PB的长.图91 .定点定距离例4如图10,在矩形ABCD中，AB 3,BC 2,M是AD边的中点，N是AB边上的动 点，将 AMN沿MN所在直线折叠，得到A'MN ,连结A'C ，则A'C的最小值是.图10图“分析 由翻折，得 MA' MA 1 ,所以点A'在以M为圆心，半径为1的圆上运动(如图11).由 模型，可知A'C的最小值为CG的长，CG CM MGJi0 1.评注若动点P到定点A的距离为定长，则动点P的轨迹是以A为圆心，PA长为半径的圆或圆弧.2 .定线定张角(1)张角为直角例5如图12 ,点D在半圆O上，半径OB 扃 A

6、D 10，点C在弧BD上移动，连结 AC,H是AC上一点，DHC 90 .连结BH，点C在移动的过程中BH的最小值是()(A)5(B)6(C)7(D)8分析 因为AD10是定值，AHD 90 ,根据“直径所对的圆周角是直角”，可知点H在以AD为直径的。G的圆弧DPE上运动(如图13).求BH的最小值可应用模型，连结 BG交。G于点 2222P, PB所求的最小值.因为AB是直径，所以ADB 90，则AB AD BG GD ,可AB为直径的圆或得 BG 13,所以 BP BG PG 8.评注圆弧.(2)张角为锐角的边长为2.点A从点O开始沿着轴的正方向例6如图14,在直角坐标系xOy中，已知正

7、ABC移动，点B在 xOy的平分线上移动，则点 C到原点的最大距离是()(A) 1(C) 2.3分析 如图15，作 ABO的外接圆。D , CD交AB于点F。若将 ABC看成静止的，则O点是动点，于是 AB是定线段，的最大值为CE的长.易得DEAOB 45是定角，则动点O的轨迹是优弧AOB .由模型，可知COV2, CF 33, DF 1,所以 CE 1 V2 百.评注 若AB为定线段，P是动点，APB为定角且为锐角,的轨迹是。O上的优弧Apb .(3)张角为钝角例7 (2019年淄博中考题)如图16,顶点为M的抛物线y作 ABP的外接圆。O ,则动点P2ax bx 3 与 x 轴交于 A(3

8、,0),B( 1,0)两点，与y轴交于点C.(i )求这条抛物线对应的函数表达式.(ii )问在y轴上是否存在一点 P ,使得 说明理由二PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标若不存在,(in )若在第一象限的抛物线下方有一动点ADG的内心为I ,试求CI的最小值.D ,满足DA OA ,过D作DG x轴于点G ,设图18图16图17分析2(i)这条抛物线对应的函数表达式为 y x 2x 3.(n)在y轴上存在点P ,使得 PAM为直角三角形，设点 P坐标为(0, p). 22yx2 2x 3 (x 1)2 4,. 顶点 M (1,4).2-.AM20,一2 一 2AP 9 p ,_ 2-

9、2MP 17 8p p .若 PAM 90 ,则AM 2 AP2 MP2, 一 -2, _220 9 P 17 8p p ,3解彳导p-,23P(0，:). 2若APM90 ,则_2_ 22APMPAM,一2 一一2一9p 178pp20,解彳导p11 , p23,P(0,1)或 P(0,3)若 AMP 90 ,则 222AM2 MP2 AP2, 22. 20 17 8p p 9 p ,“一7解彳导p 2 ,P(0，7).2,_ ,37、综上所述，点P坐标为P（0, 一）或P（0,1）或P（0,3）或P（0, 一 ）时使得 PAM为直角三角形.22（in）如图 17,连结 AI,DI ,OI ,由 DGA 90 , I 是 ADG 内心，易得 AID 135 .由AO AD , IAO IAD , AI AI ,得 AIO AID ,于是 AIO AID 135 , 又AO是定线段，所以点I在劣弧Ao上运动（如图18）.连结CE交o E于点F .由 AIO 135 ，333 二一一3 可得 OEA 90，则E（一,一） ,OE-V2 ,CE- J10 .由模