立体几何新题型.

1、立体几何新题型1 .如图，在四棱锥 P ABCD中，PC AD CD -AB 2面 ABCD./，A l1fBDC(1)求证：BC 平面PAC;(2)若M为线段PA的中点，且过C,D,M三点的平面与线段由；并求三棱锥A CMN的高.2 .在四B P ABCD中，PAD为正三角形，平面PADCD 2AB 2AD 4.P 1C(I)求证：T® PCD TWPAD;(n)求二棱锥P ABC的体积；(出)在棱PC上是否存在点E ,使得BE/平面PAD?若在 说明理由.2, AB/DC , AD CD, PC 平PB交于点N ,确定点N的位置，说明理平面 ABCD, AB/CD , AB AD

2、,在，请确7E点 E的位直并证明；若小存在，试卷第3页，总6页3 .如图，ABCD是边长为3的正方形，DE 平面ABCD, AF 平面ABCD , DE 3AF 3.(1)证明：平面 ABF/平面DCE；3:11 ?若存(2)在DE上是否存在一点 G ,使平面FBG将几彳5体 ABCDEF分成上下两部分的体积比为 在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由 .4 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为直角梯形， AD/BC ,ADC 90 ,平面PAD底面ABCD , Q为AD的中点， M是棱PC上的点， PA PD , BC - AD . 2(I)求证：平面 PQB 平面PAD ;(

3、n)若三棱锥 A BMQ的体积是四棱锥 P ABCD体积的1 ,设PM tMC ,试确定t的值.65 .已知四棱锥P ABCD中，底面为矩形，PA 底面ABCD, PA BC 1, AB 2, M为PC上一点，M为PC的中点.BC(1)在图中作出平面 ADM与PB的交点N ,并指出点N所在位置(不要求给出理由)；(2)求平面ADM将四棱锥P ABCD分成上下两部分的体积比.6.如图，四棱锥 P ABCD的底面为菱形 且/ ABC= 120° , PA，底面ABCD AB= 2, PA= J3 ,(1)求证：平面 PBDL平面PAC(2)求三棱锥 P-BDC的体积。(3)在线段PC上是

4、否存在一点 E,使PCL平面EBD成立.如果存在，求出 EC的长；如果不存在，请说明 理由。7 .在四B P ABCD中，底面ABCD为平行四边形,AB 3, AD 242, ABC 45 , P 点2BE 2EA, M 在线段 CD 上，且 CM -CD .3在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE 2,(I)证明： CE 平面PAB ;(n)在线段 AD上确定一点F,使得平面PMF 平面PAB并求三棱锥 P AFM的体积.CD 3 .(1)证明:DCAB;8 .如图，五面体 ABCDE中，四边形 ABDE是菱形，ABC是边长为2的正三角形，DBA 60 ,5(2)若C在平面ABDE内的

5、正投影为 H ,求点H到平面BCD的距离.11.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形， PA 底面ABCD , PA PB , E,FAD AP 2, AB DP 2J2 , E为CD的中点，点F在线段PB上.(l)求证： AD PC;(n)当三棱锥 B EFC的体积等于四棱锥10.如图，在四棱锥P ABCD中，OP ABCD体积的1时，求PF的值. 6 PBAD , AD / BC , AB AD ,AOABBC 1,PO 72, PC 73.PA7求证：平面POC 平面PAD; 若CD V2 ,三棱锥P ABD与C PBD的体积分别为V1、V2 ,求V1的值.V2分别是PA,

6、 PB的中点.(1)在图中画出过点E,F的平面 ，使得 /平面PCD (须说明画法，并给予证明)；(2)若过点E,F的平面 /平面PCD且截四棱锥P ABCD所得截面的面积为 还，求四棱锥2P ABCD的体积.12.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC AB1C1中，侧面A1ACC1底面ABC, AAC 60o.(1)求三棱柱ABC AB1cl的体积；(2)已知点D是平面ABC内一点，且四边形ABCD为平行四边形，在直线AA1上是否存在点P,使DP/平面AB1C ?若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案1 .(1)详见解析(2)

7、我【解析】试题分析：(1)先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面 垂直的判定定理进行证明；(2)利用三角形的中位线证明线线平行，进而通过四点共面确定点N的位置，再利用等体积法进行求解 .试题解析：(1)连接AC ,在直角梯形 ABCD中， AC Jad2 DC2 2& ,BC J AB CD 2 AD2 20,所以 AC2 BC2 AB2,即 AC BC.又 PC 平面 ABCD，二 PC BC ,又 AC PC C ,故 BC 平面 PAC .2 2) N为PB的中点，1因为M为PA的中点， N为PB的中点，所以 MN/AB,且MN -AB 2.2又AB/CD，.

8、- MN /CD，所以 M ,N,C,D 四点共面， 所以点N为过C,D, M三点的平面与线段 PB的交点.因为BC 平面PAC , N为PB的中点，所以N到平面PAC的距离d BC J5. 2又 SAACM 7S ACP A AC PC 五,所以 VN ACM 五 & .22 233由题意可知，在直角三角形 pca中，pa Jac2Pc7 2V3, cm J3 ,在直角三角形 PCB 中，PB,BC2PC2 2V3 ,CNJ3,所以 ScmnJ2.设三棱锥A CMN的高为h,VN ACMVA cmn 1J2h 2,解得：h72,3 3故三棱锥A CMN的高为J2.答案第13页，总10

9、页2. (1)证明见解析;(2) 2® ; (3)存在，证明见解析3【解析】试题分析：(I)先证明 CD AD , PAD ,再利用面面垂直的判定定理可得结论； 平面ABCD ,再根据棱锥的体积公式可得结果；再根据面面垂直的性质定理可得CD 平面(n )先根据面面垂直的性质定理可得 PO(m)E为PC的中点时，BE/平面PAD,根先证明平面 BEF P平面PAD ,从而可得结果试题解析：(I)因为 AB/CD , AB AD,所以CD AD.因为平面PAD 平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD , 所以CD 平面PAD .因为CD 平面PCD, 所以平面PCD 平面PAD.

10、(n)取AD的中点O,连结PO.因为 PAD为正三角形，所以PO AD.因为平面PAD 平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD ,所以PO 平面ABCD,所以PO为三棱锥P ABC的高.因为 PAD为正三角形， CD 2AB 2AD 4,所以po .3.1 一 所以 Vp ABC 二 S ABC PO311 c c o 2 32 2 . 3 .3 23(出)在棱PC上存在点E,当E为PC的中点时,BE/平面 PAD.分别取CP,CD的中点E,F ,连结BE,BF,EF .所以 EF/PD.因为 AB/CD, CD 2AB ,所以 AB/FD,AB FD .所以四边形ABFD为平行四边形

11、.所以BF PAD .因为 BF EF F, AD PD D,所以平面BEF P平面PAD .因为BE 平面BEF ,所以BE P平面PAD .3. (1)见解析(2)存在点G且EG 1满足条件【解析】试题分析:(1)根据DE /AF, AB/CD ,结合面面平行的判定定理可知两个平面平行；(2)先求出整个几何体的体积.假设存在一点G ,过G作MG /BF交EC于M ,连接BG,BM，设EG t,求得几何体GFBME的体积，将其分割成两个三棱锥B EFG, B EGM ,利用t表示出两个三棱锥的高， 再利用体积建立方程， 解方程组求得t的值.试题解析：解：(1) . DE 平面 ABCD, A

12、F 1平面ABCD,DE/AF , AF/平面 DCE ,. ABCD是正方形， AB/CD，.- AB/平面 DCE , AB AF A, AB 平面 ABF ， AF 平面 ABF，.平面 ABF/平面 DCE .(2)假设存在一点 G,过G作MG/BF交EC于M ,连接BG,BM ,ABCDEFVB ADEFVB CDE1 3 1 3 3 1 3 3 3 2132322设 EG t，则 VGFBME VB EFG VB EGM 7?1一，2 14 4设M到ED的距离为h,则立我_L, h -t , Segm -t2 3 EC 3 124132 139.一 一. 一 3 -t- 3 -1

13、-，解得t 1,即存在点G且EG 1满足条件.34324点睛：本题主要考查空间点线面的位置关系，考查几何体体积的求法，考查探究性问题的解 决方法.第一问要证明面面平行，根据面面平行的判定定理可知，只需找到平面的两条相交直线和另一个平面的两条相交直线平行即可.第二问要对几何体进行分割，先假设存在，接着计算出总的体积，然后再次利用分割法用体积来列方程组，求解出G的位置的值.4.(D 见解析；(n) t 1.【解析】试题分析：(I)由平面PAD 平面ABCD,且平面PAD 平面ABCD AD ,QB AD可证得BQ 平面PAD ,进而平面PQB 平面PAD ;(n)(n)由PA PD , Q为AD的

14、中点，可彳# PQ AD .由平面PAD 平面ABCD ,可得PQ 平面ABCD .设PQ h ,梯形ABCD面积为S ,则Saabq= - S , 31 I 1VP ABCD Sh ,利用 VA BQM VM ABQ 即可求信.3试题解析：1（I）证明：: AD/BC, BC -AD, Q 为 AD 的中点， 2四边形BCDQ为平行四边形， CD/BQ , ADC 90 , AQB 90 ,即 QB AD .又.平面PAD 平面ABCD,且平面PAD 平面ABCD AD , BQ 平面 PAD , BQ 平面PQB，平面PQB 平面PAD .（n） PA PD , Q 为 AD 的中点，PQ

15、 AD,平面PAD 平面ABCD ,且平面PAD 平面ABCD AD , PQ 平面 ABCD .设PQ h ,梯形ABCD面积为S ,则三角形 ABQ的面积为1S ,31Vp ABCD Sh - 3_11又设M到平面ABC的距离为h',则VA BQM VM ABQ - -Sh',3 3，一一一11111根据题意 Sh' Sh, h' h , 3 36 32故 MC T 1, PC h 2(2)因为MN是PBC的中位线,BC 1,所以1MN , AN2，且 AN AD ,所以梯形ADMN的面积为1 1 1 叵述, 2 228P点到截面ADMN的距离为P到直线AN

16、的距离d所以四棱锥P ADMN的体积V 1 3/521385 4而四棱锥P ABCD的体积V 1 2 1 -, 33 215所以四棱锥被截下部分体积 v2 V V12 1 ,3 4 12故上，下两部分体积比 V13 .V25考点：线面平行性质与判定定理，棱锥体积【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行 求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等 方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条 件求解.6. (1)见

17、解析;(2) 1; (3)2 155【解析】试题分析：(1)要证面面垂直，一般先证线面垂直，也即要证线线垂直，由菱形可得BD AC ,又由PA 平面ABCD得PA BD ,从而可得直线与平面 PAC垂直，从而得证面面垂直；(2)三棱锥P BDC的底面是 BDC，高为PA,由体积公式可得体积；(3)假设存在，由线面垂直可得线线垂直，设AC BD 。，则EO PC ,在 PAC中由相似三角形可求得 EC长，反之只要有 EO PC ,就可得PC 平面EBD .试题解析:（1） 略证： 通过证 BDLAC,BDL PA,得出 BDL平面 PAC又BD在平面PB咕，所以平面 PBDL平面PADV - -

18、S. PA =工2、155（2） 、 假设存在，设川CflBD=。，则£。1 PC , COE sacpa , ce7.（D 见解析；（n）1.3【解析】试题分析：（I）根据余弦定理结合勾股定理可得 BE EC ,由PE 平面ABCD , 得PE EC。从而由线面垂直的判定定理可得结果；（n）取F是AD的中点，先证明CE平面PAB ,即可证明FM 平面PAB ,然后根据棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（I）证明：在 BCE中，BE 2, BC 2艮 ABC 45 ,由余弦定理得EC 2.所以BE2 EC2 BC2,从而有BE EC.由PE 平面ABCD,得PE EC.所以CE 平面

19、PAB.（n）取F是AD的中点，作 AN/EC交CD于点N ,则四边形 AECN为平行四边形，CN AE 1,则 AN/EC.在 AND中，F , M分别是AD , DN的中点，则FM /AN ,所以FM /EC.因为CE 平面PAB,所以FM 平面PAB.又FM 平面PFM ,所以平面 PFM 平面PAB .111Svafm .2-3 sin45 二一. 232、，1 _1V = Svafm PE 33【方法点晴】本题主要考查线面垂直、面面垂直及棱锥的体积公式，属于中档题.证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用直线和平面垂直的判定定理；（2）利用判定定理的推论aPb, a b ； （3）

20、利用面面平行的性质a , P a ； （4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面8. （1）见解析（2）31326【解析】试题分析：（1）取AB的中点。，连OC,OD ,得到AB OC,进而彳导出AB OD ,利用线面垂直的判定定理，证得 AB 平面DOC ,即得到AB CD ;（2）取OD的中点H ,连结CH ,由（1）证得CH 平面ABD ,所以点H是D在平面ABD内的正投影，设点 H到平面BCD的距离为d ,在 BCD中，求解面积S bcd，在OCD中，得S OCD，利用Vo BCD Vb ocd ,即可得到结论.试题解析：（1）证明：如图，

21、取 AB的中点O ,连OC,OD因为 ABC是边长为2的正三角形，所以 AB OC,OC J3又四边形ABDE是菱形,DBA 60°,所以 DAB是正三角形所以 AB OD,OD 3而OD OC O ,所以AB 平面DOC所以AB CD（2）取OD的中点H ,连结CHJ由（1）知OC CD,所以AB ODAB 平面DOC ,所以平面DOC，平面ABD而平面DOC，平面ABD,平面DOC与平面ABD的交线为OD , 所以CH 平面ABD,即点H是D在平面ABD内的正投影 设点H到平面BCD的距离为d,则点O到平面BCD距离为2d 因为在 BCD中，BC BD 2,CD J3,得在OCD

22、中,OC OD CD所以由Vo bcdVb ocd得一S BCD3d S OCD3OB即1 2 ,d341 33 13 41八 S BEC31 1h ° s SABCD PA, 6 3（2）由锥体体积公式得体积之比为SS S ABD hV131s h_ S BCD h3S ABDS BCD,再根据面积之比可得V19. （D 见解析；（n） 1.3【解析】试题分析：（I）根据余弦定理及勾股定理先证明BC AC ,可得AD AC,再由勾股定理得 PA AD ,进而可得结论；（n） F到平面 ABCD的距离为h,由1 一1 1 一一E二 S BEC h - SABCD PA,可信结果 .3

23、6 3试题解析：（I）证明：在平行四边形 ABCD中，连接AC ,因为 AB 2金,BC 2, ABC 450,由余弦定理得AC4 8 4 2 2&2 cos45o 4,得 AC 2,所以 ACB 90o，即 BC AC ,又 AD / BC ,所以AD AC,又 AD AP 2, DP 242,所以 PA AD , AP AC A,所以AD 平面PAC ,所以AD PC .1（n）因为E为CD的中点， SBEC SR边形ABCD4底面 ABCD AD,Q侧面PAD 底面ABCD,侧面PAD PA AD, PA 平面 ABCD.设F到平面ABCD的距离为h,1Q VB EFC VF B

24、EC _ VP ABCD , 6 _ PF 1h - PA,所以一一. PB 310. （1）见解析（2） 2【解析】试题分析：（1）先根据正方形性质得OC AD,再根据勾股定理得 OC PO, 根据线面垂直判定定理得 OC 平面PAD ,最后根据面面垂直判定定理得面面垂直，的值.试题解析：（1）在四边形OABC中，: AO BC, AO BC, AB AD,在 POC 中，: PO2 OC2 PC2,四边形OABC是正方形，得OC AD. OC PO ,又 PO AD O , OC 平面PAD, 又OC 平面POC，:平面POC 平面PAD.（2）由（1）知，四边形OABC为正方形，. OC

25、 AB 1, OC OD ,:OD JCD2 OC2 1 ,从而 AD 2,设点P到平面ABCD的距离为h, 二平行线BC与AD之间的距离为1,1c ,1乜3sABDhSabd2AD 1AD2V21s BCDhSbcd-BC 1BC3211 .(1)见解析；(2) g.【解析】试题分析：（1）分别取AD,BC的中点H,G ,连接EF,EH,HG,FG,可证 EH/面 PCD, HG/面 PCD,进而根据 面面平行得性质可得结果；（2）设PA 2a,则EF a, GH 2a先证才形EFGH为直角梯形，再根据面积求得a 1, 进而可得结果.试题解析：（1）如图所示，分别取AD,BC的中点H,G, 连接 EF, EH ,HG,FG ,因为 EF/AB, AB/HG ,所以 EF/HG, 即E,F,G,H四点共面，则平面FEHG为所求平面，因为 EH/PD , EH 面 PCD , PD 面 PCD , 所以 EH/面 PCD. 同理可得：HG/面PCD,且HG EH H,所以 /面PCD.（2）设PA 2a ,则EF a, GH 2