第一章1.4.1充分条件与必要条件

1、1. 4充分条件与必要条件1. 4.1充分条件与必要条件【学习目标】1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.知识梳理梳理控材夯实基础知识点充分条件与必要条件“若p,则q"为真命题“若p,则q”为假命题推出关系p?_qp?q条件关系p是q的充分条件 q是p的必要条件p不是q的充分条件 q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考 若p是q的充分条件，这样的条件 p唯一吗？答案 不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件，

2、p可以是“ x>2” “x>3”或“2<x<3”等.预习小测自我检验1 .若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则 p是q的 条件.答案必要2 .已知A? B,则“xCA”是“xCB”的 条件.答案充分3 . p： |x|=|y|, q： x=y,则 p 是 q 的 条件.答案必要解析. x= y? |x|=|y|,即 q? p,，p是q的必要条件.4 . p： a=0, q： ab=0,则 p 是 q 的 条件.答案充分题型探究探究重点素养提升%一、充分条件的判断例 1 (1) 下列命题中， p 是 q 的充分条件的是p： (x 2)(x3) = 0, q：

3、x2=0; p ：两个三角形面积相等， q ：两个三角形全等；p： m<2, q：方程x2x m=0无实根.答案 解析 .(x 2)(x- 3)=0,，x=2或x=3,不能推出x2=0.p不是q的充分条件.两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，p不是q的充分条件.: m< 2，12+4m<0 ,，方程x2xm= 0无实根，p是q的充分条件.(2) “ a>2 且 b>2 ”是“ a b>4， ab>4 ”的 条件答案 充分解析 由 a>2 且 b>2? a b>4 ， ab>4 ，是充分条件.反思感悟充分条件的判断方法(1

4、)判定p是q的充分条件要先分清什么是p,什么是q,即转化成p? q问题.(2) 除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p 构成的集合为 A， q 构成的集合为 B， A? B ，则p 是 q 的充分条件跟踪训练1“x>2”是“x2>4”的 条件.答案 充分解析 x>2? x2>4 ，故x>2 是 x2>4 的充分条件二、必要条件的判断例 2 在以下各题中，分析p 与 q 的关系：(1)p ： x>2 且 y>3 ， q ： x y>5 ；(2)p ：一个四边形的四个角都相等，q ：四边形是正方形解(1)由于p? q,故p是q的

5、充分条件，q是p的必要条件.(2) 由于q? p ，故 q 是 p 的充分条件， p 是 q 的必要条件反思感悟(1) 判断 p 是 q 的什么条件，主要判断若 p 成立时，能否推出 q 成立，反过来，若q 成立时，能否推出 p 成立；若 p? q 为真，则 p 是 q 的充分条件，若 q? p 为真，则 p 是 q 的必要条件.(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“xCA”，条件乙“xCB”，若A? B,则甲是乙的必要条件.跟踪训练2 分析下列各项中p与q的关系.(1)p： a 为锐角，q: a= 45°.(2)p： (x+ 1)(x-2)=0, q： x+ 1 = 0.解(1)

6、由于q? p,故p是q的必要条件，q是p的充分条件.(2)由于q? p,故p是q的必要条件，q是p的充分条件.三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p：实数x满足3a<x<a,其中a<0 ; q：实数x满足一2w xw 3.若p是q的充分条 件，求实数a的取值范围.解 p： 3a<x<a,即集合 A= x|3a<x<a.q： 2WxW 3,即集合 B=x|-2<x< 3.因为p? q,所以A?B,3a> 2,所以aw 3,? -|<a<0，3a<0所以a的取值范围是一|< a<0.3延伸探究1 .将本例中

7、条件p改为“实数x满足a<x<3a,其中a>0"，若p是q的必要条件，求实数 a的取值范围.解 p： a<x<3a,即集合 A = x|a<x<3a.q： 2WxW 3,即集合 B=x|-2<x< 3.因为q? p,所以B?A,33a>3,所以<a< 2,?aC?.a>02 .将例题中的条件 “q：实数x满足一2WxW3”改为“q：实数x满足一3WxW0”其他条件不变，求实数a的取值范围.解 p： 3a<x<a,其中 a<0,即集合 A= x|3a<x<a.q： - 3<

8、 x< 0,即集合 B=x|-3<x< 0.因为p是q的充分条件，所以p? q,所以A? B,"3a> -3,所以 aw 0,? 1 w a<0.a<0所以a的取值范围是一1wa<0.反思感悟充分条件与必要条件的应用技巧（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.（2）求解步骤：先把 p, q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.随堂演练感轴巩固学以致用1 .若p是q的充分条件，则q是p的（）A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.既

9、是充分条件又是必要条件答案 B解析 因为p是q的充分条件，所以p? q,所以q是p的必要条件.2 .下列命题中，p是q的充分条件的是（）A. p: abw0, q： aw 0B . p： a2+ b2>0, q： a>0H b>0C. p： x2>1, q: x>1D. p： a>b, q： Va>Vb答案 A解析 根据充分条件的概念逐一判断.3. “同位角相等”是“两直线平行”的（）A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件，也是必要条件D.既不充分又不必要条件答案 C4 .若“x>1”是“x>a”的充分条件，则 a的取值范围是 .答案 a

10、<1解析因为x>1? x>a,所以a< 1.5 , " x2 = 2x” 是 “ x= 0” 的 条件，“ x= 0” 是 “ x2= 2x” 的 条件(用“充分” “必要”填空).答案必要充分解析 由于x=0? x2=2x,所以“x2=2x”是“x= 0”的必要条件，“x= 0”是“x2=2x”的 充分条件.课堂小结1 .知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念.(2)充分性、必要性的判断.(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.(4)充分条件与必要条件的应用.2 .常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值.课时对点练注重双基

11、强化落实z守基础巩固1 .使x>3成立的一个充分条件是()A. x>4 B. x>0 C. x>2 D. x<2答案 A解析 只有x>4? x>3,其他选项均不可推出x>3.2 .使x>1成立的一个必要条件是()A. x>0 B. x>3 C. x>2 D. x<2答案 A解析 只有x>1? x>0,其他选项均不可由 x>1推出，故选 A.3 .下列p是q的必要条件的是（）A . p ： a=1, q: |a|= 1B. p： 1<a<1, q: a<1C. p： a<b,

12、q： a<b+1D. p： a>b, q： a>b+ 1答案 D解析 要满足p是q的必要条件，即 q? p,只有q： a>b+1? q： ab>1? p： a>b,故选D.4 .下列“若p,则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是（）A.若 1=1,则 x=yB.若 x2 = 1,则 x=1x yC.若 x=y,则 xx= VyD.若 x<y,则 x2<y2答案 A解析 B项中，x2 = l? x= 1或x= 1 ; C项中，当x=y<0时，取 5无意义;D项中，当x<y<0? x2>y2,所以B, C, D中p不是q的充

13、分条件.5 .下列命题中，p是q的充分条件的是（）A . p ： a是无理数，q: a2是无理数B. p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等C. p: x>0, q： x> 1D. p： a>b, q： ac2>bc2答案 B6 .下列说法不正确的是 .（只填序号）“x>5”是“ x>4”的充分条件；" xy= 0”是“ x= 0且y= 0”的充分条件；“2Vx<2 ”是“ x<2”的充分条件.答案 解析中由xy= 0不能推出x=0且y=0,则不正确；正确.7 .条件p： 5-x<0 ,条件q： x>a,若p是q的充分条

14、件，则 a的取值范围是 .答案a|aW5解析 p： x>5,若p是q的充分条件，则 p? q,也就是说，p对应集合是q对应集合的子集，所以a< 5.8 .下列式子:a<0<b; b<a<0;b<0<a;0<b<a.其中能使1<1成立的充分条件有 .(只填序号)a b答案1.11解析 当a<0<b时，1<0<1； a b'当 b<a<0 时，1<1<0; a b当 b<0<a 时，!<0； ，ba，当 0<b<a 时，0<<?， a

15、b所以能使1<1成立的充分条件有 . a b9 .指出下列各组命题中，p是q的什么条件：在 ABC 中，p： A>B, q： BC>AC;(2)p： a=3, q: (a+2)(a3)= 0; a ,(3)p： a<b, q： b<1.解 在中，由大角对大边，且 A>B知BC>AC,反之也正确，所以 p既是q的充分条件，也是q的必要条件；在(2)中，若 a=3,则(a + 2)(a3)=0,但(a + 2)(a 3)=0 不一定 a=3,所以 p 是 q 的充分条件但不是必要条件；,， a，, a 一 一在(3)中，当 a=2, b=- 1 时，b=2

16、>1;当 a=2, b=- 1 时，b=- 2<1,所以 p 既不是 q的充分条件，也不是必要条件.10 . (1)是否存在实数 m,使2x+ m<0是x< 1或x>3的充分条件？(2)是否存在实数 m,使2x+ m<0是x<1或x>3的必要条件？解 欲使2x+ m<0是x< 1或x>3的充分条件，则只要 ix x< m2 I? x|x< - 1 或 x>3,即只需一m< -1,所以m>2.故存在实数 m>2,使2x+ m<0是x<- 1或x>3的充分条件.(2)欲使2x+m

17、<0是x< 1或x>3的必要条件，则只要 x|x< 1或x>3 ?伙x<-m r,这是不可能的.故不存在实数 m,使2x+ m<0是x< 1或x>3的必要条件.彳综合运用11 .对任意实数a, b, c,下列命题中，真命题是()A. " ac>bc"是"a>b”的必要条件B . " ac= bc"是"a= b"的必要条件C. "ac>bc”是“ a>b”的充分条件D. " ac= bc”是“ a = b”的充分条件答案 B解析&

18、quot;a=b" ?"ab=0"?"(ab)c= 0"?"ac=bc"," ac= bc"是"a=b"的必要条件.12 .已知集合 A=xC R|1<x<3, B=xC R|1<x<m+1,若xC B成立的一个充分条件 是xCA,则实数m的取值范围是()A . m> 2B. mW 2C. m>2D, - 2<m<2答案 A解析 因为x e B成立的一个充分条件是 x e A,所以A? B,所以3<m+1,即m>2.13 .若

19、A=xa<x<a+2, B = x|x<1或x>3,且A是B的充分条件，则实数a的取值范围 为.答案a|aw3,或 a> 3解析 因为A是B的充分条件，所以A? B,又 A= xa<x<a+2 , B = x|x<1 或 x>3.因此 a+ 2w 1 或 a>3,所以实数a的取值范围是a|aw 3,或a>3.14 .已知条件p： x<1或x>3,条件q： x<m+ 1或x>m+1(m>0),若条件p是条件q的充 分不必要条件，则实数 m的取值范围是 .答案m|0<m<2B= x|< m + 1 或 x>m+ 1,解析 由题意，设集合 A= x|x< 1或x>3,因为条件p是条件q的充分不必要条件，