函数恒成立、能成立问题及课后练习(含问题详解)

1、实用文档恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾1、恒成立问题的转化：af(x )恒成立naf(x"ax; a < f (x )恒成立=aWf(x焉2、能成立问题的转化：af(x )能成立二af(xKn； aEf(x陛成立=2£“*濡3、恰成立问题的转化：a > f X在 M 上恰成立u a a f )x的解集为fa > f (x在 M上恒成立M ：二一、a < f (x卢CRM上怛成立另一转化方法：若xw D, f(x)2A在D上恰成立，等价于f(x)在D上的最小值fmin (x) = A ,若x = D, f(x) <B在D上恰成立，则等价于

2、f(x)在D上的最大值fmax(x)=B.4、设函数f(x卜g(x ),对任意的xw a , b，存在x2 w b, d，使得f(x1心g(x2),则fminx - g m i n x5、设函数f(x)、g(x),对任意的毛乞,，存在x2wb,d，使得f (x1g(x2 ),则fmaxx -gmaxx6、设函数f (x)、g(x ),存在XiW a , b 】，存在x2W C , d ，使得f 仅1)之g(x2 ),则 fmx(x 户gmn(x)7、设函数f (x)、g(x ),存在XiW a , b ,存在X2W C , d ，使彳导f (Xi)<g(x2 ),则 fmn(x Agmx

3、(x)8、若不等式f (x»g(x )在区间D上包成立，等价于在区间D上函数y= f(x)和图象在函数y =g(x)图象上方；9、若不等式f (x)<g(x )在区间D上包成立，等价于在区间 D上函数y= f(x)和图象在函数y =g(x )图象下方；二、经典题型解析题型一、简单型 例 1、已知函数 f (x) = x2 2ax +1 , g(x) = a ,其中 a > 0 , x = 0 .x1)对任意x1,2,都有f (x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(构造新函数)2)对任意x1可1,2«2可2,4,都有f(x1)>g(x2)恒成立，

4、求实数a的取值范围;(转化)33简解：(1)由x2-2ax+1-a >0= a<成立，只需满足邛(x) =的最小值大于a即x2x2 12x2 142.32x x 1可.对火x)=T 求导，6(x)=22->0 ,故中(x)在xw 1,2是增函数，2x2 1(2x2 1)22 2中m i(nx)=9(1)=,所以a的取值范围是0 <a <一 .3 3a.一、1. .1例2、设函数h(x) = +x+b ,对任意a仆,2,都有h(x)410在x ,1恒成立，求实数b的 x24范围.分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例,实质 还是

5、通过函数求最值解决.方法 1 :化归最值，h(x) E10U hmax(x) <10 ；方法 2:变量分离，b M10_(a+x)或 a Mx2+(10b)x ； x11万法3:变更王兀(新函数)，5(a) = a+ x+b-10 E0 , a w ,2x2简解：方法1：对 a 求导，卜国=1-4=("'a)(x"a),(单调函数) h(x)二一x bx xx ,1_1 .由此可知,h(x)在4,1上的最大值为h(4)与h中的较大者.1139h(一)三104a b 三10b _ 4af(4) 10=4 b 10=f 4 4a,对于任意a¥,2,得b的

6、取值范围是h(1) <101a bM10b<9-a2x2e 1,2 使得例3、已知两函数f (x) =x2 , g(x) = 1- -m ,对任意x1三0,2，存在2f(x1)2g(x2 ),则实数m的取值范围为-1案：m -4题型二、更换主元和换元法例1、已知函数f (x) = ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)=?j(x)+sinx是区 问口,i上的减函数，(I)求a的值；(H)若g(x)wt2+儿t+1在xw -1,1上包成立，求t的取值范 围；(R )分析：在不等式中出现了两个字母：九及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一 个作为常数。显

7、然可将K视作自变量，则上述问题即可转化为在(血，-1】内关于人的一次函数大于等于0包成立的问题。(H)略解：由(I)知：f(x)=x,.g(x)=zx+sinx ,g(x)在口1,1 上单调递减，.g ( x)厘 +cox M 0九 M co x 在，1 上恒成立，九 < 1t b(x)l ax= g(- 1壮右 一 si,n1.只需 4-sin1t2+)t+1 ,(t +1)九五2 +sin1+1 0 (其中九E-1 )包成立，由上述结论：可令 f (九尸t.九十12H4,则_1+觉：1十1颉，二二I生°，而J+sin色0a成立， J.t <10例2、已知二次函数f (

8、x) =ax2 +x+1对x w b,2恒有f (x) >0,求a的取值范围。解：Xtxw 0,2恒有 f(x) A0 即 ax2 +x+1 >0变形为 ax2 >-(x+1)当x=0时对任意的a者B满足f(x)>0只须考虑x#0的情况a > 一(x：1)即a > -1 -4 要满足题意只要保证a比右边的最大值大就行。 xx x现求 _l_在xW(0,2 1上的最大值。令 t =1- t A1 g(t) =-t2 -t =-(t +-)2 +-(t >-)x xx 2242133g(t)max =9(二)=- 所以 a -2443又f (x) =ax2

9、 +x +1是二次函数二a 0 0所以a a -且a# 04例3、对于?f足0EaE4的所有实数a求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范围 答案： x<-1或x>3题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)此类问题可把要求的参变量分离出来， 单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于 是将问题转化成新函数的最值问题：若对于 x取值范围内的任一个数都有f (x)*g(a)包成立， 则g(a) « f (x)min ；若对于X取值范围内的任一个数都有f (x) «g(a)恒成立,则g(a)之f (x)max .例1、当xW

10、(1,2)时，不等式x2+mx + 4<0恒成立，则m的取值范围是 L解析：当 x (1,2)时，由 x2 +mx + 4 <0得 m < .二 m < -5 .x例2、已知函数f (x) =ln(ex+a) ( a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x) = ilx-cosx在 区间白胃上是减函数.(I )求a的值与人的范围；(H)若对(I )中的任意实数 人都有g(x)1在卜，2" 上包成立， 求实数t的取值范围.一3 3(田)若m>0,试讨论关于x的方程nx = x22ex + m的根的个数.f(x)解：(I )、(田)略(H )由题意知，函数g

11、(x) = M-cosx在区间 J,"上是减函数.,3 3g(x)max=g(R3X,g(x) “I在E2F恒成立£入i/T文案大全-1)二 i-(3 2'题型四、数形结合(包成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法) 例1、若对任意xw R,不等式|x|ax恒成立，则实数a的取值范围是 解析:对V x w R,不等式|x信ax包成立、则由一次函数性质及图像知 -IWaWl,即-iWaMl。例2、不等式axE%；x(4-x)在xw 0,3内恒成立,求实数a的取值范围。解：画出两个曲数y =ax和y = Sx(4x)在x。0,3上的图象如图知当x=3时y = J3 ,

12、3a =33x = 0,3时总有 ax < <x(4-x)所以 a < 3例4、已知函数y = f (x) = W3x 6,x-26 - 3x, x-2，若不等式f (x) 22x-m恒成立，则实数m的取值范围是.解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y=2x- m® y = f(x)的图象，由于不等式f(x)22x-m恒成立，所以函数y =2x-m的图象应总在函数y=f(x)的图象下 方，因此，当x = -2时，y=T-mW0,所以m之T,故m的取值范围是1-4,+ ).题型五、其它(最值)处理方法 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于

13、在区间D上f(x)maxA；若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在区间D上的f(xin<B.利用不等式性质1、存在实数x ,使得不等式|x+3 +|x-1 Ma23a有解，则实数a的取值范围为 。解：设 f (x )=x+3| 寸x，由 f 卜 Ha2 一3a 有解，=a24a*(xXn,又 x 叫 +x -1 >|(x3 Hx T b=4 ,a2 -3a 之4 ,解得 a 之4或a W102、若关于x的不等式x-2 + x+3之a恒成立，试求a的范围解：由题意知只须a比x-2 +1x+3的最小值相同或比其最小值小即可，得a %x-2 +x+3)min由

14、x2 + x+3 3x2(x+3) =5 所以 a 45利用分类讨论1、已知函数f (x) =x2 -2ax+4在区间-1 , 2上都不小于2,求a的值。解：由函数f(x) =x22ax+4的对称轴为x=a所以必须考察a与-1 , 2的大小，显然要进行三种分类讨论1) .当 a 之2 时 f(x)在-1 , 2上是减函数此时 f (x)min = f(2)=4-4a+4 < 2即a之3 结合a2,所以a之222) .当aT 时f(x)在-1 , 2上是增函数，此时f(-1)=1+2a+4工23f(x)min = f(-1)=1+2a+4 «2结合 a«1 IP a &

15、lt; -3) .当-1<a<2 时 f(x)min= f(a)= x2 -2a2 +4<2即a272或a W -72所以V2 < a < 2综上1, 2, 3满足条件的a的范围为：aw3或a>v122利用导数迂回处理11、已知 f (x) = lg(x+1) g(x) =lg(2x+t)右当 xW0,i时 f (x) «g(x)在0, 1恒成立,求头数 2t的取值范围解：f (x) Eg(x)在0 , 1上恒成立，即反于-2x-1 M0在0, 1上恒成立即A/x干-2x-1 E0在0, 1上的最大值小于或等于 0令 F(x) =v'7+1

16、 -2x -t 所以F'(x) = 1 2 = 1-4lx21 ,又 xW0,1所以 F'(x)<0 即 F(x)在0, 1上单调递减2、x 12 .x 1所以 F(x)max =F(。)，即 F(x) <F(0) =1 -t <0 得 t 之12、已知函数f (x)=lnx-；ax2 -2x(a*0)存在单调递减区间，求a的取值范围.2解：因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f'(x =1-ax-2 = -"ax2x-1 : 0xx,- 一 12八，、一12(0,)有解.即 a(x = <0,+°° )能成立,设

17、u(x)=7-.x2 xx2 x由 u(x) =4-2 =。-1 2 -1得，umin(x)=-1.于是，a A1,x2 x x由题设a# 0,所以a的取值范围是(-1,0P(0,)3、已知函数 f (x) =x(ln x + m), g(x) =a x3+x.3(I )当m = 2时，求f (x)的单调区间；3 .(H ) 6m=-时，不等式g(x) A f (x)包成立，求头数a的取值沱围.2,一、，3a 33(H ) 当 m =一时，不等式 g(x) 2 f (x)即一x +x 之 x(ln x+-)恒成乂.由于 x > 0 , 23211a 2 ,.3-x +1 之In x +

18、一，32a13(lx )3(lnx )亦即一 x2 之 In x + 一，所以 a 之2-2-.令 h(x) = 2-2-, 则32x2x2hx) = 6 3rx ,由 h<x) =0 得 x =1.且当 0 cx <1 时，h'(x) a0 ;当 x >1 时，h'(x) <0 ,即 h(x)在 x3(0,1)上单调递增，在(1,y)上单调递减，所以h(x)在x = 1处取得极大值h(1) = -,也就是函数213(ln x)3h(x)在定义域上的最大值.因此要使a 2包成立，需要a 2 3,所以a的取值范围为x223 二-2,注：包成立问题多与参数的

19、取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，往往与函数的单调性、极值、最值等有关。小结：包成立与有解的区别：不等式f(x)<M对xWl时恒成立二fmax(x)<M?, xWl。即f(x)的上界小于或等于M ；不等式f(x)<M对xWl时有解。fmin(x)<M?, xWl。或f(x)的下界小于或等于M ;不等式)川对*"时恒成立。fmin(x)M?, xl 0即f(x用勺下界大于或等于M ;不等式f(x)>M)xW|时有解U fmax(x)AM , xW| .。或f(x )的上界大于或等于M ；三、包成立、能成立问题专题练习23.21、已知两函数

20、 f(x)=7x _28x_c, g(x)=2x +4x -40x 0(1)对任意xWH3,都有f(xAg(x成立，求实数c的取值范围；(2)存在xwk,3,使f(x)Eg(x )成立，求实数c的取值范围；(3)对任意入2三口,3,都有f(x1 Ag(x2),求实数c的取值范围；(4)存在XW3 ,都有),求实数c的取值范围；2、设a>1,若对于任意的x勺a,2a,都有yWa,a2满足方程loga x + loga y = 3 ,这时a的取值集合为()(A) a|1 <a <2(B) a|a 之 2(C) a|2<a<3(D) 2,3x - y < 03、若

21、任意满足<x+y-5"的实数x,y ,不等式a(x QOO 6、设函数 f (x) = x3 +2ax2 3a2x+b (0<a<1,bWR). (I )求函数f (x柏勺单调区间和极值；(II)若对任意的xa+1,a+2,不等式f'(x)Ea成立，求a的取值范围+y2)M(x+y)2恒成立，则实数a的最大值 y -3 _0是.4、不等式sin2 x -4sin x +1 -a <0有解，贝U a的取值范围是 5、不等式ax-Jx(4-x)在xw b,3】内包成立，求实数a的取值范围。7、已知 A、B、C 是直线 I 上的三点，向量 OA,OB ,OC

22、 满足：OA ly+2f'(1)OB +ln(x+1 >OC=0.(1)求函数y = f(x)的表达式；2x(2)若 x>0,证明：f(x) > x + 2 ；(3)若不等式gx2 wf(x2 km2 _2bm _3时，x w Li ,1 及b w Li,i 都何成立，求实数 m的取值范围.8、设 f (x )=px -q -2lnx ,且 f(e)=qe-E -2 (e 为自然对数的底数) xe(I)求p与q的关系；(II)若f(x而其定义域内为单调函数，求 p的取值范围；(III)设g(xb生，若在1,e】上至少存在一点xo ,使得f(xo)>g(xo )成

23、立，求实数p的取值范围. x课后作业答案：1、解析：(1 )设 h(X)=g(x 尸。)=2x3 -3x2 -12x4c，问题转化为 XW_3,3时，h(x /0 恒成立,故 hmin(xA0 0 令h x )=6x2 -6X-12 =6(x +1 Jx-2尸0 ,得X =_1或2。由导数知识,可知h(x )在匕,单调递增,在口,2 单调递减，在12,3 单调递增，且h(4)=c_45, h(x%大值=h(1尸+7, h(x*小值=h(2)=c20, h(3)=c9, hmin (x 尸h(口 产 U5 ,由 c 口5 之0 ,得 c >45。(2)据题意：存在xwH25a -1y 3

24、3、答案：25。解析：由不等式a(x2+y2)W(x + y)2可得/十、，由线性规划可得1<- <- 0 13x 2，使f(x尸g(x)成立，即为：h(x户g(x)-f(x卢。在xwY3有解，故 hmax 0产,由(1 )知hmax 0尸c十7至0 ,于是得c >-7 0(3)它与(1)问虽然都是不等式包成立问题，但却有很大的区别，对任意 式亡匕3,都有 “为)山作)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x- x2的取值在 匕,31上具有任意性，要使不等式恒成立的充要条件是:fmax(x)_gmi(x?x- £3,3 = f x )=7 x 2 2 一 c28,

25、 x T . 3, 3 . f(x)ax =f(T)=147Y ,g,(x 产x 48xK0 =2(3x+10x2),. g ” )=。在区间 匕,3 上只有一个解 x =2 0 g(xmin =g© X8 ,147-c-8,即 c心95.(4 )存在x/Wb3,都有f(x1 )<g(xa ),等价于fm (x后g (m抠，由得 fmin 仅1 )=f (2)=-c-28, gmaxd )=g(-3) = 102, y-28M 102n c"130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考， 多加训练，准确使用其成立的充要条件。3

26、232、Bo解析：由方程 唠2*+唠2丫 = 3可得丫 =邑，对于任意的xWa,2a,可得里=2力2, x2 x2 a I a <： 依题意彳322 = a之2。a2 - a24、解：原不等式有解 =a >sin2 x _4sinx+1曾 sinx _ 句 _3 ( _1W sinx W 1 有解，而 x2j31in =-2 ,所以a >2。5、解：画出两个曲数y =ax和y=Jx(4-x)在xw0,3上的图象如图知当乂=3时丫=，3，a= 3当 aw«3, xw D3时总有 axwjx(4x )所以 aw，3 336、解：(I ) f '(x) = -x2

27、 +4ax -3a2(1 分)令令x) >0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a )令f'(x)<0,得f(x)的单调递减区间为(，a)和(3a, +刃(4分)3 3二当 x=a 时，f(x)极小值=a +b;4当x=3a时，f (x)极小值=b.(6分)(H)由 | f'(x)| <a,得一a0 x2+4ax 3a2 &a.(7 分)0<a<1 ,a+1>2a.f (x) =x2 +4ax3a2在a+1, a+2上是减函数.(9 分)f (x)max =f (a 1) =2a-1.f (x)min = f (a 2)=4a-4.

28、于是，对任意xWa+1,a+2,不等式包成立，等价于< a<1.- a 4a _4，在万/曰 4解得一a 之 2a1.54又0 <a <1,一 <a <1.57、解：(1) . OA y + 2f/(1)ObT +ln(x +1)OC =0, . OA = y + 2f/(1)OET ln(x+1)OC由于 A、B、C 三点共线 即y+2f/(1) + ln(x+1) = 1 2分. .y=f(x)=ln(x +1)+1 2f/(1)11f/(x) ;x77,得 f/(1) =2,故 f(x)=ln(x +1) 4分2x12(x+2) 2x x2(2)令 g

29、(x)=f(x)x+2，由 g/(x) =x + 1 (x + 2)2 =(x+ 1)(x + 2)2,. x>0, . . g/(x) >0, ；g(x)在(0, +oo)上是增函数 6分故 g(x)>g(0) = 02x 即 f(x) >xT2 8分1(3)原不等式等价于2x2 - f(x2) < m2 2bm 3112x x3-x令 h(x) =2x2 f(x2) =2x2 ln(1 +x2),由 h/(x) =x-1+x2 = 1 + x210 分当 x C 1 , 1时，h(x)max =0 , m2 2bm 3>0:Q(1) = m2 -2m -3>0令 Q(b)=m22bm 3,则Q(1) = m2 +2m 30 得 m>3或mW 312分q _p _1 _一 18、解：(I) f (e )= pe - -2ln e = qe