五年级奥数：周期问题

1、欢迎阅读八周期性问题(A)年级 班 姓名 得分一、填空题1 .某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 .2 . 1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期.3 .按下面摆法摆80个三角形，有个白色的.4 .节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯 也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯，小明想第73盏灯是 T.5 .时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是 .6.把自然数1,2,3,4,5 如表依次排列成5列，那么数“1992S 列.第一列第二列第三列第四列第五列1234598761

2、01112131418171615-一7.把分数4化成小数后，小数点第110位上的数字是78 .循环小数0.1992517与0.34567 .这两个循环小数在小数点后第 位，首次同时出现在该位中的数字都是7.9 . 一审数：1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4, 共有 1991 个数.(1)其中共有个1,个9个4;(2)这些数字的总和是 .10 . 7 M 7 *7& M 7j所得积末位数是 . 50个二、解答题11 .紧接着1989后面一用数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.例如8M9=72，在9后面写2,9x2=18，在2后面

3、写8,得到一串数字:1 9 8 9 2 8 6这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？12 . 1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和末两位数是多少？13 .设n = ?黑2黑2： x2；、那么n的末两位数字是多少？14 .在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔 6厘米染一个红点，同时自右至左每隔 5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？欢迎阅读5.将数",4,号，那么数斗好勺数15M9应排在第7,10,1318ft次如图排列成6行，如果把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编10113740%

4、J八周期性问题(B)年级 班 姓名 得分一、填空题1 . 1992年1月18日是星期六，再过十年的1月18日是星期2 .黑珠、白珠共102颗，穿成一串，排列如下图:oeoooeoooeooo这串珠子中，最后一颗珠子应该是 色的，这种颜色的珠子在这串中共有颗.3 .流水线上生产小木珠涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑两1个白，然后再 依次是5红,4黄,3 I,2黑,1白，继续下去第1993个小珠的颜色是 色.4 .把珠子一个一个地如下图按顺序往返不断投入A、B、C、D、E、F袋中.第1992粒珠子投在袋中.5813解答题49/Z49 -6,分数化成小数后，小数点后面第1993位

5、上的数字7 . Z化成小数后，小数点后面1993位上的数字是148 .在一个循环小数0.1234567中，如果要使这个循环小数第100位的数字是5,那么表示循环节 的两个小圆点，应分别在?口 这两个数字上.9 . 1991个9与1990个8与1989个7的连乘积的个位数是 .10 .算式(367367+762762)M123123的得数的尾数是.11 .乘积1父2M 3 M4 MM1990M 1991是一个多位数，而且末尾有许多零，从右到左第一个不等于零的数是多少？12 .有用自然数，已知第一个数与第二个数互质，而且第一个数的夕恰好是第二个数的工，从64第三个数型台，每个数字正好是前两个数的和

6、，问这年举的第 1991个数被3除所得的余数是几？ 共产党好共产党好共产党好13 .社会主义好社会主义好社会主义好 上表中，将每列上下两个字组成一组，例如第一组为（共社），第二组为（产会），那么第340组是.14 .甲、乙二人对一根3米长的木棍涂色.首先，甲从木棍端点开始涂黑5厘米，间隔5厘米不涂 色，接着再涂黑5厘米，这样交替做到底.然后乙从木棍同一端点开始留出6厘米不涂色，接着涂黑6 厘米，再间隔6厘米不涂色，交替做到底.最后，木棍上没有被涂黑部分的长度总和为 厘米.欢迎阅读答案1. 二因为7M4=28,由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是 29天，且2月1日与2月 29日均为星期

7、日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了 31+30+31+1=93（天）.因为93歹二13-2 ,所以这年6月1日是星期二.2. 日依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有365 10+2=3652 （天）因为（ 3652+1） +7=52»-6,所以再过十年的12月5日是星期日.注上述两题（题1题2）都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问 题主要依据每周为七天循环白规律，运用周期性解答.在计算天数时，要根据 四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是 4的倍数就是闰年，公历年

8、数为整百 数时，必须是400的倍数才是闰年.3. 39从图中可以看出，三角形按 上黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6, 并且每一周期有3个白色三角形.因为80+6=13-2 ,而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形13M 3=39（个）.4. 白依题意知，电灯的安装排列如下：白，红，黄慎白，红，黄,I白，这一排列是按 白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一 排列的周期为4.由73-4=181,可知第73盏灯是白灯.5. 13 时.分针旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时.一天24小时,199产24=82-23, 1991小时 共82天又23小

9、时.现在是14时正，经过82天仍然是14时正，再过23小时,正好是13时.注在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短针，就组成 了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题，周 期现象就是其中的一个重要方面.6. 3仔细观察题中数表.1 2 345（奇数排）第一组.9 876（偶数排）F0 11121314（奇数排）第二组J、18171615（偶数排）19 20212223（奇数排）第三组，:27 26 25 24 （偶数排）可发现规律如下：（1）连续自然数按每组9个数，且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四个数的规律循

10、环排列；（2）观察第二组，第三组发现奇数排的数如果用9除有如下规律：第1列用9除余数为1,第2列用 9除余数为2,，第5列用9除余数为5.（3）10 号 9="1, 10 在 1+1 组,第 1 列欢迎阅读欢迎阅读19-9=2 -1 , 19在 2+1 组，第 1 列因为1992+9=22»-3 ,所以1992应排列在（221+1） =222组中奇数排第3列数的位置上.7. 747.它的循环周期是6,具体地六个数依次是5, 7, 1, 4, 2, 8110-：-6=18 2因为余2,第110个数字是上面列出的六个数中的第 2个，就是7.8. 35因为0.1992517的循环

11、周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个 循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是 7.9. 853,570,568,8255.不难看出，这用数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环，即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2 个4.因为1991?7=284-3 ,所以这申数中有284个周期，力口上第285个周期中的前三个数1, 9, 9. 其中1的个数是:3*284+1=853（个）,9的个数是2*284+2=570（个）,4的个数是2笈84=568（个）.这些数字 的总和为1 ：853+9 ：570+4 1568=8255.1

12、0. 9先找出积的末位数的变化规律：71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 74末位数1; 75=74+1末位数为7,76=74+2末位数为9, 77=74+3末位数为3 , 78= 74总末位数为1由此可见，积的末位依次为 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1，以4为周期循环出现.因为50 + 4=122 ,即750=74*2： 所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是 9.11. 依照题述规则多写几个数字：可见1989后面的数总是不断循环重复出现 286884,每6个一组，即循环周期为6.因为（1989-4广 6=330- -5,所以所求数字是8.12. 1991个

13、1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即 可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4 个至10个1991相乘的积的末两位数分别是 61,51,41,31,21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是 91,，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为 10.因为1990,10=199, 所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.13. n是1991个2的连乘积，可记为n=21991,首先从2的较低次幕入手寻找规律，列表如下：nn的十 位数字n的

14、个 位数字nn的十 位数字n的个 位数字21022129622042139223082148 n4 1241621568253221636266421772272821844欢迎阅读欢迎阅读285621988291222076 1210242215221148222041观察上表，容易发现自22开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现，周期为20.因为1990 +20=9910,所以21991与211的末两位数字相同，由上表知 211的十位数字是4,个位数字是8.所 以,n的末两位数字是48.14. 因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一 端点

15、染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，每一周的 长度是30厘米，如下图所示.由图示知长|1鹿扁勺短泵棍，每一周期中有嘘 1% 1周期中，6-5=1,5父5-6m 4=1.剩余10厘 米中有土段1.所以锯开书长21厘米的短木棍共存7点.综合算式为：2 （100-10） -30+1=2 3+1二7（段）注解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易.答案1. 五在这十年中有3个闰年，所以这10年的总天数是365M 10+3,365被7除余1,所以总天数被7除 的余数是（13

16、-7二）6，因此10年后的1月18日是星期五.2. 黑,26根据图示可知，若去掉第一颗白珠后它们的排列是按黑三色”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.由（102-1户4=257 ,可知循环25个周期，最后一颗珠子是黑色的.黑色珠子共有1 父 25+1=26（颗）.3. 黑小木球是依次按5红,4黄,3绿,2黑和1白的规律涂色的，把它看成周期性问题，每个周期为15.由1993+15=132-13知，第1993个小球是第133周期中的第13个，按规律涂色应该是黑色， 所以第1993个小球的颜色是黑色.4. B通过观察可以发现，第11次到第20次投进的袋子依次与第1次到第10次投进的袋子相同，即

17、当 投的次数被10除余1,2,3, ;8, 9, 0,分别投进A, B, C,D, C, B袋中，1992被10除余 2,所以第1992粒珠子投在B袋中.5. 24,2这个数列从第2项起,每一项都比前一项多3,（349-1） + 3+1=117，所以349是这列数中的第117 个数.从排列可以看出，每两排为一个周期，每一周期有10个数.因为117+10=1»-7,所以数“34典第11个周期的第7个数，也就是在第24行第2列.6. 69 = 0.69230713它的循环周期是6,因为1993=6父332+1，所以化成小数后，其小数点后面第1993位上的数字是6.欢迎阅读欢迎阅读7. 7

18、3 _ _ _ = 0.2142857 14它的循环周期是6,因为(1993-1尸6=332，则循环节“14285蒲好重复出现332次.所以小数点后 面第1993位上的数字是7.8. 3,7表示循环小数的两个小圆点中，后一个小圆点显然应加在7的上面，且数字”5肯定包含在循环 节中，设前一个小圆点加在“5的上面，这时循环周期是3, (100-4) -3=32,第100位数字是7.设前一个小圆点加在“4的上面，这时循环周期是4, (100-3) +4=247 ,第100位数字是4.设前 一个小圆点加在“3的上面，这时白循环周期是 5, (100-2)得5=19-3,第100位数字正好是5.注拿到此

19、题后容易看出后一个小圆点应加在 7的上面，但前一个圆点应加在哪个数字上，一下 子难以确定，怎么办？唯一的办法就是 试”因为循环节肯定要包含5,就从数字5开始试.逐步向前移 动,直到成功为止.这就像我们在迷宫中行走，不知道该走哪条道才能走出迷宫，唯一的办法就是探索： 先试一试这条，再试一试那条.9. 2由特例不难归纳出：(1)9的连乘积的个位数字按9,1循环出现，周期为2;(2)8的连乘积的个位数字按8,4,2,6循环出现，周期为4;(3)7的连乘积的个位数字按7,9,3,1循环出现，周期为4.因为1991=995父2+1，所以1991个9的连乘积的个位数字是 9;因为1990=497父4+2,

20、所以1990 个8的连乘积的个位数字是4;因为1989=4974+1,所以1989个7的连乘积的个位数字是 7.9父4 x 7的个位数字是2,即1991个9与1990个8与1989年7的连乘积的个位数字是2.10. 97的连乘积尾数(个位数字)以7,9,3,1循环出现周期为4.因为36774=91- -3,所以，367367的尾 数为3.2的连乘积尾数以2,4,8,6循环出现 周期为4.因为762?4=190-2,所以，762762的尾数为4.3的连乘积尾数以3,9,7,1循环出现周期为4.12374 =30一-3,所以,123123的尾数为7.所以,(367367+762762)力23123的尾数为(3+4)77=49的尾数，所求答案为9.11. 从1开始，将每10个数分为一组，每一组10个数从右到左第一个不等于零的数字是乘积1区2M3M4M5M6M7M8M9M10=3628800从右到左第一个不等于零的数字是8,11991可分为110,1120, 2130,，19811990, 1991; 8 的连乘积末位数字 8、4, 2, 6 重复出现，199+4=493, 所以199个8相乘的末位数字是2, 1991个位数字是1,所以，乘积1父2M 3M父1990M 1991从右 到左第一个不等于零的数字是2.12. 因为第一个数父5=第二个数M；所以第一个数：第二个数二工：&qu