艺术生用中学数学常用公式及结论

1、高中数学常用公式及结论1 .元素与集合的关系：xw Au xCuA, xw CuAy x2 A. 0? Au A#02 .包含关系：A B= AB = A= AljB = B = Cu B Cu A= AnCuB=：>= CuAljB = R5 .二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f (x) =ax2+bx+c(a #0)；(2)顶点式f (x) =a(xh)2+k(a00)；(当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式)(3)零点式f (x) =a(xx)(x x2)(a#0);(当已知抛物线与 x轴的交点坐标为(x1,0),( x2,0)时，设为此式)6 .闭区间上的二次函

2、数的最值2b一次函数f (x) =ax +bx+c(a 00)在闭区间Ip,q】上的最值只能在 x =处及区间的两端点处取得，具体如2a下：(1)当 a>0 时，若 x = p,q ,则 f(x)min =f(二)，f(x)max=maxf(p), f (q)； 2a2abx = 丁正 hq 1 f(x)max =max f ( p), f (q) , f 仪口所 f ( p), f (q) .2a(2)当 a<0 时，若 x = Wp, q 则 f (x)min =min f (p), f (q),2a若x=3是 b,q L 则 f (x)max =maxf(p), f(q),

3、f (x)min = minf (p), f(q). 2a7.真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假真假假9.四种命题的相互关系(右图)：8.常见结论的否定形式 8.常见结论的否定形式互逆14 / 9原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多什-个至少有两个不大于至少有n个至多后(n 1)个小于不小于至多后n个至少有(n +1)个对所有x, 成立存在某X, 不成立p或qp 且q对任何x, 不成立存在某X, 成立p且qp或q10 .充要条件(记p表本条件，q表不结论)(1)充分条件：若 p=q,则p是q充分条件.(2)必要条件：若q= p,则p是q必要条

4、件.(3)充要条彳:若 p=q,且q=p,则p是q充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然11 .函数的单调性的等价关系(1) 设x1,x2w hblx #x2那么(x1x2)f (%) - f (x2)】>0 u f(x1)f(x2) >0U f (x)在 Q,b】上是增函数;x1 - x2Xi -x2(x1-x2)f (k) 一 f (x2) J<0u f (x1) f(x2)<0= f (x)在"b 】上是减函数(2)函数y = f (x)在某个区间内可导，如果f '(x) a 0 ,则f (x)为增函数；如果 f 

5、9;(x) <0 ,则f (x)为减函数.12 .如果函数f (x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数f(x)和g(x)都 是增函数，则在公共定义域内，和函数f (x)+g(x)也是增函数；如果函数y= f(u)和u = g(x)在其对应的定义域上都 是减函数，则复合函数y = fg(x)是增函数；如果函数y = f(u)和u = g(x)在其对应的定义域上都是增函数 ，则复 合函数y = fg(x)是增函数；如果函数 y = f(u)和u =g(x)在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数则复合函数y=fg(x)是减函数.13 .

6、奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.14.常见函数的图像:y, k<0k>0oy=kx+by, iia<0J ora>0y=ax2+bx+cyI Iy=ax0<a<1a>1、10Fyy=log ax0<a<1a>115.对于函数y = f (x)( x R),f (x+a) = f (bx)恒成立，则函数f(x)的对称轴是a b _",x=;两个函数2y = f (x +a)与

7、 y b - a .= f(bx)的图象关于直线 x =一对称.16 .若f (x) =f(x+a),则函数y = f(x)的图象关于点(a,0)对称；2若f(x) = f(x+a),则函数y = f(x)为周期为2a的周期函数.17 .两个函数图象的对称性(1)函数y = f (x)与函数y = f (-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.18 .若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y = f(x a)+b的图象；若将曲线f(x, y) = 0的 图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb) =0的图象.21 .几个常见的函数方程(1)正比例函数 f (x) =

8、cxu f (x +y) = f (x) + f (y), f(1)=c.(2)指数函数 f(x)=axu f (x+y) = f (x)f (y), f (1) = a #0.(3)对数函数 f(x)=logaxu f (xy) = f (x) + f (y), f (a) =1(a a 0, a #1).(4)哥函数 f (x) = xa f (xy) = f (x) f (y), f'(1) = .sin x(5)余弦函数 f (x) =cosx,正弦函数 g(x) =sin x f (x y)= f (x) f (y) + g(x)g(y), f (0) =1,lim -=1.

9、x >0 x22 .几个函数方程的周期(约定a>0)(1) f(x) = f(x+a),则 f(x)的周期 T=a；，一一11 一一 ,一(2) f(x +a) =(f(x) #0),或 f(x+a)=(f(x)#0)5U f (x)的周期 T=2a；f(x)f(x)一 一1(3) f(x)=1 (f(x)00),则 f(x)的周期 T=3a;f (x a)(4) f(x1 乜)=f(x1) + f(x2)且 f(a)=1(f(x1)叶(x2)¥1,0<|x1x2|<2a),则 f(x)的周期 T=4a；1 - f (Xi)23.分数指数哥m n mm 11(

10、1) an =4a ( a >0,m, n 匚 N，且 n >1) . (2) a n = - =(a>0,m, n=N，且 n>1).7 Uamaa.a 一 024.根式的性质(1) (Va) =a.(2)当n为奇数时，va =a；当n为偶数时， Ja=|a|=W-a, a 025.有理指数哥的运算性质 ar注：as =ar韦(a :>0,r,s三 Q). (2)若a>0, p是一个无理数，则适用.26.指数式与对数式的互化式：logaN =b =ab = N (a . 0,a =1,N . 0).27 .对数的换底公式对数恒等式:推论 log am bn

11、alog anlogm N:loga N = ( alog maN =N ( a A0,且 a 01,logab( a >0,且a #1,m28 .对数的四则运算法则：若 a>0, aw1, M>0, N>0,则lOga(MN) =loga M loga N；(2)30.>0,且 a#1, m>0,且 m#1, N > 0).N 0).N 0).loga M n =nloga M (n R);对数换底不等式及其推广(4)， M . 一， 一 loga loga M - log a N ;Nn n ,log am N = loga N (n, m = R

12、)。m(ar)s =ars(a 0,r,s Q) .(3) (ab)r =arbr(a 0,b 0,r Q).aP表示一个确定的实数.上述有理指数哥的运算性质，对于无理数指数哥都设 n >m >1，(D 10gm p (n p) = logm n.2 m n(2) logamllogan ；logap一 ，6, n =131.数列的通项公式与刖n项的和的关系：an=(sn sn，n -2数列an的前n项的和为Sn =a+a2+|l +an).32 .等差数列的通项公式:an =a1 (n -1)d =dn - a1 -d(n*N );其前n项和公式为：sn啦a一n222,1八(a1

13、 -2d)n.33 .等比数列的通项公式:an 二aqa1(1 -qn)其前n项的和公式为sn =1 -qna1, q =134.等比差数列On: an =qan - b (n -1)d,q =1,q:1或Sna1 -anq/1 n ,q=1=1-qna,q =1+ d,& =b(q #0)的通项公式为nb n(n -1)d,(q = 1)bqn +(d -b)q- -d；,q ； 1q -1其前n项和公式为：Sn =(bd )1-qn . d1 一q q -11 -qn,(q = 1)35 .同角三角函数的基本关系式c . c . sin 1:sin a+cos6=1, tan8=

14、, tan 8cos-co" - 1.36 .正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)sin(n(-1)2 sin =,(n为偶数)n 1J-1) 2 cosa,(n奇数)，cos(n(-1)2cos： ,( n为偶数). ：) = n 1(-1)2 sin - ,( n为奇数)37 .和角与差角公式_sin( 二 ) = sin-： cos L - cos sin :;cos(-：) = cos-： cos : + sin-： sin :;x ,:、 tan 二-tan :tan(： -)=1+tan： tan -sin(a +P)sin(u - 口)=sin2u -sin2

15、 口(平方正弦公式);cos© + )cos(a 一 口)=cos% -sin2 0 .-22basina +bcosa=Ja +b sin（a +中）（辅助角中所在象限由点（a,b）的象限决te , tan5=-）.a38 .二倍角公式及降哥公式2 tan - f-2, 2_2/ /c.2sin 2： = sin ： cos2. cos2： = cos.sin =二2cos .二-1二1 -2sin ;1 tan ;tan2:- 2tan21 一 tan ;.21 -cos2.：i21 cos2.：s.sin :=,cos :二, sin 2： tan :1 cos 2：21 ta

16、n ：-1 一 cos 2.isin 2二39.三角函数的周期公式函数y =sin（x +中），xC R及函数y =cosx +中）,x £ R（A, w ,邛为常数，且Aw 0）的周期Ty =tan(cox +中)，x # kn十二，k W Z （A, 3 ,5为常数，且Aw0）的周期2T二 |" |三角函数的图像:y=sinxy.L1-N23 Td2-2 兀-32-兀、y=cosx-2 广3 £23 £22u xa b c40 .正弦定理 ： =2R(R为AABC外接圆的半径).sin A sin B sin C二 a =2Rsin A,b =2Rs

17、in B,c =2RsinC = a : b :c =sin A: sin B : sin C52 .余弦定理222222c22,2a =b c -2bccosA; b =c a -2cacosB; c =a b -2abcosC .53 .面积定理1 .1 . .1 ,(1) S= aha =bhb = chc (ha、，、hc 分别表小 a、b、c 边上的图) 222(2)-1 ， S = absin C21 . 1.-=-bcsin A = - casin B .22(入+ 科)a = x a+a ;54 .实数与向量的积的手算律：设4、科为实数，那么 （1）结合律：入（a）=（入科）a

18、：（2）第一分配律：（3）第二分配律：入（& + b）=xa +入b.55 .向量的至量q的运算律：*(1) a - b= b - a (交换代);(2)(九a) b =九(a b)=八a . b=a(3) (a+b) c=a c+b c.44 .向量平行的当标表示.设 a：*,%), b=(x2,y2),且 b =0,贝了匚 b ( b =0)u x'乂2乂=0.45 . a与b的数量积(或内积)：a b =i a ii b cose。46 . a - b啊几何意义：数量积a b等于a的长度山|与b在a的向上的投影ib icose的乘积.,一北 .ab向重b在向重a上的投影：

19、| b I cos 9 = 4 .|a|47 .平面向量的坐标早算*勤设所知), b=(x2,y2),则 a + b =(为 +x2,y1+丫2).(2)设a=(x1,y)，b=(x2,y2),贝 b 口2, % y?).(3)节 a(Xi,0),B(x2,y2),AB=OB-OA = (x2-x1,y2-y1).(4)设 a = (x, y),九 1R ,则九 a = (，x,九y).设a=(x1,y)，b =(x2,y2),则 a b =(松 +yy2).48 .两向量的夹角公式a bx1x2 y1y2,，、，/、cos? =r =F= 222 (a = (x1，y1)，b =(x2，V2

20、).lai lb IX1 y1、x2 y249 .平面两点间的距离公式dA,B J(x2 - X1)2 *(y2 - y1)2 (A (x1 , y1) , B(x2 , y2).50 .向量的平行与垂直：设a=a| b = b =x a =x1(Xi，w) , b =(x2, y2),且 b # 0 ,则 1y2 - x2 y1 = 0 . b =0= x1x2 y1y2 = 0.50.线段的定比分公式：设P(x1,y1), P2(x2,y2) , P(x,y)是线段P1P2的分点，九是实数，且RP =x x x2T Tx 一1 K OP OP2u OP 二v - y _y52.三角形的重心

21、坐标公式二 二 TT* 1 、u op =tOB+(1t)O巳(t=)1 ABC个顶点的坐标分别为A(x1,y 1)、B(x2,y2)、 C(x3,y3),则 abc的重心 的坐标是G(xix2 必 yiy2 y3).53.一元二次不等式 ax2+bx + c>0M； <0) (a #0,A =b2-4ac >0),如果 a与 ax2+bx + c 同号，则其解集在两根之外；如果 a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间 .简言之:x1<x<x2u (xx1)(xx2) <0(x1 < x2)；54 .含有绝对值的不等式：当 a> 0 时，有

22、 x < a u x2 < a2 u -a55 .无理不等式x < X1,或x A x2 ax >au同号两根之外，异号两根之间(x-x1)(x-x2) 0(x1 :： x2).22八x >au xa 或 xca._ f(x)-0(1) , f (x).g(x) = g(x) .0f(x) g(x)_f(x)-0(3) Jf (x) <g(x) 口 «g(x)0 f(x) ”g(x)_f(x) -0(2) , f(x) g(x)= g(x) -0 f(x) g(x)f(X) 一噎g(x)-02.g(x)：0 f(x) g(x)2或产MOg(x):二

23、 056 .指数不等式与对数不等式(1)当 a >1 时，af (x) >ag(x) u f (x) > g(x)；(2)当 0<a <1 时，af(x) Aag(x)u f(x) <g(x);f(x) 0log a f(x) logag(x)= g(x) 0 f(x) g(x) f(x) 0 lOga f (X) lOga g(x) = g(x) 0f (x) < g(x)57 .斜率公式Vo - vk=(P(x,y1)、P2(x2,y2).x2 一 X158 .直线的五种方程(1)点斜式 y y1=k(xx1)(直线l过点R(x1,y1),且斜率为

24、(2)斜截式y =kx+b(b为直线l在y轴上的截距).(4)截距式k).xa b #0)(5)一般式 Ax +直线Ax+By+C =0的法向量：+C =0(其中A、B不引时为a 0).=1( a、b分别为直线的横、纵截距,= (A,B),方向向量：l =(BA)59 .两条直线的平行和垂直若 li:y = k1x+b , l2：y = k2x+ d 111112yk1=k2h#b2； 11_L 12yk1k2= -1.(2)若 11： Ax + B1y +C1 =0,12 ：A2x + B2y+C2 =0,且Ai、A2、Bi、B2都不为零，li 巾2= &=旦#C1； I1 _Ll2

25、y AA2 + B1B2 =0；A2民 C2一 ,，,k2 - k1 .60 .夹角公式(1)tano(41. (l1：y = k1x + h, I2 ： y = k2x +4 ,k1k2 0 1)1 k2kl1 2AB2 - A2B1(2) tan a =|.(l1：Ax+By+G =012： A2x + B2y+C2 =0, AA2 + B1B2 #0).A& B1B21 21 2直线11 _Ll2时，直线l1与l2的夹角是-.262.四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y。)的直线系方程为y -y0 =k(x-%)(除直线x =

26、%),其中k是待定的系数 经过定点P)(%, y0)的直线系方程为A(x-%)+B(y y0) =0，其中A,B是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线I： Ax+By + G = 0 , %： A2x + Bzy + C2=0的交点的直线系方程为 (Ax + Bj +C1) + Z(A2x + B2y +C2) = 0(除 12),其中入是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y=kx+b中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax + By + C = 0平行的直线系方程是 Ax + By十九=0(九#0),入是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线 Ax + By +

27、C = 0 (A w 0, Bw 0)垂直的直线系方程是 Bx Ay +九=0,63.点到直线的距离：d =| Ax0 By。 C |,A2 B2(点 P(x0,y0),直线 1 ： Ax + By + C = 0).64.圆的四种方程(1)圆的标准方程(xa)2 +(yb)2=r2. (2)圆的一般方程66.点与圆的位置关系：点 P(%,y0)与圆(xa)2 +(yb) 若 d = J(ax0)2 +(by0)2，则 d a r u 点 P 在圆外；d 67.直线与圆的位置关系x2 +y2 +Dx + Ey+F =0( D2 + E2 -4F >0).2的位置关系有三种点P在圆上；dc

28、ru点P在圆内.直线Ax +By +C =0与圆(x a)2 +(y-b)2 =r2的位置关系有三种Aa Bb C22)：，,A B2dru 相离 u A<0；d=ru 相切 u =0；d<ru 相交 u Aa0.68.两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为 O, Q,半径分别为2, O1O2 =dd > ri +r2 u 外离=4条公切线；d =r1 +r2之 外切u 舔公切线；r1 -r21Md <r1 +r2 u 相交u 2条公切线；内含相交相离9M«0一 d一 r2-r1 dr1+吃d - dd = r1 - r2 u0 <d < r1

29、-r2内切=1条公切线； u内含u无公切线.(2)已知圆x2+y2=r2.过圆上的8(%,丫0)点的切线方程为x0x+y0y=r2；斜率为k的圆的切线方程为 y=kx±rj1 + k2. 过圆x2+y2+Dx+Ey+F =0外一点(%,%)的切线长为1 = 以7弓02瓦丁凝了F22/269.椭圆 xy +-y2- =1(a >b >0)的离心率 e = c = J1 2 ,a ba 1 a2b2准线到中心的距离为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距)p ="。cc过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为:22x y70 .椭圆-y =1(a >b >0)焦

30、半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 a b， a、，a 、>, , 2ZF1PFPF1 =e(x+)=a+ex, PF2 =e(x)=aex； S：1PF2 = c| yP |=b tancc271 .椭圆的的内外部2222(1)点 P(x0,y°)在椭圆 +4=1(aAb>0)的内部 u 鸟+粤 <1.a ba b(2)点P(x0,y°)在椭圆72 .椭圆的切线方程2222xyx0y0+ =1(a>b>0)的外部 u >1.abab22(1)椭圆xy+4=1(a Ab A0)上一点P(x0,y。)处的切线方程是 q+y孚=1. a

31、 ba b22(2)过椭圆x2+多=1外一点P(x0,y。)所引两条切线的切点弦方程是笔+券 =1.a ba b22(3)椭圆 xy+4 =1(a >b A0)与直线 Ax+By+C =0相切的条件是 A2a2+B2b2 = c2.a b22xyc96.双曲线-2- =1(a >0,b >0)的离心率 e = abab2+ b2 ,准线到中心的距离为2,焦点到对应准线的c距离(焦准距)p=。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为: c73.双曲线的内外部点P(x0,y。)在双曲线(2)点P(x°, y°)在双曲线2xa2x2a2 y b22 y b2= 1

32、(a A0,b a0)的内部= 1(a A0,b A0)的外部2 X0a2 X02a2 y。 b2 y2 b274.双曲线的方程与渐近线方程的关系22xy(1)若双曲线万程为 F -，= 1 = 渐近线方程:ab=0= y(2) 若渐近线方程为y = ± b x u a)= 0=双曲线可设为 a b2 x 2 ab22222(3)双曲线与 J -二=1有公共渐近线，可设为k (九>0焦点在x轴上，九<0焦点在y轴上)a2 b2a2 b2(4)焦点到渐近线的距离总是b。75.双曲线的切线方程22(1)双曲线X2-y2=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处

33、的切线方程是曾202y=1.a ba b22(2)过双曲线 今冬=1外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是券岑 =1.a ba b22(3)双曲线x2 -y2 =1与直线Ax + By+C =0相切的条件是 A2a2B2b2 =c2. a b76.抛物线y2 =2px的焦半径公式抛物线 y2 =2px(pA0)焦半径CF =x0+卫.2cf|=p一(其中。为-轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到FC的角)1 -cos-pp_过焦点弦长CD=X1 十二+X2 十二=% +x2 + p. CD =22-p(其中“为倾斜角) sin ;2102.二次函数y(1)顶点坐标为(3)准线方程是2 .

34、 b 2 4ac -b .=ax +bx+c=a(x+) +(a。0)的图象是抛物线：2a 4ab 4ac-b2tb 4ac-b2 1(,);(2)焦点的坐标为(,)；2 a 4a2a 4a4ac -b2 -1y =".4a77 .抛物线 y2 =2px 上的动点可设为 P(界,yJ 或 P(2pt2,2pt) P (x;, y;),其中 y2=2px>78 .直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB = J(x1 x2)2 +(y1 y2)2或AB = J(1 +k2)(x2+x1)2-4x2 x1=| x1 -x21Ji + tan2Z =| y1 - y2| 水 +cotG y=

35、 kx + b- o(弦胡点A(x1, y1), B(x2, y2)，由方程消去y得到ax +bx + c = 0 , a 0, o(为直线AB的倾斜角,F(x,y) = 0为直线的斜率，| x1 -x2 |= (x1 , x2)2 -4x1x2 ).80.分类计数原理(加法原理)：N=mi+m2+|+mn.150 .分步计数原理(乘法原理)：N =mmbHHmin.n!*. . . .151 .排列数公式：An =n(n 1)(n m+1) =.( n , mCN,且 m4n).规定 0! = 1.(n - m)!152 .排列恒等式：(1)Anm=(nm + 1)Am。(2)Am=Am1;

36、(3) Am = nA;n - m(4) nAn=An：An; (5) 心= Am+mAm(6)1!+2 2! + 3 3!+川 + n n! = (n+1)! 1.81 .组合数公式 ：Cm= An-= n(n f-(n -m +1) =n( nCN*, mwN,且 mMn).Am12 m m! (n -m)82 .组合数的两个性质： cnm=c：R ；(2)cm+cnmcnv 规定 c0 =1.83 .排列数与组合数的关系：Am = m cm .(4)两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为cm4n.84 .二项式定理 (a +b)n =c；an +c：anb

37、+cn2anb2 十+c：an=br 十 一 十c；bn ；二项展开式的通项公式Tf=cnan"br(r=0,1,2，n).f (x) =(ax+b)n =a° +a1x + a2x2 +|"+anxn 的展开式的系数关系：a。+a1 +a2+IH+an =f (1); a。a+a2+111 + (1)nan = f (1); A=f(0)。85 .等可能性事件的概率： P(A) =m. n86互斥事件A, B分别发生的概率的和：P(A+B尸P(A) +P(B).87 . n个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1 + A2+ - + An)=P(A1) + P(A2)+ - + P(A