2020年全国卷Ⅱ理数高考试题(含答案)

1、高考真题绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷满分150分。2 .作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1 .已知集合 U=-2 , -1 , 0, 1, 2, 3, A=-1 , 0, 1, B=1 , 2,则（a|Jb）A. -2 , 3B. -2 , 2,3 C. -2 ,-1,0, 3 D. -2 ,-1,0,2, 32 .若a为第

2、四象限角，则A . cos2 o>0B. cos2 a<0C. sin2 o>0D. sin2 K03 .在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者A. 10 名B. 18 名C. 24 名D. 32 名4 .北京天坛的 圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层

3、，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加 9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A. 3699 块B. 3474 块C, 3402 块D, 3339 块5 .若过点(2, 1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x y 3 0的距离为A.三B.壁C士D. 41155556 .数列an中，ai2,amnaman.若 akiak2 ak1021525,则 kM ,在俯视图中对A. 2B. 3C. 4D. 57 .下图是一个多面体的三视图，

4、这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为应的点为N ,则该端点在侧视图中对应的点为.7E F6 HA. EB. FC. GD. H22x y8 .设O为坐标原点，直线 x a与双曲线C : -y 看 1(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于 D ,E两点, a b若AODE的面积为8,则C的焦距的最小值为A. 4B. 8C. 16D. 329 .设函数 f(x) ln|2x 1| ln|2x 1| ,则 f(x) 1 ，一，一， 一， 11 ,A.是偶函数，且在(1,)单调递增B.是奇函数，且在()单调递减22 2C.是偶函数，且在(,1)单调递增D.是奇函数，且在(,二)单调递减221

5、0,已知 ABC是面积为 唾 的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球 。的表面积为16几，则O4到平面ABC的距离为A.点B, 3C. 1D.2211 .若 2x-2y<3-x- 3-y,则A. ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0C. In I x-y I >0 D. In I x-y I <012.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列aa2MBiII满足a 0,1(i1,2,|),且存在正整数m,使得ai m a(i 1,2,川)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足a5ai(i1,2,山)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周

6、期为m的0-1序列a1a2 M| an |叫C(k)1 maiai km i 1(k 1,2,|,m 1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C(k) 1(k 1 2 3 4)的序列是5a. ii0io|b. 11011Mlc. io00i|d. iio0i|、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。13 .已知单位向量a, b的夹角为45° , ka-b与a垂直，则k=.14 . 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排 1名同学，则不同的安排方法共有 种.15 .设复数Zi,Z2满足|乙|=忆2尸2,Ziz2吏i ,

7、则|4Z2|=.16 .设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.P4：若直线l 平面%直线m，平面 %则m,l.则下述命题中所有真命题的序号是 . P1P4PlP2P2P3 P3P4三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答 。(一)必考题：共 60分。17. (12 分) ABC 中，sin2A sin2B sin2C= sinBsinC.(1)求 A；(2)若BC=

8、3,求ABC周长的最大值.18. (12 分)某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(Xi, yi)(i=1, 2,，20),其中Xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公20顷)和这种野生动物的数量，并计算得Xi 60 ,i 120yi i 11200 ,20(Xi X)280 ，梦想不会辜负每一个努力的人1220(yii 1202y) 9000, (Xi X)(yi y) 800 . i 1(1)求该地区这种野生动物数量的估

9、计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的 平均数乘以地块数)； 求样本(Xi, yi) (i= 1 , 2,，20)的相关系数(精确到 0.01);(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野 生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.n(x X)(y y)附：相关系数r -=2J姓 1.414.nn( (X X)2(yi y)2.i 1i 119. (12 分)x2 y2 .、.一. .一 ,一.已知椭圆Ci：=与 1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合

10、.过 a b 一 一，、 一 一，一一 4F且与x轴垂直的直线交 Ci于A, B两点，交 C2于C, D两点，且 CD - AB .3(1)求Ci的离心率；(2)设M是Ci与C2的公共点，若|MF |=5,求Ci与C2的标准方程.20. (12 分)如图，已知三棱柱 ABC-AiBiCi的底面是正三角形，侧面 BB1C1C是矩形，M, N分别为BC, BiCi的中点，P为AM上一点，过BiCi和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)证明：AAi/MN,且平面 AiAMN，平面 EBiCiF;(2)设。为 AiBiCi的中心，若 AO/平面EBiCiF,且AO=AB ,求直线BiE与平面AiAM

11、N所成角的正弦值.21. （i2 分）已知函数 f（x） sin2xsin2x.(i)讨论f(x)在区间(0, nt的单调性；(2)证明：1 f(x)孽；(3)设 n N ,证明：sin2xsin22xsin24x(二)选考题：共i0分.请考生在第22、23题中任选一题彳答。并用 2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选彳4-4:坐标系与参数方程(i0分)i t i t(t为参数).已知曲线Ci, C2的参数方程分别为x 4COS2 ,八4cCi ：2（。为参数），C2 :y 4sin(i)将Ci, C2的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原

12、点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设Ci, C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和 P的圆的极坐标方程.23. 选彳4-5:不等式选讲(i0分)已知函数 f(x)= |x-a2|+|x-2a+i|.(i)当a=2时，求不等式f(x)>4的解集;若f(x)>4,求a的取值范围.参考答案1 . A 2. D 3. B 4. C5. B 6. C7. A 8. B 9. D 10. C 11. A 12. C13.14. 3615. 2V316.17.解：（1）由正弦定理和已知条件得BC2 AC2 AB2 AC AB ,由余弦定理得BC2 AC2 AB22AC AB cosA

13、 ,1由，得cos A.2-A-2 冗因为0 A 冗，所以A . 3(2)由正弦定理及(1)得JAC- 四_ -BC- 2，3,sin B sin C sin A从而 AC 273sinB, AB 2万sin(/ A B) 3cos B #sinB.故 BC AC AB 3. 3 sin B一冗冗又0 B 一,所以当B 时，363cos B 3 2.3sin(B -). 3ABC周长取得最大值3 2省.2018.解：（1）由已知得样本平均数 y Vi 60 ,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60X 200=12000.20 i 1（2）样本（为小）（i 1,2,|,20）的相关系数2080

14、080 9000(x x)(yi y)i 12020(x x)2(Vi y)2i 1i 1（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.19.解：（1）由已知可设C2的方程为y2 4cx ,其中c 7a2b2 .2. 2不妨设A,C在第一象限，由题设得A,B的纵坐标分别为b-, b_ ； c

15、,D的纵坐标分别为2c, 2c, a a故 | AB|至，|CD| a4c由 |CD |4| AB| 得 4c 38b，即 33a_ c 2. c 一 八.2 2(-)2,解得一2 (舍去)所以Ci的离心率为20.(2)由(1)知 a设 M (xo, yo),则2c2xo4c2由于C2的准线为x，一 、2 ，一 、(5 c)4(5 c)4c23c所以Ci的标准方程为显,故C1 :2x4c22 y 3c22 y。 3c2c,所以|MF |2c 3362y27解：(i)因为M, N分别为BC,因为 AiBiCi是正三角形,所以4cx0,故2xo4c2xoc ,而 | MF |1 , C2的标准方程

16、为BiCi的中点，所以MN代入得(舍去)，c12x .3./ CCi ,又由已知得 AAi / CCi,故 AAi / MN .BiCiXAiN,又 BiCiMN,故 BiCi，平面 AiAMN .所以平面AiAMN,平面EBiCiF .(2)由已知得AMXBC.以M为坐标原点,mA的方向为x轴正方向，iMB'为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 M-xyz,则AB=2, AM=石.连接NP,则四边形AONP为平行四边形，故pm 型!,e(03,1,0).由(i)知平面AiAMN，平面ABC,333作NQXAM,垂足为Q,则NQ,平面ABC.设 Q(a,o,o),则 NQ j4 (竽

17、 a)2 ,Bi(a,1,4 (竽 a)2),士6-2.32-12.32 12 io故 BE( a, -, -4 ( a)2),|BE| 33133一 一一.，兀/又n (0, i,0)是平面 AiAMN的法向量，故 sin(2 (n,cos. n,n|n|BiE|i0所以直线BiE与平面AiAMN所成角的正弦值为 叵.1021.解：(1) f (x) cosx(sin xsin2x) sin x(sin xsin2x)22sin xcosxsin 2x 2sin xcos2x2sin xsin3x .当 x (0,-) ( 3 " 3，)时，f (x) 0Jx 1刁时，f(x) 0

18、.所以f(x)在区间(0,-),( ,)单调递增，在区间(，一)单调递减.333 3(2)因为 f (0)f( ) 0,由(1)知，f (x)在区间0,的最大值为f1) 平，最小值为f (一) 3述,而f(x)是周期为 的周期函数，故.83(3)由于(sin2 xsin22x|“sin22nx)2| sin3 xsin3 2x|sin3 2nx |233 n 1n2 n|sinx|sin xsin 2x sin 2 xsin 2 x|sin 2 x|n 12 n|sinx| f(x)f(2x)f(2 x)|sin 2 x| f(x)f (2x)|f(2n 1x)| ,一 一 一Q Q 2nQn所以 sin xsin 2x sin 2nx ()3.8422 .解：(1) C1的普通方程为x y 4(0 x 4). _22122122由C2的参数方程得x t y2,y t 02,所以x y 4 .故C2的普通方程为x2 y2 4.(2)由x y 4,2.5 29(x0,0),由题意得 X2 (Xo 2)217cos 5(2)因为 f (x) |x222.2a |