集合知识点总结及习题

1、集合(1元素与集合的关系：属于(2)集合与元素(4)集合与集合集合)和不属于()集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集集合的表示方法：列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 子集：若x A x B,则A B,即A昆B的子集。1、若集合A中有n4"元素，则集合A勺子集有2n个，真子集有(2n-1)个。关系件2、任何一个集合是它本身的子集，即3、对于集合A,B,C,如果A B,且B4、空集是任何集合的(真)子集。A AC,那么A C.运算真子集：若A集合相等：A交集并集定义:性质:定义:性质:B且A B(

2、即至少存在XoB但Xo则A是B的真子集。x/xAM xA, Ax/xA< xA, AA, AB A, A B B, ABABAA, ACard(A定义:B)Card (A)Card(B)-Card(AA, AB)BA, ABB, ABABBCuAx/x U 且x A A(CuB),Cu(AB) (CuA) (CuB)补集 性质:(CuA)A,(CuA)A U,Cu(Cu A)A,Cu(A B)(CuA)一、集合有关概念1 .集合的含义2 .集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY勺字母组成的集合H,A,P,Y元素的无序性：如：a,b,

3、c和a,c,b是表示同一个集合3 .元素与集合的关系一一(不)属于关系(1)集合用大写的拉丁字母 A、B、C表示元素用小写的拉丁字母a、b、c表示(2)若a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作aC A;若不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作a A;4 .集合的表示方法：列举法与描述法(1)列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法格式： a,b,c,d 适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示(2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：x |x满足的条件例如：x R| x-3>2 或x| x-3>2适用：一般元素较多

4、的有限集合或无限集合用描述法表示注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N=0,1,2,3 ,正整数集 N*或N+ = 1,2,3 ,整数集 Z ，-3 , -2, -1 , 0,1,2,3 ,有理数集Q实数集R有时，集合还用语言描述法和 Venn图法表示例如：语言描述法：不是直角三角形的三角形Venn 图：4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合 无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：x R|x2= 5二、集合间的基本关系1 .“包含"关系一子集定义：若对任意的xCA,都有xCB,则称集合A是集合B的子集，记为A B (或B A)注意：A

5、B有两种可能(1) A是B的一部分，；(2) A与B是同一集合。符号C与的区别反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2 . “相等”关系：A=B定义：如果A B同时B A那么A=B实例：设A=x|x 2-1=0 B=-1,1“元素相同则两集合相等”3 .真子集：如果A B,且存在元素xCB/x A,那么就说集合A是集合B 的真子集，记作aIbba）4 .性质任何一个集合是它本身的子集。A A如果A B, B C ,那么A C如果A B同时B A那么A=B5 .不含任何元素的集合叫做空集，记为规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，

6、含有2n个子集，2n1个真子集 三、集合的运算i .运算 旧交 集并集补集士 7E由所有属于A且属于B的兀由所有属于集合 A或属设S是一个集合，A是S的一个子集，义素所组成的集合，叫做A,B 的交集.记作A B （读作于集合B的元素所组成 的集合，叫做A,B的并由S中所用A的兀素组成的集 合，叫做S中子集A的补集（或余集） 记作CSA,即'A 交 B'),即 A B=集.记作：A B （读作x|x A,且 x B.'A 并 B'),即 A B=x|xA,或 x B).CSA=x|x S,且x A韦恩 图A示图1图2A A=AA A=A(CuA)(C uB) =

7、C u (A B)性A 二A B=B AA 二人A B=B A(CuA)(CuB) = C u(AB)质ABAABBA B< = > A B=AABAABBA B< = > A B=BA (CuA尸U A(CuA尸.第一章：集合与函数的概念 第一课时：集合1.1 集合的含义与表示1.1.1 集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大 写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素a属于集合A,记做aC A,反之，元素a不属于集合 A,记做a A1.1.2 集合中的元素的特

8、征：确定性：如世界上最高的山；互异性：由HAPPY勺字母组成的集合H,A,P,Y;无序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一个集合。1.1.3 集合的表示方法：列举法；描述法； Venn图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集(即自然数集)正整数集整数集有理数集实数集NN+或 N*ZQR1.1.4 集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：三.有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质：分别是确定性互异性无序性例：集合A是由元素n2-n , n-1和1组成的，其中nC Z,求n的取值范围。解：n是不等

9、于1且不等于2的整数。练习：1 .已知集合 M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a w 0,且M与N中的元素完全相同，求 d和q的值。2 .已知集合 A=x, y,1,B=x 2,x+y,0,若 A=B,贝U x2009+y2010的值为, A=B= .3 . (1)若-3 C a-3,2a-1,a 2-4求实数 a 的值；(2)若 1一m C m,求实数 m的值。1 m4 .已知集合 M=2, a,b,N=2a2b2,且 M=N求 a,b 的值。5 .已知集合A=x|ax 2+2x+1=0,a C R, (1)若A中只有一个元素，求 a的值；(2)若A中至多有一个元素，求 a的取

10、值范围。四.集合的表示法：三种表示方法练习；1 .用列举法表示下列集合。(1) 方程p 2+y2=2d的解集为 ;x-y=0L(2)集合A=y|y=x 2-1,|x| w 2,x C Z用列举法表示为 ；(3)集合B= -8 C Z|x C N用列举法表示为；1 x(4)集合C=x|= LaJ + Lbl, a, b是非零实数用列举法表示为 ； a b2 .用描述法表示下列集合。(1)大于2的整数a的集合；(2)使函数y=1有意义白实数 x的集合；x x 1 x 1(3) 1、22、32、42、3.用Venn图法表示下列集合及他们之间的关系：(1) A=四边形, B=梯形, C=平行四边形,

11、D=菱形, E=矩形,F=正方形;(2)某班共30人，其中15人喜欢篮球，10人喜欢兵乓球，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不 喜欢乒乓球的人数为,用Venn图表示为：。五.有关集合的分类：六.集合概念的综合问题：练习3 t1 .若31t，则t的值为 ;1 t2 .设集合 A=y|y=x 2+ax+1 , x RB=(x,y)|y= x 2+ax+1, x C R ,试求当参数 a=2 时的集合 A 和 B;3 .已知集合A=x|ax 2-3x+2=0, a C 3求(1)若集合A为空集，则a的取值范围；(2)若集合A中只有一 个元素，求a的值，并写出集合 A; (3)若集合A中至少有一

12、个元素，则a的取值范围。1.1课后作业：1 .判断下列各组对象能否组成集合：(1)不等式3x 2 0的整数解的全体；(2)我班中身高较高的同学；(3)直线y 2x 1上所有的点；(4)不大于10且不小于1的奇数。0x x 1v2 .用符号或填空:(1) 2 N 22 Q(3) 0(4) b a,b,c(5) 0 N* (6) 273，_、-2， 一*/ ,(7) 3 xx n 1,n N (8)1,1，一一一2(9)1,1 x, y y x3 .写出下列集合中的元素(并用列举法表示)：(1)既是素数又是偶数的整数组成的集合(2)大于10而小于20的合数组成的集合4 .用适当的方法表示：(1)

13、(x + 1)2=0 的解集；x y 1(2)方程组 y的解集；x y 0(3)方程3x2y + 1 = 0的解集；(4)不等式2x- 1>0的解集；(5)奇数集；(6)被5除余1的自然数组成的集合。5 .集合1 , a2中a的取值范围。6 .2集合间的基本关系6.1.1 子集：一般地，两个集合 A和B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记做A B (或B A),读作“ A包含于B”(或" B包含A )。如右图示。比如说，集合 A=1、2、3,集合B=1、2、3、4、5,那么，集合 A 中的元素1、2、3都属于集

14、合B,所以，集合 A为集合B的子集，记做A B (或B A)。6.1.2 集合相等：如果集合 A B且B A时，集合A中的元素与集合 B中的元素是一样的，因此，集合 A与集合B相等，记做A=R或A=Bo6.1.3 真子集：如果集合 A B,但存在元素x B,且x A,我们称集合A是集合B的真子集。记作:A鼻B (或BA) 也可记作：A B (或B A)6.1.4 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集(当然是真子集)本节精讲：一.集合间的包含与相等的问题：对于集合相等，我们要从以下三个方面入手： 若集合A B且B A时，则A=B;反之，如果 A=B,则集

15、合A B且B A。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明A=B,只需要证明 A B和B A都成立就行了。两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：若集合A x|x a, B x|2x 5 0,且满足A B,求实数a的取值范围.解：练习：1 .已知A x|x2 px q 0 , B x|x2 3x 2 0且A B,求实数p、q所满足的条件.2 .若1,2 x|x2 bx c 0,则().A.b3, c2B.b3,

16、 c2C.b2, c3D.b2, c33.已知集合P= x|x2+x 6=0与集合Q= x|ax+1 = 0 , ?t足Q w P,求a的取值组成的集合 A。 二.有关子集以及子集个数的问题：例1 :判定以下关系是否正确(1)aa(2)1 , 2, 3 = 3, 2, 1(3) w0(4)0 C0(5)=0(6) C0解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的.说明：含元素0的集合非空.例2:列举集合1 , 2, 3的所有子集.分析：子集中分别含1, 2, 3三个元素中的0、1、2或者3个.解：含有0个元素的子集有：含有1个元素的子集有1 , 2 , 3;含有2个元素的

17、子集有1 , 2, 1 , 3 , 2 , 3;含有3个元素的子集有1 , 2, 3.共有子集8个.例3:已知a、b A a、b、c、d,则满足条件集合 A的个数为 .分析：A中必含有元素a, b,又A是a, b, c, d子集，所以满足条件的A有：a, b, a, b, c,a, b, d, a、b、c、d。解：共3个.例 4：设集合 A = x|x = 5-4a+a2, a R , B= y|y = 4b2 + 4b +2, b R,则下列关系式中正确的A. A=BB. A BC. A w BD. A w B解：A例5:已知集合 A=2, 4, 6, 8, 9, B=1 , 2, 3, 5

18、, 8,又知非空集合 C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合 C.分析:逆向操作：A中元素减2得0, 2, 4, 6, 7,则C中元素必在其中；B中元素加2得3, 4, 5, 7,10,则C中元素必在其中；所以 C中元素只能是4或7.答:C=4或7或4 , 7.练习：1 .在以下五个写法中：0 0, 1, 2 ，00, 1,21, 2, 00G 1Gx|x 1, 2写法正确的个数有 A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个2 .集合 A = (x , y)1y = 1与 B = (x , y)|y = x的关系是 x3.满足条件0

19、, 1 , MA. 8个 B.7个C.6个 D.5个0, 1, 2, 3, 4的不同集合M的个数是4,设 I=0 ,1,2,3, 4, 5, A=0 , 1, 3, 5, B=0,则: 0 A 0B C I A CIB1CIBCIAAB5 .已知 A=x|x=(2n + 1)兀，n C Z , B=y|y=(4k ± 1)兀，k C Z,那么 A 与 B 的关系为 .6 .已知集合 A=1,3 , a,B=1,a 2-a+1,且 A B,求 a 的值。7 .已知集合 A=x C R|x2+3x+3=0 , B=y B|y2 - 5y+ 6=0,A P,B,求满足条件的集合 P.8 .

20、已知集合 A=x|x=a 2+1, aCN, B=x|x=b 2-4b+5, bCN,求证：A=B。课后作业：A组1 .写出集合1 , 2, 3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。2 .下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若 A ,则A 0其中正确的有()A 0个 B 、1个 C 、2个 D、3个3 .设 x, yR,A(x,y)| y 3 x 2, B (x,y)| y- 1，则A, B 的关系是x 24 .已知Ax|2 x 5, B x| a1 x 2a 1 , BA,求实数a的取值范围。5 .已知集合A 1,3,2m 1 ,集合B 3,m2 ,若B A

21、,则实数m的值。6 .设集合Ax| 1 x 3 , Bx| x a 0 ,若A是B的真子集，求实数a的取值范围。7 .用适当的符号填空： a a, b,c 0 x x20 x R x2 1 0 0,1 N 0 x x2 x 2,1 x x2 3x 2 08 .判断下列两个集合之间的关系：9 A1,2,4, B x x是8的约数 10 A xx3k,kN,Bxx6z,z NA x x 20m,m N ,B xx是4与10的公倍数 9 .设集合 Ax x24x 0 ,B xx22(a1)x a21 0, x R ,若 B A,求实数 a 的值。10 .下列选项中的 M与P表示同一集合的是()A、M

22、xRx20.01 0 ,Px x20B、M(x,y)|yx2 2,x R ,P(x,y)|xy2 2,y RC、My|yx21, xR,Px|x (y1)21,y RD、My|y2k,k Z,Px x4k2,kZ11 .试写出满足条件|GM|C 0,1,2的所有集合M12 .写出满足条件 0 M |S 0,1,2的所有集合M13 .已知 1, x £ 2x 1,1,x2 6 ,求 x214 .已知集合 Aa, ab, a2b ,B a, ac, ac ,若 A=B ,求 c 的值。15 .已知集合Ax| 1ax2 ,Bx 1x1,求满足a£b的实数a的取值范围。16 .设集

23、合 A2,8,a ,B 2, a2 3a 4,且 BA,求 a 的值。1 .下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若则A 其中正确的是（）A、0个B、1个C、2个D、3个2 .已知集合A1,2,3,4 ,且A中至少含有一个奇数，则这样的集合 A有（）D、10 个k一.x 一，k Z ,则()42A、13 个B、12 个C、11 个k3 .设集合 M x x ,k Z , N24A、M=NB、M £nC、M ND、nS M4.已知集合A3 x 2 Bx 2k 1 x 2k 1 ,且Bg A ,则实数k的取值范围是5 .已知集合 2x ax2xa 0,a

24、，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是(A、1B、C、0,D、1, 0, 16 .设 a,bR,集合1, ab, aA、B、C、2D、9.已知集合A 1,2 B ,2axb 0 ,若B 且B£ A,求实数a,b的值。7.已知 U 1,2,3,4 ,A 1,3，则 CuA 8.已知 U 1,3 ,A 1,3，则 CuA11.不等式组2x 13x 600的解集为A, UR，试求A及Cu A10.如果数集0,1,x 2中有3个元素，那么x不能取哪些值?图 1-3-1图 1-3-2图 1-3-312.已知集合 A x 2 x 5 B x m 1 x 2m 1(1)、若B A,求实数m的取值

25、范围。(2)、若x Z，求A的非空真子集的个数。1.3集合的基本运算1.3.1 并集：一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AUB,(读作 “A并 B”)即 A U B=x|x CA或xCB。如图 1-3-1 所示。 例如，设 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8, 求 A U B.解：A U B=4,5,6,8 U 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8再比如说，设集合 A= x|-1<x <2,集合B= x|1<x<3 ,求A U B.解：A U B= x|-1<x <2 U x|1<x<3

26、= x|-1<x<3 CuA1.3.2 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A n B,(读作 “A交 B”)即 A n B=x|x e A,且 xC B。如图 1-3-2 所示。例如，设 A=4,5,6,8, B=3,5,7,8, 求 A n B.解：A A B.=4,5,6,8 A 3,5,7,8=5 ,8再比如说，新华中学开运动会，设A=x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学B=x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学，求A n B.解:AAB=x|x是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学.1.3.4 补集：一

27、般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 对于一个集合 A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集.记作C彼幽1x3-X所U,。且x A例如，设 U=x|x 是小于 9 的正整数,A=1,2,3 , B=3,4,5,6,求 CuA,CuB 解:根据题意可知，U=1,2,3,4,5,6,7,8,所以 CuA=4,5,6,7,8 ; CuB=1,2,7,8.1.3.5 集合中，一些常用的运算性质:(1) A A A; (2) A(5) AB 则 A BA;(6) AA A; (7) A;(3) A

28、B B A; (4) A B A, AA; (8)A BB A; (9) A Cu (A) U ;B;(A B);B) (CuA ) CuBB. (3,4)C. (-2,1)D. (4, +oo )8.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+ Q = x|x= a+ b,aC P, bCQ,若 P= 0,1,2 , Q=-1,1,6,则P + Q中所有元素的和是8. 8C.27D.269.已知集合A= x|x= 2k+ 1kCN*, B = x|x= k+3, kC N,贝 UAP B 等于()B. AC. ND. R(10)( A B) C A (B C); (11) A (12 )Cu (

29、A B) (CuA ) CuB; (13)Cu (A 本节精讲二有关两个集合的并集、交集的问题1. 已知集合 M = 直线, N=圆,则MAN的元素个数为（）个.（）A. 0B. 1C. 2D.不确定2. (2010 江西理，2)若集合 A = x|x|w 1 , xC R , B=y|y=x2, xCR,则 AAB=()A . x|-1<x< 1 B, x|x > 0 C, x|0< x< 1D. ?3. (09 山东文)集合 A = 0,2 , a, B = 1, a2 .若 AU B= 0,1,2,4,16,则 a 的值为()A. 0B. 1C. 2D. 4

30、4. (2010 福建文，1)若集合 A = x|1<x< 3, B= x|x>2,则 APB 等于()A. x|2<x<3B, x|x>1 C, x|2< x<3D, x|x>25. 设集合 A = x|1Wxv2 , B = x|xva,若 AABw?,则 a 的取值范围是()A . a<2B . a>- 2C.a>-1 D . -1<a<26. (08山东文)满足 M? a，a2,a3,a4,且 M n a1，a2,a3=a1，a2的集合 M的个数是()A. 1B. 2C.3D. 47. (09 全国 n

31、 理)设集合 A=x|x>3 , B= x x-<0，则 AA B =()x 410 .当xC A时，若x- 1?A,且x+ 1?A,则称x为A的一个“孤立元素”，由 A的所有孤立元素组成 的集合称为A的“孤星集”，若集合 M = 0,1,3的孤星集为 M',集合N = 0,3,4的孤星集为N',则M ' U N'=()A. 0,1,3,4 B. 1,4C. 1,3D. 0,3二、填空题11 .若集合 A =2,4 , x, B=2, x2,且 AUB = 2,4, x,则 x=.12 .已知 A= x|x2+px+q = x, B=x|(x1)2+

32、p(x 1)+q = x+1,当人=2时，集合 B=.13 .(胶州三中 2009 2010 高一期末)设 A=x|x2px+15=0, B=x|x2+qx+r=0且 AUB=2,3,5, AH B=3, 则 p=; q=; r =.三、解答题14 .已知 A=x|a<x< a+3, B = x|xv1 或 x>5(1)若AAB=?,求a的取值范围.(2)若AU B=B, a的取值范围又如何？15 .设集合 M = 1,2, m2-3m-1, N = -1,3,若 MAN=3,求 m.16 .已知 A=1 , x, - 1 , B = - 1,1-x.(1)若 AA B=1

33、, 1,求 x.(2)若 AU B=1 , - 1, 1,求 AA B.(3)若 B? A,求 AU B.当 x=22W, AUB=1 , 1 - 1.17 .某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？18 .已知集合 A=x|3x- 7>0 , B=x|x 是不大于 8 的自然数, C = x|x< a, a 为常数, D = x|x>a, a为常数 .求An b；(2)若An CW?,求a的取值集合；(3)若An C=x|7<x&

34、lt; 3,求a的取值集合；3若An D= x|x> 2,求a的取值集合；(5)若BA C=?,求a的取值集合；(6)若Bn D中含有元素2,求a的取值集合.二.有关全集、补集、空集的问题例1判定以下关系是否正确aa ; (2)1 ,2, 3=3, 2, 1; (3) w0 ； (4)0 0例2列举集合1,2, 3的所有子集.例3已知a, b Awa, b, c, d,则满足条件集合 A的个数为.例4设U为全集，集合M、N w U,且N M ,则 A . CuMn&NB . McC-Nc. CvmlCunD. Mn&N例5 设集合 A = x|x =54a+a2, aC R , B= y|y = 4b2+4b+2, b R,则下列关系式中正确的是 A. A = BB. A BC. A w BD. A w B例6设全集叮田0)和集合M N. R且则m与p的关系是 A. M = CUP B. M = P C"PD.M/p例7下列命题中正确的是A. Cu(CuA) = AB.若AH B=B,则A BC.若人=1, 2,则2手AD