第一讲不等式的基本性质含有绝对值的不等式

1、优秀学习资料欢迎下载第一讲 不等式的基本性质、含有绝对值的不等式知识同圆理清教材基础知识，自主学习要点梳理1 .两个实数大小关系的基本事实a>b? a= b? a<b? 2.不等式的基本性质(1)对称性：如果 a>b,那么;如果,那么a>b.即 a>b? .(2)传递性：如果 a>b, b>c,那么.即a>b, b>c?.可加性：如果 ,那么a+c>b+c.(4)可乘性：如果 a>b, c>0,那么 ;如果a>b, c<0,那么(5)乘方：如果 a>b>0 ,那么 an bn(n N, n>1

2、).(6)开方：如果 a>b>0 ,那么 n/an/b(nN, n>1).3,绝对值三角不等式(1)性质 1： |a+b|<.(2)性质 2： |a|b|w.(3)性质 3: & |a- b|<.4.绝对值不等式的解法(1)含绝对值白不等式|x|<a与冈>2的解集不等式a>0a= 0a<0|x|<a|x|>a(2)|ax+ b|< c (c>0)和 |ax+ b|> c (c>0)型不等式的解法 |ax + b| w c? ;|ax+b|>c? .(3)|x- a|+ |x b|>c

3、和 |xa|+ -b|< c 型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.穷基释疑"基础突破1 .判断下面结论是否正确(请在括号内打或"X”)(1)|x- a|+ |x- b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a, b的距离之和.()(2)不等式|a|-|b|< |a+ b|等号成立的条件是ab< 0.()不等式|a-b|< |a|十 |b|等号成立的条件是ab<0.()2 .不等式|2x1|x2|<0的解集为 .

4、3 .不等式1<|x+1|<3的解集为 .4 .不等式1 3凶>0的解集为 x5 . (2013福建改编)设不等式|x- 2|<a(aC N*)的解集为A,且A, g?A.则a的值为题型分类深度剖析题型一绝对值三角不等式定理的应用例 11“|x-A|哽|yA|<，是 " |xy|< & (x, y, A,R )的 条件.思维升华对绝对值三角不等式定理的理解注意以下三点：(1)两端的等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用此定理求函数的最大(小)值时.(2)该定理可以推广为|a+b+c|w |a|+|b|+|c|,也可强化为|a|b|w |a

5、*|< |a|+|b|,它们经常用于含绝对值的不等式的推证.当 ab>0 时，|a+b|=|a|+|b|;当 abw0 时，|a-b|=|a|+|b|.跟踪训练1设a, b是满足ab<0的实数，则下列不等式正确的是 . |a+ b|>|a b| |a+ b|<|a b| |a b|<|a|-|b| |a b|<|a|+ |b|(2)已知命题p： |a|<1,且|b|<2,命题q： |a+b|<3,则p是q的 条件.题型二含绝对值的不等式的解法【例2】(2012课标全国改编)已知函数f(x) = |x+a|+|x- 2|.(1)当a=

6、3时，不等式f(x)>3的解集为 ;(2)若f(x)w|x4|的解集包含1,2,则a的取值范围为 .思维升华解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.跟踪训臻2(1)不等式|x+ 1|-|x- 3|>0的解集是 .(2)不等式|x+3|-|x-2|>3的解集为 .题型三含参数的绝对值不等式问题【例3已知不等式|x+ 11 |x- 3|>a.若不等式有解，则实数 a的取值范围为 .若不等式

7、的解集为R,则实数a的取值范围为 .若不等式的解集为？，则实数a的取值范围为 跟踪训练3已知函数f(x)= |x- a|.(1)若不等式刈3的解集为*|1*5,求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x) + f(x+5)>m对一切实数x恒成立，求实数 m的取值范围.思想与方法绝对值不等式的解法典例：（5分）不等式|x+1|+|x1p3的解集为练出高分A组专项基础训练1 .不等式|2x-1|<3的解集为 .2 .已知全集 U = R,集合 M=x|X1|W2,则？uM=.3 . （2013江西）在实数范围内，不等式|x 2|-1|<1的解集为 .4 .（2013山东）在区

8、间 3,3上随机取一个数x使得X+1|x2|>1成立的概率为 .5 .不等式|x+ 1|+|2x4|>6的解集为 .6 .不等式|x+ 1|-|x- 2|>k的解集为R,则实数k的取值范围为 .7 .如果关 于x的不等式|x a|+ |x + 4|>1的解集是R ,则 实数a的取值范围 是8 .（2013重庆）若关于实数x的不等式|x- 5|+|x+3|<a无解，则实数a的取值范围是 9 . （2012湖南）不等式|2x+ 1|2|x1|>0的解集为 .10 .若不等式|3x b|<4的解集中的整数有且仅有1、2、3,则b的取值范围为 .B组专项能力提

9、升1 . （2012陕西）若存在实数x使|xa|+|x1|W3成立，则实数a的取值范围是 .2 .若不等式|x+ 1|+|x-3|>|m- 1|恒成立，则m的取值范围为 .13.已知集合 A=xCR|X + 3|+|x-4|<9, B = xCR|x=4t + -6, t （0,十 ）,则集合An b=.4,若关于x的不等式|x-1|+X-3|<a2-2a-1在R上的解集为？，则实数a的取值范围是5 .不等式log3（|x-4|+|x+5|）>a对于一切xCR恒成立，则实数 a的取值范围是 .6 .对于实数x, v,若|x 1|<1, |y-2|<1,则|x

10、 2y+ 1|的最大值为 .7 .设函数f（x）=|x 3|+|x a|,如果对任意xCR, f（x）>4,则a的取值范围是 .答案基础知识自主学习要点梳理1. a b>0 a b= 0 a b<02. (1)b<a b<a b<a (2)a>c a>c (3)a>b (4)ac>bc ac<bc (5)> (6)>3. (1)|a|+|b| (2)|a+b| |a|一|b| |a|+|b|4. (1) x| a<x<a ? ? x|x>a 或 x< ax|xC R 且 xw0 R(2)cw

11、ax+ b< c ax+b>c 或 ax+bw c夯基释疑1. (1)，(2)X (3)，2. x|- 1<x<1解析 方法一 原不等式即为|2x1|<|x2|,，4x1不等式组无斛，由得2<x<1,由得一1xW?综上得1<x<1,所以原不等式的解集为 x|1<x<1.3. (-4, - 2) U (0,2) 4.(8, 1)U(0, 3) 5. 1 13113*解析 因为yA,且2?A,所以|丁 2|<a,且邑2|>a,解得了aw鼻.又因为a C N ,所以a=1.题型分类深度剖析【例1】充分不必要解析 若|x A

12、|<2，|y A|<2,则有 |x y|=|x-A+A-y|= |(x-A) + (A- y)|< |x-A|+y-A|<" 4x+ 1<x2 4x+4, 1- 3x2<3,.一1<x<1.1 c "<x<2 或S2、2x1 + (x2<0.方法二原不等式等价于不等式组x> 2,|2x-1-(x-2<0,x<1或£2(2x 1 广(x-2 <0.+ - = £-.|x-A|<-, |y-A|<2>|x-y|< £成立的充分条件.一、

13、 3£一 .一££一 . 一反之，右|x-y|< £,则可以取|x- A|<4 s, |yA|<4使得条件|x- A|<', |y A|<得不到满足. 一一S.、，、,，一 .一一，.因此，|x- A|<-, |yA|<2是|xy|< e成立的充分而不必要条件.跟踪训练1 (1)(2)充分不必要【例 2 (1) x|x< 1 或 x> 4 (2) 3,0f - 2x+ 5, x< 2,解析 (1)当 a=3 时，f(x)=<1, 2<x<3, Lx-5, x>

14、;3.当 xW2 时，由 f(x)>3 得一2x+5>3,解得 x< 1;当 2vx<3 时，f(x)>3 无解；当 x>3 时，由 f(x)>3 得 2x 5>3,解得 x>4.所以f(x)>3的解集为x|xw 1或x>4.(2)f(x)< |x-4|? |x-4|- |x-2|>|x+a|.当 xC 1,2时，|x-4|-x-2|>|x+ a|? 4 一 x一 (2 一 x)|x+a|? 2 一 aWxW2 a.由条件得一2 aw 1 JeL 2 a>2)即一3WaW0.故满足条件的a的取值范围为 3

15、,0.跟踪训练 2 (1)1 , +8) (2)x|x>1解析(1)方法一不等式等彳M专化为|x+1|刁x3|,两边平方得(x+1)2>(x3)2,解得x>1,故不等式的解集为1, +8).方法二不等式等彳转化为|x+1|>|x3|,根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点1的距离大于等于到点 3的距离，到两点距离相等时x= 1,故不等式的解集为1 , + 8).(2)原不等式可化为x< -3,-3<x<2,x>2,f或f或*-x-3+x-2>3x+3 + x-2>3 x+3-x+ 2>3,优秀学习资料欢迎下载，xC ?或1 Wx

16、<2或x>2.，不等式的解集为x|x>1.【例 3. a<4 a< 4a> 4解析 由 |x+1|x3|W |x+ 1-(x-3)| = 4.x-3|- |x+ 1|< |(x-3)-(x+ 1)| = 4.可得一 4W |x+ 1|一 |x一 3|W4.(1)若不等式有解，则 a<4;(2)若不等式的解集为R,则a< 4;(3)若不等式解集为？，则a> 4.跟踪训练3 解 方法一 (1)由f(x)W3得|x a|W3,解得a 3wxw a+3.又已知不等式f(x)< 3的解集为x| 1<x< 5,a 3 = 1 1

17、,所以f解得a=2.a + 3 = 5,(2)当 a = 2 时,f(x)=|x 2|,设 g(x) = f(x)+f(x+5),1-2x-1, x<-3,于是 g(x)= |x-2|+ |x+ 3|= 5 5, - 3<x<2,12x+1, x>2.所以当 x<3 时，g(x)>5;当一3WxW2 时，g(x)= 5;当x>2时，g(x)>5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x) + f(x+ 5)> m,即g(x)> m对一切实数x恒成立，则 m的取值范围为(一°°, 5.方法二 (1)同方法一.(

18、2)当 a = 2 时,f(x)=|x 2|.设 g(x)=f(x) + f(x+ 5).由|x2|+|x+3|>|(x 2)(x+3)|=5(当且仅当一3<x<2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x) + f(x+ 5)> m,即g(x)> m对一切实数x恒成立，则 m的取值范围为(一°°, 5.练出高分A组1. (-1,2) 2.x|x<1 或 x>3优秀学习资料欢迎下载3. 0,4解析由 IX 2| - 1|W1 得1W |x 2| 1W1,|x-2|>0解1得0WxW 4.，不等式的解集为0,4.|x-

19、2|<2解析由绝对值的几何意义知:使|x+1|x2|>1成立的x值为xC 1,3,由几何概型知所求概率为P = =|=1.3+3 6 35.(巴1)U(3,)x> 2解析由题意知，原不等式可化为x+ 1 + 2x4>61<x<2或|x+ 1-2x+4>6x< 1;一 x一 1 一 2x+ 4>6解得x>3或x< 1,，xC(8, i)u(3, + 8).解析 根据绝对值的几何意义，设数x, - 1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B,则原不等式等价于 PA PB>k恒成立.AB=3,即 |x+1|x 2|> - 3.

20、故当k< 3时，原不等式恒成立.7 . ( 8, 5U-3,)解析 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知aw 5或a> 3.8 .(巴 8解析 -.1 |x-5|+ |x+ 3|=|5x|+|x+ 3|> |5-x+x+ 3|=8,(|x- 5|+ |x+3|)min= 8,要使 |x 5|+|x+3|<a 无解，只需 aw 8.19 .'x x>4解析 根据绝对值的几何意义，去掉绝对值号后求解.1 ,当xw2时，原不等式可化为1 2x+ 2(x- 1)>0,整理得3>0,无解.1当一5<xW1时，原不等式可化为 2x+1 + 2(x1)&

21、gt;0,11整理得 4x-1>0,即 x>-, . -<x< 1.当x>1时，原不等式可化为 2x+ 1-2(x- 1)>0 ,整理得3>0.此时不等式的解集为 x>1.原不等式的解集为1ux|x>11=权 x>- I10 . (5,7)4+ b 4+ b解析 |3x- b|<4?<x<->oob 4I4<b<7,由已知得：?？ 5<b<7.b+ 4l5<b< 83<丁4B组1. 一 2 w 4解析 |x-a|+|x- 1|> |(x-a)-(x-1)|=|a-

22、1|,要使 |xa|十|x1|W3 有解,可使 |a 1|w3, 3Wa 13, 2WaW4.2. -3,5解析 |x+ 1|+|x- 3|> |(x+ 1)-(x-3)|=4,.不等式 |x + 11 + |x3Plm11恒成立，只需 |m 1|<4,即一3WmW5.3. x|-2<x<5解析 |x+ 3|+ |x-4|<9,当 x< 3 时，一 x一 3一 (x一4)09,即一4W x< 3;当一3WxW4 时，x+3(x4)= 7W9 恒成立；综上所述，A= x|-4< x< 5.1又 =*=41+, 6, t (0, + 00),rn2yl6= 2,当t = g时取等号.B=x|x>-2, .-.An B= x|-2<x< 5