基本不等式,高考历年真题

1、温馨提示:高考题库为 Word版，请按住 Ctrl ,滑动鼠标滚轴，调节合适的 观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点20基本不等式2009年考题1. （2009天津高考）设a >0,b A0.若闻3a与3b的等比中项，则-+-的最小值为（ a b1A 8B 4C 1D 4【解析】选B.因为3a ,3b =3,所以a+b = 1 ,卜一伊."之一十一:2,2":b a当且仅当一=即a = b =a b1 ,一一时=成立,故选择B.211 .2. （2009天津局考）设 x, y w R,a >1,b >1,若ax =by = 3, a +b =

2、2*5,则一十一的最大值为（）x yA.2B. -C.1D.-22【解析】选 C.因为 ax = by =3, x = log a 3, y = log b 3, + = log 3 ab W log 3（-）2 = 1 （当且仅 x y2当a=b=志时等号成立）.3. （2009重庆高考）已知 a >0, b >0 ,则1十二+2 JOb的最小值是（）a bA. 2B. 272C. 4D. 5【解析】 选C.因为十工十2jab至2./ +2jab = 2（sj + Vab）至4当且仅当=, a bi ab, aba b且 J =Vab,即 a=b时，取 "二号。w.w.

3、w.k.s.5.u.c.o.m ,ab3TJI4. （2009湖南高考）若 xC（0,1）贝U 2tanx+tan（ ：-x）的最小值为 .1 一【斛析】 由 x=（0, ），知 tan口 >0,tan（口）= cot" =:>0,所以22tan ;2tana +tan(- -a) =2tana 1 >272,当且仅当 tanoc =-时取等号，即最小值是272。2tan ：2答案：2、, 22 ,.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5. （2009湖南局考）右X >0 ,则x+的取小值为X【解析】x 0 x - -2、2,当且仅当 xx = 2= x =

4、 J2时取等号 x答案：2、26. （ 2009湖南高考）若X >0 ,2【解析】选：x>0=x+2至X2 ,则x + 一的取小值为.一2 2亚,当且仅当x= = x=J2时取等号x答案：2.27. （2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为m ；如果他买进该产品的单价为 n元，则他的满意度为m an .如果一个人n -a对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为 和儿，则他对这两种交易的综合满意度为Jhh2.现假设甲生产 A、B两种产品的单件成本分别为 12元和5元，乙生产 A、B两种产品的单件成本分别为3元

5、和20元，设产品A、B的单价分别为 mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为hfc 一3求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当 mA= mB时，求证： 屏=h乙；5>3八E 、，一（2）设mA = mB,当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度 5为多少?（3）记（2）中最大的综合满意度为ho，试问能否适当选取 mA、mB的值，使得 上之卜0和hfc>h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。【解析】（1）-A (切.w 3,12,修人七5,20)w 3,.当mA = mB时，h甲=535 mBmB5mB

6、+12 mB %2 mB(mB 20)(mB 5) ,3.mB2二 5 BmB二mB13mB 3 mB 20 (mB 5)(mB 20),3,(2)当 mA = mB 时,5111由mB/5,20得一,一,故当mB20 51mB120即 mB = 20, mA =12 时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为（3）由（2）知：h0 = -105105.mAmB.1U/曰由h甲=JAB >h0 = 得: mA 12 mB 55mA 12 mB 5 . 5 '三一mAmB2，351令=x,=y,则 x、 y=一,1,即:mAmB45(1 +4x)(1 + y) W 。2同理，由 h乙

7、h0 = -10-得：(1 x)(1 4y)- 521 一 5 一力一万面，x、y ,1 1 4x、1+4y 2,5, 1 x、1+y - ,2, 425513 3(1+4)(1 +y) <-,(1 +x)(1+4y) E,当且仅当 x = y =一,即 mA =- mB 时，取等号。由(1)知 mA = - mB22455时h甲二八乙所以不能否适当选取 mA、mB的值，使得h甲之儿和怔之玲同时成立，但等号不同时成立。8.（2009湖北高考）围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口

8、，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为 x（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）(I)将 y 表示为 x 的函数： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(n)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为a m,贝U y2=45x+180(x-2)+180 2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a= 360x3602 _所以 y=225x+ -360( x 0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.mx36022(11) .x 0,. 225x 2 .

9、 225 360 =10800 x36023602 g 金口4、:y=225x+ -360之10440 .当且仅当225x=时，等号成立.xx即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.2008年考题 1、(2008四川高考)已知等比数列 4中a2=1,则其前3项的和S3的取值范围是()(A) (-«,-1(B) (g,0)U(1,F)(C) 3,9(D) (g,_1U3,")【解析】选D.方法1 ： 等比数列an中a2=1/.当公比为1时，a1=a2=a3 =1 ,S3=3 ； 当公比为-1时，a =-1,a2 =1岛=-1 , S3 =-1从而淘汰

10、(A) (B) (C)故选D;方法 2： 等比数列an中a2=1S3=&+a2+a3=a2(1 +q +-) =1 +q+-当公比 q a0时，qq6=1+! 1+2"与；当公比 q<0 时，6=1(F2)，1-2L <-1)=-1.-. S3W(-eo,_1U3,F)故 q qqq选D;方法3:S3 =x+1+1 (x 00).由双勾函数 y=x x+1的图象知, xx+：2或 x+f, -2,故选 D.2、(2008重庆高考)函数f(x)=用的最大值为(D. 1【解析】 选B. f (x)小，2(当且仅及二Jr即x=1时取等号)。故选Bo3、(2008浙江高考

11、)已知a鹿0,b 0,且a+b=2,则()A. ab, 12B.ab122222C. a +b 2 D. a +b , 3一22222【解析】 选C.由a鹿0,b 0，且a+b =2, 4=(a+b) =a +b +2ab, 2(a +b ),当且仅当a=b=1时等号成立. a2 +b2 .-2。4、（2008陕西高考）3 =1 ”是 对任意白正数x, 2x+-1”的（）8XA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 选A. a=1 = 2x+aX =2x+R2j2xx8X=1 ,另一方面对任意正数 x, 2x+-a-1只要2x a鹿2 2x ax =2

12、2a5、（2008江西高考）若0 口a?,。D b2,且为 +a?="十b2 =1 ,则下列代数式中值最大的是（1A.+a2b2B. aa+bbC. &b2 +a2。D. 2【解析】选A. a1a2+b1b2,(生券)2+(卡)2=2a1b> +a2b2 -(a1b2 +a2bi) =(a a2)b1 +(a a2)b2 =(a2 a)(b2 -b)0a1b +a2b2 (a1b2 +a2bi)11=(a1+a2)(b +b2)=a1b+a2b2+a1bl+a2b ,2(a1bl+a2b2). .a1bl+a2b2j6、( 2 0 0 8年安徽高考)设函数 f (x)

13、=2x+11(x <0),则f(x)()xA.有最大值B.有最小值C.是增函数D,是减函数【解析】 选 A . x<0.-. -2x>0,-1 >0 , f(x)=2x+11=-(2x)+()1,由基本不等式 xxxf(x)=-(-2x) +(-1)-1, -2j(-2x)(1) 1=-2后1 有最大值. xxy ，7、（2008江苏图考）x, y, z= R ,x 2y+3z = 0,工的最小值为 xzx - 3z，代入得xz【解析】 本小题考查二元基本不等式的运用。由x-2丫 + 32 = 0得丫 =人z2x2 9z2 6xz 6xz 6xz之=3 ,当且仅当4xz

14、4xz答案：38、 （2008湖北高考）.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm),能使矩形广告面积最小？【解析】 方法1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为b cm,则ab=9000.广告的高为 a+20,宽为2b+25,其中a>0, b>0.广告的面积 S= (a+20)(2b+25)= 2ab+40b+25a+500 = 18500+25a+40b> 18500+2.25a .40b =1850

15、0+ .1000 ab =24500.5 当且仅当25a= 40b时等号成立，此时 b= 5 a，代入式得a=i20,从而b=75.8即当a=120 , b=75时,S取得最小值 24500.故广告白勺高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小 .方法2：设广告的高为宽分别为 x cm, y cm,则每栏的高和宽分别为 x 20, y .25,其中x>20, y>252两栏面积之和为 2(x 20)匕生=18000,由此得y=竺000 + 252x- 2011800018000广告的面积 S=xy=x(+ 25) = + 25 x,x-20x -20整理得 s= 36

16、0000 25(x -20) 18500.x -20因为 x-20>0,所以 S>2 J360000 x 25( x-20) +18500 = 24500. x -20当且仅当360000 =25(x 20)时等号成立,x -20此时有(x- 20)2= 14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 18000 +25，得 y= 175, x-20即当x=140 , y= 175时，S取得最小值 24500,故当广告的高为 140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.2007年考题1. (2007上海高考)已知 a,b为非零实数，且 a <b,则下列命

17、题成立的是()._ 2 .22 _ 211baA、a <bB、ab <a bC、-r <；-D、一 < ab2a2ba b22ab 02 一 2【斛析】 选C.右a <b <0= a >b , A不成立；若i = a b < ab ,B不成立；若a =1, b =2,a : bb _ a 1 b a则一 =2, =一二 一>一 ,所以D不成立，故选C.a b 2 a b 2ab2. (2007重庆局考)若 a是1+2 b与1-2 b的等比中项，则 的取大值为()|a| 2|b|2、, 5A.15【解析】 选B.a是1+2b与1-2b的等比中

18、项，则 a2 =1 _4b23a2 +4b2 =1之4|ab |.1。o|ab| . , a2 4b2 =(| a| 2|b|)2 - 41ab | = 1.42ab _ _2ab_ . _2 |ab|_ _4( ab)2|a| 2|b| J一4|ab| 一 一4|ab| 1 - 4 | ab|11Jab |4,4 |ab|4_ 444 n = o 2i 一+(一)V(+2) -4,|ab| ab , |ab|2ab4、 2max 二一.|a| 2|b| 13241 _x_ .3. (2007山东高考)函数y=a (a>0, a#1)的图象恒过定点 A ,若点A在直线11 ,mx+ny 1 =0(mn >0)上，则 一 十一的最小值为 m n1 _x