数学建模第一次模拟

1、最优投资方案摘要：某十字会利用善款本息，通过存入银行或购买国库券实施救助患病儿童，为提高救助金额，运用线性规划法和贪婪法分析，建立每年救助额最大为目标函数的数学模型。通过Lingo软件求解，得到最优解，设计最优方案，使每年救助金额最大。关键字：线性规划法 贪婪分析法 LINGO软件求解 MATHTYPE软件一 问题重述 如下是某红十字会运用灾后善款投资，捐助问题。 红十字会投资银行或购买国库券的资金是定额的，且投资年限也确定。并保证红十字会每年的投资收益最大，捐助金额大致相同，且投资年限过后本金不变。请考虑以下问题： 1）只投资银行时，为了确保最大收益，是否应该投活期与半年期。 2）混合投资时

2、，根据附录1的信息，在2年期，3年期，5年期三个项目中，应该选择投资哪个项目以获得最大收益？ 3）当要求第三年的捐助额为其他年份的1.2倍时，应选哪种投资方案？二 模型假设1）假设第j年初投资在年末获得收益2）假设每年捐赠额相同3）为使问题简单化，假设在N年内银行利率和国库券年利率没有发生变化4）为使问题简单化，假设国库券和定期存款均到存款期限满时收回本息5）假设每笔投资都是到期提款，不存在提前存款6）假设红十字会的30年庆典经费不从善款中支出7）假设投资一年，二年，三年，五年的项目分别编号为1，2，3，48）假设投资者不考虑各种投资方式的风险差异9）假设每年年底拨出救助款三 符号说明M表示红

3、十字会剩余善款 N表示投资年限（NZ+） Z每年拨出救助款额 C表示1N年每年的平均救助金额 C1表示1N年（第三年除外）每年的平均救助金额Xij表示第j年初向项目i投入的金额Vi表示投资项目i时的年利率四 模型分析1)题意要求提高每年救助金，本模型针对这一要求建立以N年平均救助金额最大的目标函数:MaxZ=C；2）在第J年的收益减去第J年的捐赠额得到第J+1年的投资总额。具体数据见下表： 年份投资金额项目123N-3N-2N-1N1234五 模型建立5.1 投资收益模型根据线性规划法确定目标函数为：Max S.t. 5.2 模型说明根据题干每年用部分本息提供救助，故第一年投资必须有一部分用于

4、活期,半年，一年投资项目中；而依据投资最优这一原则，利用贪婪法分析可知在这三种短期投资项目中，投资者为获得最大收益必定选择一年投资项目，故在投资模型中不考虑投资项目为活期和半年期。六 模型求解和分析M=5000万元 N =106.1解答问题一：即仅在银行存款而不购买国库券的情况下用Lingo软件进行求解可以得到结果如下： 年 份投资金额项目123456789101396.7621 2200.49463195.6140103.1339103.133944207.129190.953098.4728798.472874581.974（注：空白处为不投资项目金额年份。）数据分析1： 1）由每年年末都

5、要拿出部分本息作为救助金可知收益必须是连续的2）根据贪婪分析法，投资者为得到最大收益，故把大部分资金用于三年期和五年期的行存上3）因资金不足或投资无法收回，故在最后三年没有进行投资在以上结果中可以确定，在符合约束条件下，每年平均最大捐赠额为109.8169万元。 6.解答问题二：即既可投资银行也可购买国库券的情况下：根据贪婪分析法，并结合题目图表可知。投资银行2，3，5年定期的税后利率都小于同期购买国库券的利率。所以在即可投资银行也可购买国库券的情况下，不考虑投资在银行2，3，5年定期的项目。 年 份 投资金额项目123456789101277.0126 2260.50203490.74061

6、35.1411259.5002135.141143971.745126.9298126.92984448.451（注：空白处为不投资项目金额年份。）数据分析2： 1） 由每年年末都要拿出部分本息作为救助金可知收益必须是连续的2）根据贪婪分析法，投资者为得到最大收益，故把大部分资金用于三年期和五年期的国库上3）因资金不足或投资无法收回，故在最后三年没有进行投资4) 以上结果中可以确定，在符合约束条件下，每年平均最大捐赠额为146.8578万元。6.3解答问题3:由解答问题一，二求解结果可知：红十字会选择“既可存款也可以购国库券”的投资方案收益最大，且每年的捐助金额也最大，在这种情况下对模型进行简

7、单变化： 令目标函数为： (注：为除第三年外，其余9年的平均捐助额。) 年份 投资金额项目123456789101271.2172 2255.05203506.9365132.3138254.0712132.313843966.794124.2743124.27434445.795（注：空白处为不投资项目金额年份。）数据分析3:同数据分析2 在以上结果中可以确定，在符合约束条件下，每年最大捐赠额为146.8578万元。因此问题三的解决方案即为投资的最优方案。七 模型评价及模型改进7.1模型评价 1）优点：本模型建立在普遍的投资情况下，能够推广至相关的投资项目。所以可以成为投资者考虑的首选方案。2）缺点：用LINGO求解时，计算机存在一定的误差。7.2模型改进在现实生活中，国库券的收益方式是每年分摊收益，而本模型中为使问题简单化使国库券在到期后获得全部本利，因此需要对本模型作出调整，调整每年的收益额引起N年的平均捐助额发生变化，势必会影响最佳投资方案的选择。参考文献：1韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005年2谢金星，薛毅，优化建模与LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005年