差分方程模型习题+答案

1、(1) 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率 他每月取1000元作为生活费， 建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？r ,根据题意，可每月取款,分析：（1）假设k个月后尚有 Ak元，每月取款b元，月利率为根据题意，建立如下的差分方程:Ak 1 aAk b ,其中每岁末尚有多少钱，即用差分方程给出Ak的值。（2）多少岁时将基金用完，何时A 0由（1）可得:k k a A0ab r若Anran0，若想用到80岁，即 n =(80-60)*12=240 时， A2400A0ra240a240 1利用MATLAB编程序分析计算该差

2、分方程模型，源程序如下:clear allclose allclc x0=100000;n=150;b=1000;r=;k=(0:n)'y1=dai(x0,n,r,b);round(k,y1') function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)-b;end (2)用MATLA时算：A0=250000*A240-1)/A240思考与深入：(2) 结论： 128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完(3) A0 = +005结论：若想用到 80 岁， 60 岁时应存入万元。2. 某人从银行贷款购房， 若他今年初贷

3、款10 万元， 月利率%， 他每月还 1000 元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10 年还清，每月需还多少？分析：记第k个月末他欠银行的钱为x (k),月利率为r,且a=1+r, b为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为x(k+1)=a*x(k)+b, a=1+r, b=-1000 , k=0, 1, 2 在r= 及x0=100000 代入，用 MATLAB计算得结果。编写 M 文件如下 :function x=exf11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB十算并作图：k=(1:1

4、40)'y=exf11(100000,140,-1000);所以如果每月还1000 元，则需要11 年 7 个月还清。如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为：r*x0*(1+r)An/1-(1+r)An b=-r*x0*(1+r)An/1-(1+r)An用 MATLAB 计算如下：>> x0=100000;> > r=;> > n=120;> > b=-r*x0*(1+r)An/1-(1+r)Anb= +003所以如果要10 年还清，则每年返还元。3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1 ，猫头鹰的存在

5、引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为 a1 ；猫头鹰的年平均减少率为r2 ；田鼠的存在引起的猫头鹰减少率的增加与田鼠的数量成正比，比例系数为a2 。建立差50 年的变化过分方程模型描述田鼠和猫头鹰共处时的数量变化规律，对以下情况作图给出 程。(1) 设 r10.2, r20.3, a10.001, a20.002, 开始时有 100只田鼠和 50只猫头鹰。(2) r1, r2 , a1 , a2 同上，开始时有100只田鼠和 200 只猫头鹰。( 3 )适当改变参数a1 ,a2 (初始值同上)( 4 )求差分方程的平衡点，它们稳定吗？分析：记第 k 代田鼠数量为xk ，第k

6、代猫头鹰数量为yk ，则可列出下列方程：xk 1xk(r1 a1yk )xkyk 1yk( r2 a2xk )yk运用 matlab 计算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;for k=1:49x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k);y(k+1)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=x',y'(1)z=disanti(100,50, plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')(2)z=disanti(1

7、00,200, plot(1:50,z(:,1);hold on;plot(1:50,z(:,2),'r')(3)当 a1,a2 分别取 , 时，得到如下图像：可见， 当 a1,a2 参数在一定范围内改变时， 猫头鹰与田鼠数量在一定范围内震荡， 且不灭绝。(4)令 XkXk 1 x ； ykyk 1 y解方程得到如下结果： x=150y=200经matlab验证如下： z=disanti(150,200,plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),'r')由此可知：平衡点为：x=150 y=2004.研究将鹿群放入草场后

8、草和鹿两种群的相互作用。草的生长遵从Logistic 规律，年固有增长率，最大密度为3000 (密度单位)，在草最茂盛时每只鹿每年可吃掉(密度单位)的草。若没有草，鹿群的年死亡率高达，而草的存在可使鹿的死亡得以补偿，在草最茂盛时补偿率为。作一些简化假设，用差分方程模型描述草和鹿两种群数量的变化过程，就以下情况进行讨论：(1)比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况。(2)适当改变参数，观察变化趋势。模型假设：1 .草独立生存，独立生存规律遵从Logistic 规律；2 .草场上除了鹿以外，没有其他以草为食的生物；3 .鹿无法独立生存。没有草的情况下，鹿的年死亡率一定；4

9、 .假定草对鹿的补偿率是草场密度的线性函数；5 .每只鹿每年的食草能力是草场密度的线性函数。记草的固有增长率为r,草的最大密度为 N,鹿独立生存时白年死亡率为d,草最茂盛时鹿的食草能力为a,草对鹿的年补偿作用为b;第k+1年草的密度为 Xk 1 ,鹿的数量为yk 1 ,第k年草的密度为Xk,鹿的数量为 yk。草独立生存时，按照 Logistic 规律增长，则此时草的增长差分模型为Xk'、.xk 1 xk r(1 )Xk,但是由于鹿对草的捕食作用，草的数量会减少，则满足如下 Nxkaxk yk方程：Xk 1 Xk r(1 U)Xk kTk, (k 0,1,2,L)(1)N N鹿离开草无法

10、独立生存，因此鹿独立生存时的模型为yk 1 ykdyk，但是草的存在会使得鹿的死亡率得到补偿，则满足如下差分方程：(2)yk 1yk(d bXs)yk,(k 0,1,2,L)另外，记初始状态鹿的数量为 y0,草场密度初值为 X0,各个参数值为: ) ) )利用MATLA编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下：%定义函数diwuti ,实现diwuti-Logistic综合模型的计算，计算结果返回种群量function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) %描述 diwuti-Logistic综合模型的函数x(1) = x0;%草场密度赋初值y(1) = y0;%鹿群数量

11、赋初值for k = 1 : n;x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N;y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k);endB = x;y;% %clear allC1 =disiti (1000,100,3000,50);C2 = disiti(3000,100,3000,50);k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),'b'KC1(2,:),'b'KC2(1,:),'r'KC2(2,:),'r')axis(0 50 0 300

12、0);xlabel('时间/年')ylabel('种群量/草场：单位密度，鹿：头)title(' 图1.草和鹿两种群数量变化对比曲线)gtext('x0=1000')gtext('x0=3000')gtext('草场密度)gtext('鹿群数量)比较将100只鹿放入密度为1000和密度为3000的草场两种情况(绘制曲如图 1所示)：由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；而红色曲线则代表草场密度的初始值为3000时，两种群的变化情况。观察两种情况下曲线的演变情况，可以发现大约 40

13、-50年左右时间后，两种群的数量将达到稳定。使用MatLab计算可以得到，n (yk, yk)k(1800,600),即两种群数量的平衡点为( 1800, 600)。为进一步验证此结论， 下面通过改变相关参数， 研究两种群变化情况， 找到影响平衡点 的因素：（ 1）改变草场密度初始值；从图 2 中可以看到，改变草场的初始密度不会对两种群数量的平衡点造成影响。（ 2）改变鹿的数量初值由图 2 可以看到，鹿初始的数量的改变在理论上 也不会改变最终种群数量的平衡值。但是 ，我们可以看到， y0=2000 的那条曲线（紫色曲线），在5 15 区间内降低到了非常小的值， 这显然是不符合鹿的现实繁殖规律的

14、， 因为鹿的种群可持续繁殖的最小数量是存 在域值的。当种群数量低于这个值时，在实际情况下，鹿的种群就要灭绝。同样道理，草场的密度也存在一个最小量的域值，低于这个阈值，草也将灭绝。综合上面分析，可以在此得出一个结论： 最大密度一定的草场所能承载的鹿的数量存 在上限。（3）改变草场的最大密度N,画图比较结果；如图 4 所示， 如果草场密度的最大值N 发生变化， 则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论：N值越大，平衡点两种群的数量就越大；N越小，平衡点两种群的数量就越小。（ 4）改变鹿群独立生存时的死亡率实验中， 改变了鹿单独生存的死亡率得到如图和两幅图， 可以得出结论： 鹿单独生存的死亡

15、率越大，则两种群数量达到平衡点的时间越短；相反，鹿单独生存的死亡率越小，则两种群数量达到平衡点的时间越长（甚至有可能会出现分叉、混沌）。（ 5 ）草场密度对鹿数量的补偿作用变化（ b 变化）从图中可以看到， 如果 b 增大， 则达到稳定点的时间会加长， 但如果 b 减小则会有一个域值， 当 b 低于域值时，草鹿种群数量的平衡时将不收敛于同一个平衡点，出现多值性。5. Leslie 种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次， 六周以后死亡 （给出了变化过程的基本规律） 。 孵化后的幼虫 2 周后成熟，平均产卵 100 个，四周龄的成虫平均产卵 150 个。假设每个卵发育成2周龄成虫的

16、概率为， （称为成活率） ， 2 周龄成虫发育成4 周龄成虫的概率为。假设开始时，02， 24， 46 周龄的昆虫数目相同，计算2 周、 4 周、 6 周后各种周龄的昆虫数目； 讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势： 各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？ 假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？分析：将两周分成一个时段， 设 k 时段 2 周后幼虫数量为：x1(k), 2 到 4 周虫的数量为：x2(K), 4到 6 周虫数量为：x3(K) 。据题意可列出下列差分方程：x1(k+1)=x 2(k)*100+x 3(k)*150x2(k+1)=x 1(k)*x3(k+1)=x 2(k)*运用 matlab 编写的程序如下：function z=diwuti(a,r1,r2,n)x(1) =a;y(1)=a;w(1)=a;for k=1:nx(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;y(k+1)=x(k)*r1;w(k+1)=y(k)*r2;endz=x',y',w'for k=1:n+1 m=x(k)+y(k)+w(k)endplot(1:n+1,x);hold onplot(1:n+1,y,'r');hold onplot(1:n+