错位相减法提高篇

1、数列求和之错位相减法例1 已知数列an的前n项和为Sn，且有a1=2，3Sn=（I）求数列an的通项公式；（）若bn=nan，求数列bn的前n项和Tn。解析：（），（3分）又，（4分）. （5分）（）， .（8分）两式相减得：，（11分）.（12分）例2 等比数列an的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a3，求数列nan的前n项和Tn.解析：(1)由已知得2S3S1S2，2(a1a2a3)a1(a1a2)，a22a30，an0，12q0，q.(2)a1a3a1(1q2)a1(1)a1，a12，an(2)()n1()n2，nann()n2.Tn1()

2、12()03()1n()n2，Tn1()02()13()2n()n1，得Tn2()0()1()2()n2n()n1()n1(n)，Tn()n1(n).例3 设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.解析(1)由已知，得当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知Sn12223325n22n1.从而22Sn123225327n22n1.得(122)Sn2232522n1n22n

3、1，即Sn(3n1)22n12例4 已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和解析 (1)设等差数列an的公差为d.由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn，即Sna1，故S11，.所以，当n1时，a11()1(1).所以Sn.综上，数列的前n项和Sn.例5 (2008,陕西) 已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和解析 （） ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即，设， 则，由得，又数列的前项和 .例6 在等比数列an中，a2a332，a532.(1)求数列a

4、n的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，求S12S2nSn.解析：(1)设等比数列an的公比为q，依题意得解得a12，q2，故an22n12n.(2)Sn表示数列an的前n项和，Sn2(2n1)，S12S2nSn2(2222n2n)(12n)2(2222n2n)n(n1)，设Tn2222n2n，则2Tn22223n2n1，得Tn2222nn2n1n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12，S12S2nSn2(n1)2n12n(n1)(n1)2n24n(n1)例7 已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列.（）求数列的通项公式；（）若，设，求数列的前n项和.解析：（1）由

5、题意知 1分当时，当时，两式相减得3分整理得： 4分数列是以为首项，2为公比的等比数列.5分（2），6分 -得 9分 .11分12分例8 (14分)已知单调递增的等比数列an满足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n150成立的最小正整数n的值解析 (1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，其中a10，q0.由题意知：a1qa1q2a1q328，a1qa1q32(a1q22)7得6a1q315a1q26a1q0，即2q25q20，解得q2或q.等比数列an单调递增，a12，q2，an2

6、n.(2)由(1)得bnn2n，Snb1b2bn(12222n2n)设Tn12222n2n，则2Tn122223n2n1.由，得Tn1212212nn2n12n12n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.Sn(n1)2n12.要使Snn2n150成立，即(n1)2n12n2n150，即2n26.241626，且y2x是单调递增函数，满足条件的n的最小值为5.【跟踪训练】1已知数列an的前n项和为Sn3n，数列bn满足b11，bn1bn(2n1)(nN*)(1)求数列an的通项公式an；(2)求数列bn的通项公式bn；(3)若cn，求数列cn的前n项和Tn.解析：(1)Sn3n，Sn13

7、n1(n2)，anSnSn13n3n123n1(n2)当n1时，23112S1a13，an(2)bn1bn(2n1)，b2b11，b3b23，b4b35，bnbn12n3.以上各式相加得bnb1135(2n3)(n1)2.b11，bnn22n.(3)由题意得cn当n2时，Tn32031213222332(n2)3n1，3Tn92032213322342(n2)3n，相减得2Tn623223323n12(n2)3n.Tn(n2)3n(332333n1)(n2)3n.TnTn(nN*)2已知数列an为公差不为零的等差数列，a11，各项均为正数的等比数列bn的第1项，第3项，第5项分别是a1，a3，

8、a21.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析： (1)设数列an的公差为d(d0)，数列bn的公比为q，由题意得aa1a21，(12d)21(120d)，即4d216d0，d0，d4，an4n3.b11，b39，b581，bn的各项均为正数，q3，bn3n1.(2)由(1)可得anbn(4n3)3n1，Sn30531932(4n7)3n2(4n3)3n1，3Sn31532933(4n7)3n1(4n3)3n，两式相减得：2S1(4n3)3n14(332333n1)(4n3)3n1(4n3)3n(54n)3n5，Sn.3、已知递增的

9、等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.解：(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解得或又an为递增数列，an2n.(2)bn2nlog2nn2n，Sn12222323n2n.2Sn122223324(n1)2nn2n1.得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.Sn2n1n2n12.4、 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和解析 （）设的公差为

10、，的公比为，则依题意有且解得，所以，（），得，5、 已知是等差数列，其前n项和为Sn，是等比数列，且，.（）求数列与的通项公式；（）记，证明（）.解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由得，由条件得方程组，解得，所以（2）证明：由（1）得-得 而故6(2012浙江)已知数列an的前n项和为Sn ，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.解析：(1)由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1，所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由

11、(1)知anbn(4n1)2n1，nN*，所以Tn3721122(4n1)2n1，2 Tn 32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2 Tn Tn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.7. (2012江西)已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.解析：(1)当nkN时，Snn2kn取最大值，即8Skk2k2k2，故k216，因此k4，从而anSnSn1n(n2)又a1S1，所以ann.(2)因为bn，Tnb1b2bn1，所以Tn2TnTn2144.3设an是等

12、差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.解析：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且解得所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1.(2)，Sn1，2Sn23.，得Sn2222226.4(2012石家庄质检)已知数列an为公差不为零的等差数列，a11，各项均为正数的等比数列bn的第1项，第3项，第5项分别是a1，a3，a21.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.解析：(1)设数列an的公差为d(d0)，数列bn的公比为q，由题意得aa1a21，

13、(12d)21(120d)，即4d216d0，d0，d4，an4n3.b11，b39，b581，bn的各项均为正数，q3，bn3n1.(2)由(1)可得anbn(4n3)3n1，Sn30531932(4n7)3n2(4n3)3n1，3Sn31532933(4n7)3n1(4n3)3n，两式相减得：2S1(4n3)3n14(332333n1)(4n3)3n1(4n3)3n(54n)3n5，Sn.7(13分)已知数列an的前n项和Sn与通项an满足Snan.(1)求数列an的通项公式；(2)设f(x)log3x，bnf(a1)f(a2)f(an)，Tn，求T2 012；(3)若cnanf(an)，求cn的前n项和Un.解析：(1)当n1时，a1，当n2时，anSnSn1，又Snan，所以anan1，即数列an是首项为，公比为的等比数列，故ann.(2)由已知