向量运算与其他知识交汇

1、.向量运算与其他知识交汇一. 教学内容：向量的运算二. 学习目的1. 进一步理解向量的有关概念;2. 掌握向量的线性运算，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.3. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.三. 知识要点1、向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模长度，记作|。零向量：长度为0的向量，记，其方向是任意的，与任意向量平行。单位向量：模为1个单位长度的向量。平行向量共线向量：方向一样或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相等向量：长度相等且方向一样的向量。相等向量经过平移

2、后总可以重合，记为。2、向量加法求两个向量的和的运算叫做向量的加法。设，那么+=。向量加法有“三角形法那么与“平行四边形法那么。说明：1;2向量加法满足交换律与结合律;3、向量的减法相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作，零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： i=;ii +=+=;iii假设、是互为相反向量，那么=，=，+=。向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。的作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量、有共同起点。注：1用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线，而差向量是

3、另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。2 三角形法那么的特点是“首尾相接，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。4、实数与向量的积实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：当时，λ的方向与的方向一样;当时，λ的方向与的方向相反;当时，方向是任意的。注：结合律：λμ=λμλ+μ=λ+&a

4、mp;mu;分配律：λ+=λ+λ5、平行向量根本定理：假如a=λb，那么ab;反之，假如ab，且b≠0，那么一定存在唯一一个实数λ，使a=λb6、平面向量的根本定理假如是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。7、特别注意：1向量的加法与减法是互逆运算。2相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。3向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线即重

5、合，而向量平行那么包括共线重合的情况。4向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细位置无关，只与其相对位置有关。8、单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫作向量a的单位向量.9、基向量，轴上向量的坐标在轴l上取单位向量e，使e的方向与l同方向，对轴上任意向量a，一定存在唯一实数x，使a=xe，x叫做a在l上的坐标.当a与e同方向时，x是正数， 当a与e反方向时， x是负数;e叫做轴l的基向量.a叫轴l的轴上向量.小结：实数与轴上的向量建立起一一对应关系.于是可用数值表示向量.10、轴上两个向量相等的条件轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标

6、等于两个向量坐标的和.11、公式1 AB+BC=AC公式2 AB=x2-x1轴上向量坐标公式即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标公式3 |AB|=|x2-x1|12、平面向量的坐标运算1假设，那么2假设，那么3假设=x，y，那么=x， y4假设，那么【典型例题】例1. 判断以下说法是否正确，并说明理由。向量与是共线向量，那么A、B、C、D四点必在同一直线上;单位向量都相等;任一向量与它的相反向量不相等;四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=模为0是一个向量方向不确定的充要条件;共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同.假设，那么;假设，那么假设四边形ABCD是平行四边形，那么解

7、：不正确。共线向量即平行向量，只要求方向一样或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.不正确。单位向量的模均相等且为1，但方向并不确定.不正确。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确。不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却一样.正确，向量相等有传递性不正确，因假设，那么不共线的向量也有，。 不正确， 如图评述：此题考察根本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及互相关系必须掌握好.例2. 计算以下各式：1;2;3解：;例3. 向量，且，务实数的值。解：因为，所以，又因为所以，即解得例4. A-2，1，B1，3求线段AB的中点M和三等分点P，Q的坐标

8、解：1 求中点M的坐标，利用公式可知M，22 因为=-=1，3-2，1=3，2=+= -2，1+1/33，2=1，=+= -2，1+ 2/33，2= 0，所以P-1，5/3，Q0，例5. 如图，ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于F。求证：AF=AE。证明：建立如下图的直角坐标系，设正方形的边长为1，那么A、B的坐标分别为-1，-1和0，-1，设E点的坐标为x，y，那么，∴，又，故，由得E点的坐标为，设F，-1那么=，-1，由与共线得，∴=即F，-1，所以，∴即AF=AE主要数学思想方法1、通过

9、平面向量根本定理得出的过程，体会由特殊到一般的方法，培养“数与“形互相转化的思想方法。2、向量是沟通代数、几何、三角函数的工具，掌握向量的解题技巧，方法显得非常重要.向量的解题方法有向量法和坐标法，要理解相关的意义和理解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机地结合在一起.运算和运算律是向量的灵魂，是连接数与形的纽带，3、做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.【模拟试题】答题时间：45分钟一、选择题1、设A、B、C、D四点坐标依次是-1，0，0，2，4，3，3，1，那么四边形ABCD为 A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形2、

10、向量a，b都是非零向量，下面说法不正确的选项是 A.向量a与b反向，那么向量a+b与向量a的方向可能一样B.向量a与b反向，那么向量a+b与向量b的方向可能一样C.向量a与b反向，且，那么向量a+b与向量a的方向可能一样D.向量a与b反向，且，那么向量a+b与向量a的方向可能一样*3、平面上直线的方向向量=，点和在上的射影分别是和，那么=，其中等于A.B.-C.2 D.-24、向量与的夹角为，那么等于 A. 5 B. 4 C. 3 D. 1*5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A3，1，B-1，3，假设点C满足，其中且，那么点C的轨迹方程为二、填空题6、在直角坐标系xOy中，点Ax1，y1

11、，Bx2，y2，那么线段AB中点的坐标为_.7、，为原点，假设，那么的值为_.8、平面内给定三个向量，那么满足的实数m，n为_.三、解答题9、如图，平行四边形AOBD的对角线OD，AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM，线段CD上有一点N满足CD=3CN，设*10、1设两个非零向量、不共线，假如， 求证：三点共线.2设、是两个不共线的向量，假设三点共线，求的值.11、如图，在ABC中，设=，=，=， =λ，0<λ<1，=μ0<μ<1，试用向量，表示【试题答

12、案】1、解析：=1，2，=1，2，∴=，∴，又线段AB与线段DC无公共点，∴ABDC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四边形，又|=，=5，3，|=，∴|≠|，∴四边形ABCD不是菱形，更不是正方形;又=4，1，∴14+21=6≠0，∴不垂直于，∴四边形ABCD也不是矩形，应选D。答案：D2、D3、D4、B5、解、设，那么由得于是先消去，由得再消去得。所以选D6、解：

13、设Mx，y是线段AB的中点，那么=+= 1/2x1，y1+x2，y2即 x=y=7、解：8、解：由题意得所以，得9、解：10、1证明：因为所以又因为得即又因为公共点为所以三点共线;2解：因为三点共线所以设所以即;11、解：与共线，∴=m=m-=mμ-，∴=+=+mμ-=1-m +mμ又与共线，∴=n=n-=nλ-，∴=+=+nλ-=nλ+1-n 由，得1-m+μm=&lambda

14、;n+1-n 与不共线，∴解方程组得m=课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,老师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多那么名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取出来,使文章增色添辉。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的老师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末，学堂兴起，各科老