鱼群捕捞问题数学建模 张一

1、理学院高年级学生研究工作总结选题方向 一类鱼群捕捞问题模型研究 学 号 20080669 姓 名 张一 专 业 信息与计算科学 导 师 张悦 职 称 讲师 东北大学理学院2012年 1月11日一、选题背景、目的和意义（不少于500字）1.选题背景生物经济(Bio-economy)是建立在生物资源可持续利用、生物技术基础之上，以生物技术产品的生产、分配、使用为基础的经济。 生物产业无疑是一个很赚钱，同时也很烧钱的行业。建立在生物技术等基础上的育种、制药等行业也具有非常重大的经济价值与社会价值。特殊品种比如：耐旱耐盐、高产高效等品种的选育在解决粮食、环境等问题上将作出巨大贡献；而生物制药、生物医学

2、等领域的发展将会给人类的健康、医疗问题带来重大突破。 生物经济具有划时代的意义，蕴藏着不可限量的经济价值。正如托夫勒在第三次浪潮中预言，社会经济的发展将由农业经济、工业经济进入信息经济和生物经济时代。生命科学和生物技术，对人类社会所产生的作用，要远远超过信息技术。2.选题目的和意义生物经济引起广泛生物经济是建立在生物资源、生物技术基础之上，以生物技术产品的市场化运作为基础的一种经济形态。目前全球生物经济总量每5年翻一番，增长率为25%30%，是世界经济增长率的10倍。预计到2020年生物经济规模将达到15万亿美元，超过以信息技术为基础的信息经济，成为世界上最强大的经济力量。生物技术的巨大潜在效

3、益及广阔前景，使这一领域成为继电脑网络之后的又一竞争热点。目前，全球生物技术产业市场以美为主，欧盟其次，日本紧追在后。2004年美国生物科技投资占美国风险投资总额的13.5%；生物技术产品每年以12%的速度扩展，预计到2010年将增加到490亿美元。二、应用原理（不少于300字)问题的提出大量的海洋生物（例如鱼、虾等）为人类所消费。如果捕捞率大于自然增长率，则海洋生物群将减少，甚至可能导致某种群的灭绝。许多国际机构极为关心这类问题，他们想知道能否捕捞某种特定的种群，如果允许捕捞应有什么样的限制。 假设某种鱼（海洋生物中的一个种群）分4个年龄组，称1龄鱼，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5

4、.07，11.55，17086，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率为0.8，这种鱼为季节性集中产卵反之，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率为1龄鱼条数与产卵量之比。 渔业管理部门规定只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如鱼船数等）固定不变，这个单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数称捕捞强度。常使用一种只能捕捞3龄鱼和4龄鱼的网，并且其捕捞强度系数之比为0.42：1，渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。现在考虑对

5、这种鱼的最优捕捞策略，使得在可持续捕获的前提下年收获量最高。3、 工作总结(2页，不少于2000字)1. 问题假设（1） 鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的。（2） 查阅有关鳀鱼的资料发现，鳀鱼一般在每年8月开始产卵，从而可以假设鱼群每年在8月底瞬间产卵完毕，卵在12月底全部孵化完毕。（3） 龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3。（4） 4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。（5） 连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。2. 问题分析（1）

6、 符号说明 xi（t）：在t时刻i龄鱼的条数，i = 1，2，3，4； n：每年的产卵量； k：4龄鱼捕捞强度系数； 2ai0：每年初i龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；（2） 对死亡率的理解 题中给出鱼的自然死亡率为0.8（/年），它指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，由假设知，它是一个与环境等其它因素无关的常数；另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。由此可知，各龄鱼的变化满足： = -0.8x（t），i = 1，2，3，4（3） 对捕捞强度系数的理解 单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，比例系数即是

7、捕捞强度系数k，它是一定的，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3，4龄鱼。所以，一方面捕捞强度系数k决定了3，4龄鱼在捕捞期内的数量变化规律为： = -（0.8+0.42k）x（t） = -（0.8+k）x（t） 另一方面决定了t时刻捕捞的3，4龄鱼的数量为：0.42kx3（t）和kx4（t）。（4） 对成活率的理解 只有3，4龄鱼在每年的8月一次产卵，因此可将每年的产卵量n表示为： 题目中已经说明了成活率为：，所以每年初1龄鱼的数量为：x1（0）= n ×模型的建立 可持续捕捞要求每年初渔场中各年龄组鱼群条数都一样，既要求x1（0）= x0（1），x2（0）= x1（1），x3

8、（0）= x2（1），x4（0）= x3（1）。在这种平衡状态下，捕捞强度就影响年收获量。要得到最高年收获量，考虑到前面的方程，可以得到以下的优化模型： max（total（k）=17.86 t0，1，x1（0）= n × t0，1，x2（0）= x1（1） t0，2/3，x3（0）= x2（1） s.t. t2/3，1，x3（-）= x3（+） t0，2/3，x4（0）= x3（1） t2/3，1，x4（-）= x4（+） 模型的求解Modulex1，x2，x31，x32，x41，x42，t，a10，a20，a30，a31，a40，a41， nn，k，t3，t4，total，tdd

9、，aa， x1t_ =x1t / . DSolvex1t= = - 0.8x1t，x10= =a10，x1t，t，1； a20=x11； x2t_ =x2t / . DSolvex2t= = - 0.8x2t，x20= =a20，x2t，t，1； a30=x21； aa= DSolvex31t= = -（0.8+0.42k）x31t，x310= =a30，x31t，t，； x31t_ =x31t/aa1； a31=x312/3； x32t_ =x32t / . DSolvex32t= = -0.8x32t，x322/3= =a31，x32t，t，1； a40=x321； x41t_ =x41t

10、 /.DSolvex41t= =-(0.8+k)x41t,x410= =a40,x41t，t,1； a41=x412/3； x42t_ =x42t /.DSolvex42t= =-0.8x42t，x422/3= =a41，x42t，t,1； nn=1.109*105*（0.5a31+a41）； a10=a10 / . Solvenn*1.22*1011/(1.22*1011+nn)= =a10，a10，2； t3=Integrate0.42*k*x31t，t，0，2/3； t4=Integratek*x41t，t，0，2/3； totalk_ ：= 17.86*t3+22.99*t4； Plottotalk，k，0，35；ans=FindMinimum-totalk，k，17； k=k / . ans2；Printk=，Nk，16，total=，N-ans1，16； PrintNa10，16；PrintNa20，16；PrintNa30，16；PrintNa40，16；结果分析 用Mathematica软件编程解微分方程组，先求得一元函数total（k）的表达式，画出total（k）函数的图形。然后求出：k=17.3629时，最高年收获量为total=3.887075517793442×1011（克），此时每年年初