不定积分的参考

1、摘要 1关键词 1Abstract 1Keywords 21引言 32求不定积分的思想方法 32.1直接积分的思想方法 32.2换元积分的思想方法 32.2.1 第一类换元积分的思想方法 32.2.2 第二类换元积分的思想方法 32.3 分部积分的思想方法 42.4 拆项的思想方法 43常见的不定积分类型 44例题分析 75不定积分的方法与归类 10结束语 11谢辞 11参考文献 11对不定积分一题多解的分析（咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西咸阳）摘要随着社会进入信息时代，积分的语言已经渗透到各个领域。积分的出现不仅是数 学史上也是人类历史上一个伟大的创举。它的产生是由于社会经济的发展和生

2、产技术的进 步的需要促成的，也是自古以来许多数学家长期辛勤发展起来的一连串数学思想的结晶。 因此，他在数学及其他学科有着广泛的应用。研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、 科学分析能力、运用数学语言能力、 联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所 起的作用极为明显。数学与不同学科的结合形成新兴学科， 都体现了量化方法已经成为研 究经济学、社会科学的重要方法。掌握了它，会使我们在以后的学习及工作中占有一定的优势。本文的题目是“对不定积分一题多解的分析”。一题多解其实就是培养学生的多方 向性和开放性思维，是培养学生发散思维最有效的方法。其主要解法有三种，分

3、别是：直接积分法、换元积分法以及分部积分法。对于同一题可以用不同的方法来解。关键字：积分；直接积分法；换元积分法；分部积分法 ；一题多解1引言怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点. 不定积分的求解方法技巧性很强， 灵活性也比较大，而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法.为了开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，使学生能够更好的理解和使用多种积分方法，达到举一 反三、触类旁通的教学效果，教学中往往要让学生进行一题多解的练习.在学生初步掌握不定积分的基本积分方法后，我们不能局限于一题一解，要试图一 题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分， 我们必须掌握它的概念和性质以及积 分

4、的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。2.求不定积分思想方法2.1直接积分的思想方法 观察所求积分的形式是否可用积分基本公式直接求解。2.2换元积分的思想方法第一类换元（凑微分法）的思想方法（1）被积函数有一个因式，主要是观察被积函数与积分基本公式中的哪一个公式的被积函数相似，即所应用的基本积分公式；然后再根据与基本积分公式相似的形式进行凑微分， 凑微分的目的是为了应用积分基本公式和性质求积分。（2）被积函数有两个因式时，先由一个因式找到与基本积分公式相似的公式，余下一个 因式与dx结合凑微分，进而可由积分基本公式求出结果。第二类换元的思想方法主要可以分为以下三类：1.三角代

5、换2.根式代换3.倒数代换第二类换元积分法主要是通过xt对所求积分进行化简。（1） 根式代换：如果被积函数中，含有因子ax b，我们可以通过x二t去掉根 式，以便化简后的积分式能直接积分或使用简单的变形凑微分后可直接用积分基 本公式，故选取x二t要保证去掉根式。（2） 三角代换法：如果被积函数中，含有因式 ；a2-X2， 、x2-a2， x2 a2时，我们由根号下式子的特点，能够联想到三角公式的平方关系式，sin2cos2 = 1以及1 - tan2= sec2 ：由此来选择x = t，以此来去掉根号。当遇到'- ax2 bx c时，先将ax2 bx - c进行配方成 a2 -x2，

6、、x2-a2， . x2 a2三种形式中的一种，再用公式或利用三角代换积分。若果遇到，我们对它先进行分母有理化，在对hcx+d其分子进行配方就可化简为a2-x2， < x2a2，x2 a2三种形式中的一种，可根据上述方法进行求解。（3）倒数代换：当积分表达式分母中自变量的幕较高于分子时，我们可以采用xt进行化简求解2.3分部积分的思想方法分部积分法是运用公式.udv二uv - vdu进行求解不定积分，通常适用于两类不同函数相 乘的积分。此法的关键是u，dv的选择。通常来讲，先选定dv，使选定的vdx能容易的凑出微分dv且积分后不是很复杂，u求导后变简单，一次分部积分后，未积出的部分 vd

7、u要比原来的积分 udv简单。如果被积函数是反三角函数、对数函数、幕函数、三角函数、指数函数中任意两类函数的乘积，那么，我们可以考虑按照反、对、幕、三、指的顺序来 选取u，另一个函数想办法凑成dv进行分部积分。2.4拆项的思想方法对形如.1u7dx这种形式的积分,我们很难进行用以上公式进行求解,那么我们可以对它进行拆项已达到可以用以上方法求解的效果。我们把FXdx可以分解为1, 1例： 呢 +X2 ） （1 +xfx W 3（2 十 X2） 3（1 十 x ）dXT2+xdx- dx1 x1 an9 | 2d（2 +x2 片 I n x +1 +G18、2 arctan 2 xIn2x +1x

8、2>（C1和c均为任意常数）3常见函数的积分类型（1）有理函数的积分一般情况下，是把有理函数变形为有理整函数与真分式函数之和的形式，把真分式函数化成部分分式函数之和的形式，然后利用积分的一些方法将有理函数的积分积出来。（2）无理函数的积分如果所求积分不能用直接积分法、换元法、分部积分法求解的话，可将无理函数通过一系 列的变形化为有理三角函数或有理函数。（3）三角函数的积分所求积分是三角函数的积分时，通常是运用三角等式进行变换。形如sin kxdx和cos xdx的积分，可直接利用第一类换元积分法进行计算；形如 sin k xdx 或 cosk xdx 的积分当k为正奇数时，即k=2n1，

9、则将可将被积函数化简成si n2nx与sinx的乘积，再 利用三角恒等式sin2x cos2 x =1可将正弦函数转化为余弦或余弦函数转化为正弦，如：sink xdx =sin2n1xdx =sin2n xsin xdx =-sin2n xd cos x =（1cos2 x）n d cos x 或k .2n -1 .2 n.2ncos xdx 二 cos xdx =cos xcosxdx 二 cosxd sin x = (1 sin2 x)nd sin x 进行计算不定积分;当k为正偶数时，即k=2n，则可利用三角恒等式sin2x_1cos2x cos2x_1*cos2x将被积 2 '

10、 2函数进行先化简后计算。即被积表达式可化为sink xdx "Txdx =(肘畑=(上詈空畑或k2ncos xdx =cos xdx=(cos2x)ndx J c；s2x)ndx进行计算不定积分形如sin kx costxdxsin kx sin txdxcos kx costxdx的积分我们这里只以sin kxcostxdx型的积分为例进行说明，其它积分解法与此相似。当k =t时，我们可先利用二倍角公式对其进行化简后再用第一类换元积分法进行计 算。即. 1sin 2kxdxcos2kx 亠C4k.1 ,sin kx costxdx =2当k =t时，我们可以利用积化和差公式对其进

11、行化简后再用第一类换元积分法进行计 算，即1 1 1sin kxcostxdx sink t)x sin(<-t)xdxcosk t)xcos( -t)x C322(k 廿)2(k-t)形如sink x cost xdx的积分若k=t时，则化为sink xdx或coskxdx型的积分；k丄若 k t 时，如果 k 为奇数 t 为偶数时，sink xcod xdx = 一(1 -cos2 x) 2 cos* x(cosx) dx，此时令m=cosx就可把上式化为多项式的积分，积分后把m=cosx回代即可；t _1如果k为偶数t为奇数时，sink xcos* xdx = (sink x(1

12、sin2x)2 (sin x) dx 此时令 m =sin x就可把 上式化为多项式的积分，积分后把 m .sin x回代即可；如果k、t均为奇数时，我们取k、t中比较小的数按上述方法进行计算；如果k、t均为偶数时，我们利用三角恒等式2sinxcosx=sin2x,sin2 x 1-cos2x,命2 2将被积函数降次化简，然后再用上述方法换元进行计算。形如 seck x tan * xdx 的积分k 1如果k为正偶数时，则 Jseckxtant xdx = J(1 +tan2 x)2 tan( x(tan x)dx，此时令 m =tan x 就可把上式化为多项式的积分；如果k =0时，则得积分

13、tafxdx，此时可利用tan2x=sec2x-1将积分化为上面的情形和积分tan xdx上去。或者也可利用换元公式m Manx化为分母为1 t2的有理函数的积分;如果k为奇数，t为偶数时，利用恒等式tan2x=sec2x_1以及不定积分的线性性，最后 可化为形如sec2nl xdx的积分；如果t为奇数时，则seck xtan* xdx .为多项式的积分。t 1=seck 丄x(sec2x _1) 2 (secx) dx，此时令 t =secx就把上式化形如 secn xdx、cscn xdx、 tann xdx、 cotn xdx 的积分一般利用tan2 x =sec2 x _1 或 cot

14、2 x =csc2 x _1 化简进行求解 如果n为偶数时，由tann xdx = tann xtan2xdx= tann ? x(sec2 x _1)dx = tann' xd tan x _ tann - xdxtan"x_ tannJxdx得一递推公式，则tann xdx的积分问 n _1题即得解决。解决icotn xdx的积分类似于tann xdx的积分n如果n为奇数时，secn xdx = secn 2 :2secn xdx = secn 2 xsec2 xdx = (tan2 x 亠1) 2 d tan x icscn xdx = cscn x esc2 xdx

15、- - (cot2 x T) 2 d cot xxsec xdx = sec xd tan x rsecHxtanx(n 2) isec'xtan2 xdxcscn xdx = csc 2 xcsc2 xdx = - csc xd cotx = -cscn - xcotx (n 2) csc xcot2 xdxtann xdx = tann xtan2xdx= tann 2 x(sec2 x -1)dx=tann 2 xd tanxitann_2xdx1n丄tan _x n -1tann - xdx4例题分析x x201dx解：（方法1）（分析：所求积分可以看做两个分式的乘积的积分，那

16、么我们可把它拆成两 个分式的差的积分） dx XX20120 丿 20x 1 -X ,20 dx 二x x 1-dx -.x19201撕-20 右dx20 1 =In20In x20 1 C（方法2）（分析：x20 1的导数为20x19，而x乘以x19恰巧也等于x20因此，我们可以对其进行换元，然后再进行拆项求解）77一dx分子分母同时乘以x1919 xX20 X20 1 dx令u = X2i1du220 u 1 u1(1=I 20(方法3) 法)1x x20 1dX令Xr 1 u21u20191.u .du 20du u1 u11 n 1 u20 C2020%201 八 1 , X 八20

17、C In 20Cx2020 x20 - 1（方法4）20 dx XX201产70 1 x1 20页d 1 X-20In1 x0 2>n20x204Cx 111 I 1 c 1 IX20cdu In C Inp C u 120 u 120 x20 1（分析：所求积分的分母的次数大于分子的次数，因此我们可以考虑用倒代换例 2 求 arctan 'Xdx'Jx(1+x)解（方法1）（所求积分包含，其导数等于1 ，恰好可利用此特点对其进行凑微分）2 Jx原式=2曽d、x=2ar如5如X二 arctanx C（方法2）（分析：所求积分含有根式，因此我们可以考虑用根式代换求解）原式令

18、x#呻1 2tdt=2t1 t21 tarctan t lx丄 丄 丄厂dt = 2 Jarctan td arctan t=(arctan t2 +C = (arctan VX $ +Cx arctan x .例3 求 dx+x2解方法11 arcta n x 原式 一2 4i2 d 1x* 2 二xarctan xd . 1 x2=arctan x1x 2 2 2 -. 1 x2arctan x -dx =、；1 + x2 -1 x2arctan x - In x . 1 x2CU21 u2-2u-1du=2u2 1du -2u -12u -2u-1du（此解法采用了分部积分法，令u =

19、arctanx ,x 2 ）J1 +x2方法 2 令 x=tantdx=sechdt<t < < 2 2丿2sec tdt = ttantsectdt = td sect 二 t sect - sectdt= tsect In sect +tant| +C =arctan x Y1 +x2 In (x + 恋1 +x2 )+C（此解法采用了三角代换进行求解。当积分表达式中含有、a2-x2 ，x2-a2，: x2 a2时,可分别令 x = asi nt， x = ata nt， x =asect进行换元计算）例 4 求 sinx dx'sin x +cosx解：方法1

20、（因为被积函数是三角有理式，所以我们很自然地想到用万能代换进行换元，转化成有理函数的不定积分来做.）8sin cos=In (u2 +1 )+2arctan u - In u2 2u 1 +C2 x 2 xx x -=x +ln 1 +tan |Tn tan 2tan T +CI2丿22方法2 （因为被积函数的分母是一个和式，如果能化成一个整体再拆成部分分式之和可能 有助于问题的解决，所以我们自然地想到用倍角公式来试一下.）原式二 sinxcosx-sinxdxtan2x-sec2x 1dxcos2x2 '_ 1_一4方法3 （凑微分法是不定积分的常用方法，通过观察将被积函数适当变形，

21、再进行凑微分 是我们应该掌握的技巧.）(In cos2x 十 Insec2x +tan 2x _2x )+C原式=Ifsin x cosx dx =1(x _ In sin x +cosx )+C2sin x cosx方法4 （此法是通过三角函数的恒等变形（分子与分母同时除以sin3x）转化成的凑微分法,结合了有理真分式拆分成部分分式之和.原式12d cot x ='(1 +cot x (1 +cot x )2 ,cot x +111 - cot x厂 d cot x1 cot x1 1J21=丄x +丄 In （1 + cot2 x ）- In 1 +cot x +C2 421求 2

22、dxx-3x -10（方法1）（分析：因为分母可以分解为两个因式的乘积，因此我们可以联想到用拆项解法可以对其进行化简）1dx=17 -5LdxJx + 2 丿 7x_5dx*dxx-5x 22 十x_5|nx 2】C 十原式dx =i 2 3x 丄 949x -2441:r?x -23dx令t = x _492 t24*dt t4f11dt =11n7t+ C =In7xt- IL x -5（方法2）（分析：因为分母为一元二次式，因此，我们可以对其进行配方，然后观察其特 点，又用了第一类换元法）t+?x -J 22丿_ 3_ 7厂2 C_3 72 2百、dt = 1 Jnx -55不定积分的方

23、法与归类当我们在积分时，如果所求积分中含有如下特点,我们可以考虑一下其对应解决方法。含a2 -x2令 x 二asint或 x = acost三角代换令 x = asect令 x =ata nt三角代换三角代换.x 1令.一 X 1 = t根式代换ax b令 rb =t.cx d根式代换cx dx令x = 1t倒数代换我们在求积分时遇见与如下形式相似的，可采用凑微分法111 1_ _1. dx = d x c d ax c d ax c d ax 2. dx = 2d 、x = 2d x c （ x 0） aaav'x3. xdx =1 d x2 c d ax2 c = 1 dx222a

24、4. dx 二 d x =2 xd x15. dx = d In x = d Inxx6.I x 2 dx = 12 d（1 + x2 ）= d（J1+x2）.1 x 2 * 1 x7./ x 2 dx =d Q（1 -x2 ）8.J - xex 1 x dx 二 d xex9.（ 1 2 dx =d（I n£+71 + x2）10.1 x11. 1 Inx dx = d xlnx结束语为什么一道题会有多种解法呢？这是因为同一道题兼有不同类型的积分的特点，因而兼属于几种不同的积分类型；或同一个积分类型兼有不同的积分方法。对于一些简单的基本的不定积分，我们可以通过基本的积分公式直接进行

25、求解。 对于难以直接用基本积 分公式的积分，我们有第一类换元积分法和第二类换元积分法，以及分部积分法。对于某 些特殊类型的不定积分，如一些有理函数的和可以化为有理函数的不定积分， 无论不定积 分有多么复杂，我们都可以按照一定的步骤求解。 对于有理函数的不定积分，我们可以用待定系数法把它拆成一些分式的和， 再按照基本积分公式求解；对于高阶的积分，我们可 以运用多次分部积分法递推公式，也可以通过一些公式代换将它化为有理函数的不定积 分，但在具体计算时，应根据被积函数的特点而采用简单灵活的代换； 一些无理根式的不 定积分，可以运用换元法将其化为有理函数的不定积分， 再按照有理函数的不定积分方法 进行求解。谢辞在我选了论文题目之后，我曾经一度痛苦、彷徨，我不知道该怎么写，该怎样找到 有效的资料。通过指导老师的细心点拨，使我在对这次论文的写作有了明确的方向。老师 的严格教导，对教学的细心认真，是我在写作过程中的问题与不足都被老师一一发现并进 行指正。如今，伴随着这篇毕业论文的最终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一 点成就感。