备战2020年中考数学二轮复习——几何压轴题特训(含详解解答)

1、备战2020年中考数学二轮复习一一几何压轴题特训1、(2019河南？中考 第22题？10分)在 ABC中，CA=CB, / ACB= 点P是平面内不与点 A, C重合的任意 一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP,连接AD, BD , CP.(1)观察猜想如图1,当60。时，且L的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是|CP (2)类比探究如图2,当a= 90。时，请写出且L的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由.CP(3 )解决问题当a= 90°时，若点E,F分别是CA,CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C,P,D在

2、同一直线上时胆的值.CP2、(2019陕西？中考 第22题？9分)在图1, 2, 3中，已知YABCDABC 120，点E为线段BC上的动点，连接AE,以AE为边向上作菱形 AEFG ,且 EAG 120 .(1)如图1,当点E与点B重合时，CEF(2)如图2,连接AF .填空：FAD EAB (填“”)；求证：点F在 ABC的平分线上；BC(3)如图3,连接EG , DG ,并延长DG交BA的延长线于点H ,当四边形AEGH是平行四边形时，求一的值.AB3、(2019上海？中考 第22题？10分)图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖 AD

3、E可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60时，箱盖ADE落在AD E的位置(如图2所示).已知AD 90厘米，DE 30厘米，EC 40厘米.(1)求点D到BC的距离；(2)求E、E两点的距离.S 1图24、(2019河南？中考 第17题？9分)如图，在4ABC中，BA= BC , ZABC=90° ,以AB为直径的半圆 。交AC于点D,点E是BD上不与点B, D重合的任意一点，连接 AE交BD于点F ,连接BE并延长交AC于点G.(1)求证： ADF BDG;(2)填空:若AB=4,且点E是BU的中点，则DF的长为取AE的中点H,当/ EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形.5、

4、(2019 河北？中考 第 23 题？9 分)如图，4ABC 和 ADE 中，AB = AD = 6, BC= DE , /B = / D = 30° 与边BC交于点P (不与点B, C重合)，点B, E在AD异侧，I为APC的内心.(1)求证：/ BAD = Z CAE;(2)设AP=x，请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值；(3)当ABLAC时，/ AIC的取值范围为 m° <Z AIC<n° ,分别直接写出 m, n的值.8、(2019北京？中考第20题？ 5分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E, F分别在AB , AD上，BE=

5、DF ,一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点 Q.(1)求证： PDEA QCE;(2)过点E作EF / BC交PB于点F,连结AF ,当PB= PQ时,求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由.7、(2019福建？中考 第21题？8分)在RtABC中，/ ABC =90 ° , / ACB=30° ,将 ABC绕点A顺时针旋转 一定的角度a得到 DEC,点A、B的对应点分别是 D、E.(1)当点E恰好在AC上时，如图1,求/ ADE的大小；(2)若a= 60°时，点F是边AC中点，如图2,求证：四边形 BED

6、F是平行四边形.图1郸连接EF.(1)求证：ACXEF;(2)延长EF交CD的延长线于点 G,连接BD交AC于点O.若BD = 4, tanG=J,求AO的长.210、(2019北京？中考 第27题？7分)已知/ AOB=30° , H为射线OA上一定点，OH =6 + 1 , P为射线OB上一 点，M为线段OH上一动点，连接PM,满足/ OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150° ,得 到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证：/ OMP =/ OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点 M总有ON =

7、 QP,并证明.11、(2019北京？中考 第28题？7分)在 ABC中，D, E分别是 ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在 ABC的内部或边上，则称 口月为ABC的中内弧.例如，图 1中DE是ABC的一条中内弧.(1)如图 2,在 RtABC 中，AB = AC=2泥,D, E分别是AB, AC的中点，画出 ABC的最长的中内弧DE ,并直接写出此时I的长;(2)在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2),B (0, 0), C (4t, 0) (t>0),在 ABC 中，D, E 分别是 AB ,AC的中点.1若t=,求 ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;若

8、在 ABC中存在一条中内弧DE,使得DE所在圆的圆心P在 ABC的内部或边上，直接写出 t的取值范围.12、(2019安徽？中考第20题？10分)如图，点 E在YABCD内部，AF /BE , DF/CE.(1)求证： BCE ADF ;(2)设YABCD的面积为S ,四边形AEDF的面积为T ,求§的值.T上的点F处，过点F作FG /CD13、如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将 BCE沿BE折叠，点C落在AD边 交BE于点G ,连接CG .(1)求证：四边形 CEFG是菱形；(2)若AB 6, AD 10,求四边形 CEFG的面积.3士，点D为BC边上的动点(点 4R A作A

9、F AD交射线DE于点14、(2019成都？中考 第27题？ 10分)如图1,在 ABC中，AB AC 20, tanBD不与点B , C重合).以D为顶点作 ADE B ,射线DE交AC边于点E ,以 F ,连接CF .(1)求证：ABDs DCE ；(2)当DE/AB时(如图2),求AE的长；求出此时 BD的长；若不存在,(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DF CF ?若存在,请说明理由.参考答案1、(2019河南？中考 第22题？10分)在 ABC中，CA=CB, / ACB= 点P是平面内不与点 A, C重合的任意 一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得

10、到线段DP,连接AD, BD , CP.(1)观察猜想如图1,当a= 60°时，且L的值是 1 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°.CP (2)类比探究如图2,当a= 90。时，请写出且L的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数， 并就图2的情形说明理由. CP(3 )解决问题当a= 90°时，若点E, F分别是CA, CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点 C, P, D在同一直线上时黑的值.CP【考点】相似形综合题.【分析】(1)如图1中，延长 CP交BD的延长线于 E,设AB交EC于点O.证明 CAPBAD (SAS),即可解决问题.

11、(2)如图2中，设BD交AC于点O, BD交PC于点E.证明 DABsfac,即可解决问题.(3)分两种情形：如图3- 1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于 H.证明AD=DC即可 解决问题.如图3- 2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA = DC解决问题.【解答】解：(1)如图1中，延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O. . / PAD = Z CAB = 60 ° , ./ CAP=Z BAD, . CA=BA, PA= DA,CAPA BAD (SAS), .PC=BD, /ACP = /ABD, . / AOC=Z BOE, ./ BEO=Z

12、CAO = 60 ° ,.迪=1 ,线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是PC故答案为1, 60° .(2)如图2中，设BD交AC于点O, BD交PC于点E . / PAD = Z CAB = 45 ./ PAC=Z DAB . DABA RAC, ./ RCA=Z DBA,BDABPC AC= V2,. / EOC=Z AOB, ./ CEO=Z OABB = 45直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45(3)如图3- 1中，当点D在线段PC上时，延长 AD交BC的延长线于 H.H . CE=EA, CF = FB,EF / AB, ./ EFC=/ ABC = 4

13、5° , / RAO=45° , ./ PAO=Z OFH , . / POA=Z FOH , ./ H = Z APO, . / APC=90° , EA=EC,PE= EA=ECEPA=Z EAP = / BAHH = Z BAH ,BH = BA, . / ADP=Z BDC = 45° , ./ ADB= 90° , BDXAH, ./ DBA=Z DBC=22.5° , . / ADB=Z ACB = 90° , .A, D, C, B四点共圆，/DAC=/ DBC = 22.5° , / DCA = /

14、ABD = 22.5 ./ DAC=Z DCA = 22.5° , .DA=DC,设 AD=a,则 DC = AD = a, PD = ?a,A3CPa-如图3- 2中，当点P在线段CD上时，同法可证： DA=DC,设AD = a,则CD=AD=a, PD=Y2a,PC = a -a2ADPCa.-W2、(2019陕西？中考 第22题？9分)在图1,2, 3中，已知YABCD , ABC 120，点E为线段BC上的动点，连接AE,以AE为边向上作菱形 AEFG ,且 EAG 120 .图1图2图3(1)如图1,当点E与点B重合时， CEF 60(2)如图2,连接AF .填空：FAD

15、EAB (填“ ”，"”)；求证：点F在 ABC的平分线上；(3)如图3,连接EG , DG ,并延长DG交BA的延长线于点H ,当四边形AEGH是平行四边形时，求-BC的值.AB【考点】相似形综合题【分析】(1)根据菱形的性质计算；(2)证明 DAB FAE 60 ,根据角的运算解答；作FM BC于M, FN BA交BA的延长线于N ,证明 AFN EFM，根据全等三角形的性质得到 FN FM , 根据角平分线的判定定理证明结论；(3)根据直角三角形的性质得到 GH 2AH ,证明四边形 ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案.【解答】解：(1) Q四边形AEFG是菱形，AE

16、F 180 EAG 60 ,CEF AEC AEF 60 ,故答案为：60 ;(2)Q四边形ABCD是平行四边形,DAB 180ABC 60Q 四边形 AEFG 是菱形， EAG 120 ，FAE 60 ，FAD EAB ，故答案为： ；作 FM BC 于 M ， FN BA 交 BA 的延长线于N ，则 FNB FMB 90 ，NFM 60 ，又 AFE 60 ，AFN EFM ，Q EF EA ， FAE 60 ，AEF 为等边三角形，FA FE ，在 AFN 和 EFM 中，AFN EFMFNA FME ，FA FEAFNEFM (AAS ) ，FN FM ，又 FM BC ， FN B

17、A ，点 F 在 ABC 的平分线上；(3) Q 四边形 AEFG 是菱形， EAG 120 ，AGF 60 ，FGE AGE 30 ，Q 四边形 AEGH 为平行四边形，GE / /AHGAH AGE 30 , H FGE 30 ,GAH 90 ,又 AGE 30 ,GH 2AH ,Q DAB 60 , H 30 ,ADH 30 ,AD AH GE ,Q四边形ABEH为平行四边形，BC AD ,BC GE ,Q四边形ABEH为平行四边形，HAE EAB 30 ,平行四边形ABEH为菱形，AB AH HE ,GE 3AB ,BC 3.ABABCD表示该车的后备箱，在打箱盖ADE落在AD E的位

18、置(如3、(2019上海？中考 第22题？10分)图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形开后备箱的过程中，箱盖 ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为 60时图2所示).已知AD 90厘米，DE 30厘米，EC 40厘米.(1)求点D到BC的距离；(2)求E、E两点的距离.【分析】(1)过点D作D H BC ,垂足为点H ,交AD于点F ,利用旋转的性质可得出AD AD 90厘米，DAD 60 ,利用矩形的性质可得出AFD BHD 90，在Rt AD F中，通过解直角三角形可求出D F的长，2合FH DC DE CE及DH D F FH可求出点 D到BC的距离；(2)连接AE, AE ,

19、EE ,利用旋转的性质可得出 AE AE , EAE 60 ,进而可得出 AEE是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE AE,在Rt ADE中，利用勾股定理可求出 AE的长度，结合EE AE可得出E、E两点的距离.【解答】解：(1)过点D作D H BC ,垂足为点H ,交AD于点F ,如图3所示.由题意，得： AD AD 90厘米， DAD 60 .Q四边形ABCD是矩形，AD / /BC ,AFD BHD 90 .在 RtADF 中，DF AD gsin DAD 90 sin 6045百厘米.又QCE 40厘米，DE 30厘米，FH DC DE CE 70 厘米，D H D F FH

20、(45a/3 70)厘米.答：点D到BC的距离为(45右 70)厘米.(2)连接AE, AE , EE ,如图4所示.由题意，得：AE AEEAE 60AEE是等边三角形,EE AE .Q四边形ABCD是矩形，ADE 90 .在Rt ADE中，AD 90厘米，DE 30厘米,AE TAdD1T 30 “10 厘米,EE 30/0 厘米.答：E、E两点的距离是3040厘米.4、(2019河南？中考 第17题？9分)如图，在4ABC中，BA= BC , ZABC=90° ,以AB为直径的半圆 。交AC于 点D,点E是,而上不与点B, D重合的任意一点，连接 AE交BD于点F ,连接BE并

21、延长交AC于点G.(1)求证： ADF BDG;(2)填空:若AB=4,且点E是丽的中点，则DF的长为 4 2n ;取标的中点H,当/ EAB的度数为 30° 时,四边形OBEH为菱形.【考点】圆的综合题.【分析】(1)利用直径所对的圆周角是直角，可得/ ADB = / AEB=90° ,再应用同角的余角相等可得/DAF =/DBG,易得 AD = BD, ADFA BDG 得证；(2)作FH ±AB,应用等弧所对的圆周角相等得/BAE=/DAE,再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得BE = OB,结合三角函数特殊值可得/EAB=30° .【解答

22、】解：(1)证明：如图1, BA=BC, /ABC=90° , ./ BAC=45°AB是。O的直径， ./ ADB=Z AEB = 90° , ./ DAF+Z BGD = Z DBG+Z BGD= 90° ./ DAF = Z DBG . / ABD+Z BAC= 90° ./ ABD=Z BAC = 45 °AD = BDADFA BDG (ASA);(2)如图2,过F作FHAB于H,二点E是BD的中点，FD ±AD, FH ±ABFH = FDsinZ ABD = sin45° =,BF2FD =

23、V2,即 BF=&FD AB= 4, . BD = 4cos45° = 2>/2，即 BF+FD=2, (&+1 ) FD = 2匹FD= 3'= 4- 2/21+1故答案为连接OE, EH,二点H是|AE的中点,OH ±AE,. / AEB = 90° BEX AEBE/ OH四边形OBEH为菱形,BE= OH = OB = AB2 .sin/ EABBEAB ./ EAB = 30故答案为：30°5、(2019 河北？中考 第 23 题？9 分)如图，4ABC 和 ADE 中，AB = AD = 6, BC= DE ,

24、/B = / D = 30° ,边 AD 与边BC交于点P (不与点B, C重合)，点B, E在AD异侧，I为APC的内心.(1)求证：/ BAD = Z CAE;(2)设AP=x，请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值；(3 )当AB，AC时，/ AIC的取值范围为m ° < Z AIC < n ° ,分别直接写出m , n的备用图【考点】圆的综合题.【分析】(1)由条件易证 ABCAADE,得/ BAC=/DAE,/ BAD = Z CAE .(2) PD=AD-AP=6-x,二点P在线段BC上且不与 B、C重合，二 AP的最小值即 APBC时A

25、P的长度, 此时PD可得最大值.(3) I为4APC的内心，即I为4APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180。“及角平分线定义即可表示出/ AIC,从而得到 m, n的值.【解答】解：(1)在 ABC和 ADE中，(如图1), ZB=ZDtaBC=DEABCA ADE (SAS) ./ BAC=Z DAE即 / BAD+ / DAC = / DAC+ / CAEBAD=Z CAE.(2) AD= 6, AP = x,PD = 6 - x当ADBC时，AP=LaB=3最小，即 PD=63=3为PD的最大值. 2(3)如图 2,设/ BAP= % 则/ APC= a+30° ,

26、AB± AC ./ BAC=90° , / PCA = 60° , / PAC=90° - a, I为 APC的内心 .AI、CI 分别平分/ PAC, / PCA,|AC = Z PAC, /ICA=PCA，/AIC=180° (/ IAC+/ICA)= 180° (/PAC+/PCA)2=180° - (90° -什60° )2=a+10520 V a< 90105a+105° V 150° ,即 105<Z AIC v 150m= 105, n= 150.6、（201

27、9海南？中考 第21题？13分）如图，在边长为 1的正方形 ABCD中，E是边CD的中点，点 P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点 Q.（1）求证： PDEA QCE;（2）过点E作EF / BC交PB于点F,连结AF ,当PB= PQ时,求证：四边形AFEP是平行四边形；请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由.【考点】四边形综合题.【分析】（1）由四边形 ABCD是正方形知/ D = /ECQ = 90° ,由E是CD的中点知DE = CE,结合/ DEP=/ CEQ即可得证；（2）由 PB= PQ 知/ PBQ = / Q,结合 AD / BC

28、得/ APB=/ PBQ = / Q=Z EPD ,由 PDEAQCE 知 PE = QE,再由 EF / BQ 知 PF =BF,根据 RtAPAB 中 AF= PF = BF 知/ APF = / PAF ,从而得/ PAF = / EPD,据 此即可证得PE/AF,从而得证；设AP=x,则PD = 1 - x,若四边形 AFEP是菱形，则 PE=PA=x,由PD2+DE2= PE2得关于x的方程，解之 求得x的值，从而得出四边形 AFEP为菱形的情况.【解答】解：（1）二.四边形ABCD是正方形， ./ D = Z ECQ = 90° , .E是CD的中点，DE = CE,又.

29、 / DEP = / CEQ, . PDEA QCE (ASA);（2）. PB=PQ,PBQ=Z Q,. AD / BC, ./ APB = Z PBQ = Z Q=Z EPD, PDEA QCE,PE= QE, EF / BQ,PF= BF, 在 RtPAB 中，AF=PF = BF, ./ APF = / PAF, ./ PAF = Z EPD ,PE/ AF, EF / BQ / AD, 四边形AFEP是平行四边形；弓当AP=时，四边形 AFEP是菱形. b设 AP = x,贝U PD= 1-x,若四边形 AFEP是菱形，则 PE = PA = x,E是CD中点,在 RtAPDE 中，

30、解得x=4，8即当AP = ?时，8由 PD2+DE2=PE2得（1x） 2+ （方）2=x2,四边形AFEP是菱形.7、(2019福建？中考 第21题？8分)在RtABC中，/ ABC =90 ° , / ACB=30° ,将 ABC绕点A顺时针旋转定的角度“得到 DEC,点A、B的对应点分别是 D、E.(1)当点E恰好在AC上时，如图1,求/ ADE的大小;(2)若a= 60°时，点F是边AC中点，如图2,求证：四边形 BEDF是平行四边形.【考点】平行四边形的判定；旋转的性质.【分析】(1)如图1,利用旋转的性质得 CA=CD, Z ECD = Z BCA=

31、30° , / DEC = ZABC=90° ,再根据等 腰三角形的性质和三角形内角和计算出/CAD,从而利用互余和计算出/ ADE的度数；(2)如图2,利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF=-i-AC,利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB= AC,贝U BF = AB,再根据旋转的性质得到/ BCE=/ACD = 60° , CB=CE, DE = AB,从而得到 DE = BF, ACD和4BCE为等边三角形，接着证明 CFDABC得到DF=BC,然后根据平行四边形的判定方法得到 结论.【解答】(1)解：如图1, , ABC绕点A顺时针旋转a得到 DE

32、C,点E恰好在AC上,CA=CD, Z ECD = Z BCA=30° , / DEC = /ABC=90° , CA=CD, ./ CAD=Z CDA = (180° - 30° ) =75° , ./ ADE= 90° 75° = 15° ;(2)证明：如图2,点F是边AC中点,BF = . / ACB=30° ,ab=1ac,2BF= AB, ABC绕点A顺时针旋转 60得到 DEC , ./ BCE=/ ACD=60° , CB = CE, DE = AB,DE = BF, AACD和

33、BCE为等边三角形，BE= CB, 点F为 ACD的边AC的中点，DF ±AC,易证得 CFDAABC,DF = BC,DF = BE,而 BF = DE, 四边形BEDF是平行四边形.8、(2019北京？中考第20题？ 5分)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E, F分别在AB , AD上，BE= DF ,连接EF.(1)求证：ACXEF;(2)延长EF交CD的延长线于点 G,连接BD交AC于点O.若BD = 4, tanG-,求AO的长.【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形.【分析】(1)由菱形的性质得出 AB=AD, ACXBD, OB=OD,得出AB

34、: BE = AD: DF ,证出EF/ BD即可得出结论；(2)由平行线的性质得出/ G = Z ADO,由三角函数得出tanG = tan Z ADO =,得出OA=LoD,由BDOD 22=4,得出 OD=2,得出 OA = 1 .【解答】(1)证明：连接BD,如图1所示: 四边形ABCD是菱形,AB= AD, ACXBD, OB=OD,BE= DF,AB: BE=AD: DF, EF II BD, ACXEF;(2)解：如图2所示：由(1)得：EF / BD,.Z G=Z ADO,PA 1tanG = tan Z ADO =OD 2BD = 4,.OD = 2, .OA=1.10、(2

35、019北京？中考 第27题？7分)已知/ AOB=30° , H为射线 OA上一定点，OH =J3 + 1，P为射线OB上一 点，M为线段OH上一动点，连接PM,满足/ OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150° ,得 到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证：/ OMP =/ OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点 M总有ON = QP,并证明.BB【考点】三角形综合题.【分析】(1)根据题意画出图形.(2)由旋转可得/ MPN =150° ,故/ OPN= 150° - / O

36、PM ;由/ AOB = 30°和三角形内角和 180°可得/ OMP = 180° 30° /OPM = 150° /OPM,得证.(3)根据题意画出图形，以 ON=QP为已知条件反推 OP的长度.由(2)的结论/ OMP = /OPN联想到其补 角相等，又因为旋转有 PM = PN,已具备一边一角相等，过点 N作NCLOB于点C,过点P作PDLOA于点D, 即可构造出 PDMA NCP,进而得PD=NC, DM = CP.此时加上 ON = QP,则易证得 OCNQDP,所以 OC=QD.利用/ AOB=30° ,设 PD = N

37、C=a,贝 U OP= 2a, OD=/ja.再设 DM = CP=x,所以 QD=OC=OP+PC = 2a+x, MQ = DM+QD=2a+2x.由于点 M、Q 关于点 H 对称，即点 H 为 MQ 中点，故 MH=MQ = a+x, DH2=MH - DM =a,所以OH = OD+DH =-/5a+a = JM+1 ,求得a=1,故OP = 2.证明过程则把推理过程反过来，以OP = 2为条件，利用构造全等证得 ON= QP.【解答】解：(1)如图1所示为所求.(2)设/ OPM = a, 线段PM绕点P顺时针旋转150。得到线段PN ./ MPN = 150° , PM=

38、 PNZ OPN=Z MPN - Z OPM = 150° - a . / AOB= 30°，/OMP = 180° - Z AOB - Z OPM = 180° 30° a= 150° a ./ OMP = Z OPN(3) OP = 2时，总有 ON = QP,证明如下：过点N作NCOB于点C,过点P作PDOA于点D,如图2 ./ NCP=Z PDM = Z PDQ =90° . / AOB= 30° , OP = 2PD = -OP= 1 OD ； OH = ：+1DH =OH - OD = 1 . / OM

39、P = Z OPN.180° -Z OMP = 180° - Z OPN即/ PMD =/ NPC在 PDM 与 NCP中rZ?DM=ZNCP, ZPMD=ZNPCM=NPPDM NCP (AAS)，PD = NC, DM =CP设 DM = CP = x,贝U OC = OP+PC= 2+x, MH=MD + DH = x+1 点M关于点H的对称点为QHQ = MH =x+1DQ = DH + HQ = 1+x+1 =2+x.OC =DQ在 OCN与4QDP中foc=qd, ZOCN=ZQDP=0QbNC=PDOCNAQDP (SAS).ON = QP11、（2019北京

40、？中考 第28题？7分）在 ABC中，D, E分别是 ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在 ABC的内部或边上，则称 DE为4ABC的中内弧.例如，图 1中DE是4ABC的一条中内弧.却图2(1)如图2,在RtABC中，AB = AC= 272, D, E分别是AB, AC的中点，画出 ABC的最长的中内弧 亚,并直接写出此时I的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B(0, 0), C (4t, 0) (t>0),在 ABC中，D, E分别是AB,AC的中点.若t=L,求 ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；2若在 ABC中存在一条中内弧 而，使

41、得而所在圆的圆心P在 ABC的内部或边上，直接写出 t的取值范围.【考点】圆的综合题.【分析】(1)由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE = 2,最长中内弧即以 DE为直径的半圆，血的长即以DE为直径的圆周长的一半；(2)根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，当t=一时，要注意圆心 P在DE上方的中垂线上均符合要求，在 DE下方时必须AC与半径PE的夹角/ AEP满足90° w/ AEPv 135° ;根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值.【解答】解：(1)如图2,以DE为直径的半圆弧 而，就是 ABC的最长的中内弧DE,连接 DE, /A=

42、90° , AB = AC =272, D, E 分别是 AB, AC 的中点，BC= AC =_22 =4, DE=BC=X4=2,sinB sin4522Lj 1弧 DE= 2 2 兀=兀；(2)如图3,由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接 DE,作DE垂直平分线FP,作EG±AC 交 FP 于 G,当 t=上时，C (2, 0),D (0, 1), E (1, 1), F(7；, 1),设P (X, m)由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，m>1,21. OA=OC, /AOC = 90°ACO =45°

43、 , DE / OC ./ AED=Z ACO =45作 EG,AC 交直线 FP 于 G, FG=EF=上根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方(含点 G)直线FP上时也符合要求;mW综上所述,如图4,设圆心P在AC上, P 在 DE中垂线上,.P为AE中点，作PM，OC于M,则PM =3_2 P (t, DE / BC ./ ADE=Z AOB=90° 1ae=vu而许 vp PD = PE, ./ AED=Z PDE . Z AED+Z DAE = Z PDE+ZADP = 90° , ./ DAE=Z ADPAP= PD= PE = AE2由三角形中内弧定义知

44、，PDW PMAEW卷，AEW3,即打百T"解得：tv仓,t>00<t<V2.12、（2019安徽？中考第20题？10分）如图，点 E在YABCD内部，AF /BE , DF/CE.(1)求证： BCE ADF ;（2）设YABCD的面积为S ,四边形AEDF的面积为T ,求号的值.T【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质【分析】（1）根据ASA证明：BCE ADF ; 1（2）根据点E在YABCD内部，可知：SBEC S AED - SYABCD ,可得结论. BEC AEDY ABCD2【解答】解：（1） Q四边形ABCD是平行四边形，AD BC ,

45、AD/BC,ABC BAD 180 ,Q AF / /BEEABBAF 180CBEDAF同理得 BCE ADF ,在BCE和 ADF中，CBE DAF Q BC AD , BCE ADFBCE ADF (ASA);(2) Q点E在YABCD内部,1S BEC S AED SY ABCD，2由（1）知： BCES BCE S ADF ,&9边形 AEDFS ADF1S AED S BEC S AED万 SY ABCD，QY ABCD的面积为S ,四边形AEDF的面积为T ,S旦2T -S213、如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作

46、FG/CD交BE于点G ,连接CG .（1）求证：四边形 CEFG是菱形；（2）若AB 6, AD 10,求四边形 CEFG的面积.LB :矩形的性质【考点】LA：菱形的判定与性质；PB：翻折变换（折叠问题）；【分析】（1）根据题意和翻着的性质，可以得到BCE BFE ,再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立;(2)根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得 EF和DF的值，从而可以得到四边形 CEFG的面积.【解答】(1)证明：由题意可得，BCE BFE ,BEC BEF , FE CE ,Q FG / /CE ,FGECEB ,FGEFEG ,FG FE ,FG EC ,四边形