周期数列详解

1、数列an满足anan 1an 2s (n k, nN ），则数列an周期 T=3T=3周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列an，如果存在一个常数T仃N ），使得对任意的正整数n no恒有Ta.成立，则称数列a.是从第n。项起的周期为T的周期数列。若n。1，则称数列an为纯周期数列，若n。2，则称数列an为混周期数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期。设 An 是整数,m 是某个取定的大于 1 的正整数，若 Bn 是 An 除以 m 后的余数,即 Bn=An （modm）,且 Bn 在0,1,2,.,m-1,则称数列Bn是An关于 m 的模数列，记作An（mod

2、 m）。若模数列An（mod m）是周期的,则称An是关于模 m 的周期数列。二、周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；推论 1 若周期数列（色的周期 T 兰釘则證映不存在推论 2 若 g I不是常歡列 a】血存瓷则 0k|不是周期2 2、 如果T是数列an的周期，则对于任意的k N，kT也是数列an的周期。3 3、 若数列an满足anan 1an 2（n N，且n 2），则 6 6 是数列的一个周期。4 4、已知数列an满足an tan（n,t N，且t为常数），Sn分别为an的前n项的和，若n qt r（0 r t，rN），则anar，SnqStSr。特别地：数列an的周期

3、为 6 6，(即:an 6an)则S2012335 S6S25 5、若数列an满足anan ks (nk, nN )， 则数列an是周期数列；若数列an满足anan 1an ks (nk, nN ），则数列an是周期数列若数列an满足anan 1an ks (nk, nN ,s 0），则数列an是周期数列。特别地：数列an满足anan 1s （nk, nN ），则数列an周期 T=2T=2 ；数列an满足anan 1an2s(n k,n N ），则数列an周期 T=3T=3数列an满足anan 1s(nk, nN ），则数列an周期 T=2T=2 ；于b，a+d=O,a+d=O,则数列an是周

4、期 T=2T=2 ；can 1d例：数列an满足an3an 1 7,则数列an是周期 T=2T=2 ；an 13三、周期数列性质的简单应用1 1、求数列的通项公式(1)数列 1，2，1, 2，1,2,的通项公式解析：原数列可构造成:31.,2 2又或者与成：an31 cos nN),22总结：一般的数列 a , b,a, b, a,b,它的通项公式可以写成11(n N)an2(ab) -(b2a)cosn(2 2)1, 0, 1,1,0,1,的通项公式解析：该数列周期为 3，我们把它与周期为n的函数y tanx进行改造，使它们能发生联系。事实上，当 x 分别为 ，o，.时，tanx 的值分别为

5、3,0,3,3, 0,3333,3这样1, o, 1,1, 0, 1, 的通项公式可以写成：13ta n(n 2)所以,原数列的通项公式为1bn2 tan(nv32)(nN)(3)数列心： 1, 2，3，4，1, 2，3, 4,的通项公式6 6、若数列an满足an3 丄_313 丄 31_312 2，2 2，2 2，2 2，2 2它的通项公式可以写成:an2(1)n 1(nN)，或者写成：an31si n(2 2 2解析：将原数列扩大 2 2 倍：2 , 4 , 6 ,8,2 ,4, 6 ,8,再减去平均数 5 5 得到：3,1,1,3 ,3,1, 1 , 3 ,分解成两个数列：（1）1, 1

6、 ,1, 1 ,1, 1 ,1, 1 ,(2)2,2,2 ,2 ,2,2, 2 , 2 ,（1）的通项公式为（1）n易得，（2）的通项只要求出1,1,1,1,1,1,11,的通项便可以了，它与相差-个系数2。以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项:_ 1 1 c1n. 2 sin( n24)(n N),2,2, 2 , 2 ,2,2, 2 , 2,的通项为C2n12 2 sin( n214)(n N),3,1, 1, 3,3,1, 1 , 3, 的通项为:AAC3n( 1)n2 2 sin(n )(n N),24则原数列cn的通项为：乘以（一 4）得:加上(n+4)得：1 ,

7、 2 , 3 , 4 , 1, 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 3 , 4 , 它的通项公式为:25(1)n2 .2 sin(- n2)(n N)。4(4)Cn1, 1, 1 , 1, 2, 2, 2,2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,的通项公式4,4,8,8,8,8,12,12,12,12,Cn1)n2、2sin(2n)又Cn(n4)化简整理得:Cn12n- 11)n2、2si n( n21(n N)。42 2、求数列中的项例 3 3（由第十四届希望杯改编）、已知数列 整数，总有anan 1an 2，则a2009等于 an中，a13a2).5且对于大于2的正A A

8、. -5-5B B . -2-2D D . 3 3.解析：由性质（2 2）知，数列an是以 6 6 为周期的周期数列，而 再由性质（3）可得a2009a5a4a3（a3a2）a35,2009 6 334 5,故选A.例 4 4 （上海中学数学杂志-3an 13 an 1数），an1( (20002000 年的第 1 1 期）、已知实数列a.满足印a（a为实N) )，求a2000.解：an-3an 11( (3 an 1an与三角式tan(x -)tanx）可变形为an- 313-.我们发现an3an 13an1T131Tan1tan 乞十分相似,1 tan xta n 6因此可把此三角式认为是

9、原递推关系的原型.通过运算，发现本题中可取an= =ta n6an周期是 6 6 .而2000 333 6 2，再由性质（3 3），得a2000tan亠.显然此数列的6辰1 a2.J3 a3 3、求周期数列的前n项和例 5 5、设数列an中，a1a21,N，有anan 1an 2an 3(anan n 2a32，且对n1）成立，试求该数列前anan 1an 2an 3= =100100 项和S0.解：由已知条件, 对任何自然数N,有anan 1an 2an 3= =an式中的n换成n1，得an 2an 3an 4= =an 1an 2an 3an 1an 2an 3，把an 4.两式相减得，a

10、n 1an 2an 3(anan 4) anan 4因为an 1an 2an 3X 所以an 4an(n N ).所以务是以 4 4 为周期的周期数列，而100 4 25，再由性质(3)，得S10025S425 (112 4)200例 6 6 （上海 0808 质检题）、若数列an满足an 2an 1an(n N ),Sn为an的前n项和，且S22008,S32010，求S2008.解析：由an 2an1an及性质（2 2），可知所以数列an是以 6 6 为周期的周期数列. 由S22008,S32010，知印a22008,a1a2a32010，再结合a3a2a1，可求得a11003,a21005,a32;由递推关系式可进一步求得a41003,a51005,a62.因为2008 6 3344，由性质（3 3），得S2008334 S6S4334 0 10071007.4 4、求周期数列的极限例 7 7、（ 0606 北京）在数列an中，a1,n3,4,5，则称an为“绝对差数列”a210，数列bn满足bnanan 1a2是正整数，且an若“绝对差数列”n 1,2,3列an和bn的极限是否存在，如果存在，求出其极限值.an 2，an 1an 2an中，a20分别判断当n3,时，