数学归纳法——四种类型题导学案

1、一，知识梳理1、证明与正整数有关的命题，可按以下步骤进展：1；2。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从no开始的所有正整数 n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。2、注意：1适用围：2(3 )二、典例分析1例1、数学归纳法证明13+ 23+ 33+ n3=丄n2n+ 124例2、用数学归纳法证明n+1 n+2 n+n=2n 1 3 2n 1三、稳固加强1.等式1222n25n2 7n 42，以下说确的是A .仅当n1时等式成立B .仅当1,2,3时等式成立12n 23.用数学归纳法证明“1冷+3+&-祗n* ,心°推证n=k+1时，左边应增加的项数是A.2k_1B.2k-

2、1时，由n=k k> 1不等式成立,C.2kD.2k+14.用数学归纳法证明彳 n 22 1,n+1 1 X1+ x+ X2+ X =x1 X成立时，验证n=1的过程中左边的式子是()(A)1(B)1 + x(C)1 + x+ x2(D)1 + x+ x2 + x3+ x25.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成假设干堆“正三棱锥"2.设 fn1+1+ + n N *，那么 fn+1一 fn等于n 1 n 2 n 3 2nA.丄B.丄丄2n 1 2n 2 2n 1 2n 2 2n 1形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底 层

3、第一层分别按图 4所示方式固定摆放，从第二层开始， 每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓f(n)球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，那么f(3) ;6.用数学归纳法证明：1+3+6+. + n(n+1)= n(n+1)( n+2)2 6答案用n表示7.用数学归纳法证明：1-1/2+1/3-1/4+1- 1 = 1 + 1+ + 12n-1 2n n+1n+22n8.用数学归纳法证明：1 2 3+2 3 4+n(n+1)(n+2)= n (n+1) ( n+2) (n+3)4例1.是否存在常数a, b, c使等式1 222 323 42n n 12an bn c12对一切自

4、然数n都成立，并证明你的结论。11例2在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足Sn (an )2an1求s,a2,a32由1猜想数列an的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想.稳固加强:1.用数学归纳法证明(n +1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1)(n N*)时，从“ k到k+1"左边需增乘的代数式是()。(A)2k+1(B) 2k+1(C) 2(2k+1) (D)k+1k+12. Sk丄(k 1,2,3,),那么 Sk+1 =()2k(A) Sk +12(B) Sk +1)2k 21 1(C) Sk + -k 12k 112k-(D) Sk +212k 1

5、2k 23假设把正整数按以下列图所示的规律排序，那么从2002到2004年的箭头方向依次为14 5891214589236710114.观察下表:设第n行的各数之和为Si，那么 Sn=.1B.C.D.23434567456789105.猜想：1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,第 n 个式子为。x6.f(x)=，记 f1(x)=f(x), n > 2 时，fn(x)=ffn-1 (x)，那么 f 2(x) = ,f 3(X)= ,f 4(x)=，由此得f n(x)=.7如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展'而来n=1, 2, 3，那么第n 2个图形中共有个顶点

6、.8.数列何中,1 1 11 4 4 7 7 101(3n 2)(3 n 1)S1,S2,S3,S4，猜想Sn并证明之9数列an的前n项和Sn 2n a.,先计算数列的前 4项，后猜想 耳并证明之.例1、数学归纳法证明13n9> n> 一且 n N 丨.10例2.数学归纳法证明:12+3<2、n(N* 且n>1)1111例3.数学归纳法证明：1+ -r+ -T + 2 <2 一(n22 32n2n1.1+2 3+3 32+4 33+n 3n-1=3n(na-b)+c 对于一切 n N*都成立，那么 a、b、c 的值为()。(A)a=1/2,b=c=1/4(B)a=

7、b=c=1/4(C)a=0,b=c=1/4(D)不存在这样的 a、b、c2. f(n) 1-11 n N ,证明不等式23 nnk 1kn 时，f 2 比f 2多的项数为()A.2k12k1C.2kD. 2k 13.某个与自然数n有关的命题，假设n=k时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立。现2当n=5时该命题不成立，那么可推得()(A)当n=6时命题不成立(B)当n=6时该命成立(C)当n=4时命题不成立(D)当n=4时命题成立1114.用数学归纳法证明：1 + 234那么从k到k + 1时,左边应添加的项为1 1 1(A)(B)(C)2k 1 2k 2 2k 41 1 1 1

8、2n 1 2n n 1 n 212n(nN),12k 2(D)12k 112k 25.假设要用数学归纳法证明2n>n2(n N*)那么仅当n取值围是时不等式才成立。6.数学归纳法证明:1 1 1+ + n 1n+2n+3+丄(n N*且n>1)2n 247.用数学归纳法证明：(1 '(1 +丄35(1+丄)2n-1：(n N*.n>1)数学归纳法4一一整除证明例题一、用数学归纳法证明32n+2-8 n 9 n N 能被 64 整除.例题二、用数学归纳法证明：x2n 1 y2n 1( n N)能被x y整除稳固提高：1用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn+ yn能

9、被x+ y整除"，在第二步时，正确的证法是()A .假设n= k(k N +),证明n = k + 1命题成立B .假设n= k(k是正奇数)，证明n= k+ 1命题成立C.假设n= 2k+ 1(k N + ),证明n= k+ 1命题成立D .假设n= k(k是正奇数)，证明n = k+ 2命题成立2对于不等式.n2+ n<n + 1(n N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：当n = 1时，. 12+ 1<1 + 1,不等式成立.假设当n = k(k N*)时，不等式成立，即k2 +k<k+1,那么当n= k+ 1时，k +1 2+k+1 =k2 + 3k+

10、2< k2+ 3k+ 2 + k+ 2 =k+ 2 2 = (k+ 1) + 1,当n= k+ 1时，不等式成立，那么上述证法()A .过程全部正确 B . n= 1验得不正确 C.归纳假设不正确 D .从n= k到n= k+ 1的推理不正确3用数学归纳法证明“ n3 + (n + 1)3+ (n+ 2)3(n N*)能被9整除，要利用归纳假设证n = k+ 1时的情况，只需展开()52(k 1) 1可变形为A . (k+ 3)3B. (k+ 2)3C. (k+ 1)3D. (k+ 1)3+ (k+ 2)34.用数学归纳法证明34n 1 52n 1(n N)能被8整除时，当n k 1时，对于34(k 1) 15观察不等式：1 八 1111 1 3 八 11 , 111, 1 51>2，1 + 2+3>1,1 + 2+ 3+ 7>2，1+ 2+ 3+ 亦>2+ 2+寸+ 3T0，A.56-34k125(34k152k ) B.34-34k152-52k C.34k152k1D. 25(34k 152k1)由此猜想第n个不等式为 (n N*).6整数对的序列如下：(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1) , (1,4