概率复习测试题(含答案)

1、 概率论与数理统计及其应用习题解答1. 计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件。则根据全概率公式有，根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为，。2. 用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9

2、，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6。今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）解：设“一产品真含有杂质”记为事件，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件。则要求的概率为，根据Bayes公式可得又设“产品被检出含有杂质”记为事件，根据题意有，而且，所以；故，3，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间。设X的概率密度为， （1）

3、确定；（2）求；（3）求；（4）求。解：（1）根据，得到；（2）；（3）；（4）。4. 设产品的寿命X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为（1） 求寿命不到一周的概率；（2） 求寿命超过一年的概率；（3） 已知它的寿命超过20周，求寿命超过26周的条件概率。解：（1）；（2）；（3）。5. 设随机变量X的概率密度为求分布函数，并求，。解：（1）；。6, 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为试确定常数，并求，。解：根据，可得，所以。；。7， 设是两个随机变量，它们的联合概率密度为，（1） 求关于的边缘概率密度；（2） 求条件概率密度，写出当时的条件概率密度；（3） 求条件概率。解：（1）。（2）

4、当时，。特别地，当时。（3）。8，设是二维随机变量，的概率密度为且当时的条件概率密度为，（1） 求联合概率密度；（2） 求关于的边缘概率密度；（3） 求在的条件下的条件概率密度。解：（1）；（2）；（3）当时，。9设随机变量具有分布律-2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求的分布律,并求DY与DX。解：根据定义立刻得到分布律为1 2 5 10 1/5 7/30 1/5 11/30 10（1）设随机变量的概率密度为求的概率密度。（2）设随机变量，求的概率密度。（3）设随机变量，求的概率密度。解：设的概率密度分别为，分布函数分别为。则（1）当时，；当时， 。所以，。

5、（2）此时。因为， 故， ，所以，。（3）当时，故， 。所以，。11.设随机变量，随机变量Y具有概率密度，设X,Y相互独立，求的概率密度。解：因为，所以的概率密度为。12.随机变量X和Y的概率密度分别为，X,Y相互独立。求的概率密度。解： 根据卷积公式，得，。所以的概率密度为。13，设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求的概率密度。解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以，根据卷积公式，得 。14，设随机变量X和Y的联合分布律为（1） 求的分布律。（2） 求的分布律。（3） 求的分布律。YX01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20

6、031/12000解：（1）的分布律为如，其余类似。结果写成表格形式为0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）的分布律为如，其余类似。结果写成表格形式为0 1 27/40 13/40 （3）的分布律为如，其余类似。结果写成表格形式为0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 15，设，求，；解： ，17，设，求，。解：因为，所以。16，设随机变量，已知，求和；解：（1）由，得到；，得到；联立和，计算得到。17.据调查某一地区的居民有20%喜欢白颜色的电话机，（1）若在该地区安装1000部电话机，记需要安装白色电话机的部数为，求，；（2）问至少需要安装多少部

7、电话，才能使其中含有白色电话机的部数不少于50部的概率大于0.95。解：（1）根据题意，且。由De Moivre-Laplace定理，计算得 ；。（2）设要安装部电话。则要使得就要求，即，从而，解出或者（舍去）。所以最少要安装305部电话。18，一射手射击一次的得分是一个随机变量，具有分布律8 9 10 0.01 0.29 0.70（1） 求独立射击10次总得分小于等于96的概率。（2） 求在900次射击中得分为8分的射击次数大于等于6的概率。解：根据题意，。（1）以分别记10次射击的得分，则（2）设在900次射击中得分为8分的射击次数为随机变量，则。由De Moivre-Laplace定理，

8、计算得19. 设随机变量（X，Y）的概率密度为（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y)解：（1） （2） 20. 设随机变量X的概率密度为求（1）Y=2X（2）Y=e2x的数学期望。解：（1） （2） XY1231010.20.10.10.100.100.30.1 21. 设（X，Y）的分布律为(1) 求E (X)，E (Y )。(2) 设Z=Y/X，求E (Z )。(3) 设Z= (XY )2，求E (Z)。解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为XY12310.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E(X)=1

9、5;0.4+2×0.2+3×0.4=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)= (1)×0.3+0×0.4 +1×0.3=0.Z=Y/X11/21/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1（2）E (Z )= (1)×0.2+(0.5)×0.1+(1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (1/4)+1/30+1/20+1/10=(15/60)+11/60=1/15.Z (XY)20(1-1)21(1- 0)2或(2-1)24(

10、2- 0)2或(1- (-1)2或(3-1)29(3- 0)2或(2-(-1)216(3-(-1)2pk0.10.20.30.40（3）E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=522. 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为求E (X)解： 23. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。解: l=y=x2x24. 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，联合分布律为P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =025. 设随机变量（X，Y）概率密度为（1）确定常数k。（2）求P X<1, Y<3（3）求P (X<1.5（4）