数学物理方法授课教案

1、第八章平面坐标下的别离变量本征值问题一通过上一章的讨论，我们知道，在研究物理场量的变化时， 不仅要考虑物理场量随时间的变化规律，有时候还需要考虑其在 空间变化规律，由此便导致了反映物理规律的“偏微分方程 。偏微分方程泛指同一类的物理规律，因此称为泛定方程。偏微分方程假设附加上边界条件、初始条件的限制，那么物理过程解就唯一确定，此时便构成了定解问题。对于偏微分方程用高等数学中介绍的一些方法，无法求解。因此必须引进别离变量法。别离变量法是把偏微分方程分解为几个常微分方程，从而到达求 解之目的一个数学过程。别离变数法的可行性问题：上一章推导出了三类偏微分方程， 波动方程、输运方程和泊松方 程。第一类

2、、第二类方程都是时间和空间的函数，我们在普通物理中 曾对驻波问题进行过研究，其空间周期性和时间周期性彼此独立，由此受到启发，其解应具ux,tr XxTt的形式。对于第三种情况 泊松方程，反映的是“有源情况下的一种作用，其效果相当于简单 叠加。由此看来，变量是可以别离的。实际情况如何？我们可以通过实例进行验证。 8.1齐次方程的别离变数法一、别离变数法简介以两端固定的均匀弦的自由振动为例 其定解问题为% - a2Uxx 二 02x=0 吒=0(2)()W(x) Utt(x)这里研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在这两端点之间 往复反射。这样，驻波解的一般表示式应当为设 u(x,t)二 X(x

3、)T (t)(8.1.2)在(8.1.2)中，自变数x只能出现于X之中，自变数t只出现于T 之中，驻波的一般表示式具有别离变数的形式。那么，在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢？把驻波的一般表示式(8.1.2)代入弦振动方程(8.1.1)和相应的边界条件，得：XT - a2X T 二 0r(8.1.3)X(0)T(t)二 0X(l)T(t) = 0条件)表示，在时刻t， X(0)T(t)和X (l)T (t)总是零。这样只能是 X (0) = 0 和 X (I ) = 0(8.1.4)只有边界条件是齐次的，才得出(8.1.4)这样简单的结论。现用a2 XT遍除(8.1.3)第一式各项，并整理得(8

4、.1.5)TXa2T X左边是时间t的函数,跟坐标x无关,右边那么是坐标x的函数,跟 时间t无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常 数，把这个常数记作“r x“.arw(8g(8.1.6)可以别离为关于X的常数微分方程和关于T的常微分方程,前者还附带有边界条件X + X=0X(0) = 0 X(I)=O (8.1.7)a2T = 0(8.1.8)现对(8.1.7)在:0= 00三种可能的情况分别加以讨论。1、当 0，方程(8.1.7)的解是X(x)二 Gex 一C2ex 一积分常数G和C2由边界条件确定，即G c2 = 0Ge1 一C2e一二 0解出6 = 0, C2 = 0

5、,从而X(x)二0,解u(x,t) = 0没有意 义的。因而排除了 ，舟0的可能。2、，=0.方程(8.1.7)的解是X(x)二 C1x C2C2 二 0 C|l C2 二 0仍然解出 C 0, C 0，从而 u(xt)二 X(x)T(tp 0仍没有意义，应予排除。现只剩下一种可能性，即03、0的情况方程(8.1.7)的解是 X(x) = 5 cosx C2 sin x 其积分常数由下式确定C2sin=0假设 C0问题仍无解。只能sin v H 0唯一的可能是 I二n二(n为整数)亦即 二1(8.1.10)n兀x当入取这些数值时，X(x)=C2Si n-p(8.1.11)C2为任意常数。(8.

6、1.11)正是傅里叶正弦级数的根本函数族。这样,别离变数过程中所引入的常数不能为负数或零，甚至也不能是任意的正数，它必须取(8.1.10)所给出的特定数值。常数的这种特 定数值叫作 本征值，相应的解(8.1.11)叫作本征函数。方程(8.1.7) 和边界条件那么构成所谓本征值问题。再看关于T的方程(8.1.9),按照(8.1.10),这应改写为a22-T = 0nK at . nH at这个方程的解是 T(t) = AcosBsin(8.1.12)其中A和B是积分常数把(8.1.11)和(8.1.12)代入(8.1.2),得到别离变数的形式解( 0,1,2,31!)(8.1.13)n 二 at

7、n at .n二 xun(x,t)=(代 cosBnsin )sinn为正整数。这就是两端固定弦上的可能的驻波。每一个 n对应于一种驻波，这些驻波也叫作两端固定弦的本征振动kl在 X 二一(k = 0,1,2,3,111, n)共计 n 1 个点上，nn兀xsin l sin k二二0从而叫(X,t)二0。这些点就是驻波的节点，l21相邻节点间隔-应为半波长，所以波长二耳。nnn兀a本征振动(8.1.13)的角频率(又叫圆频率)是，从而频其线性叠加便得到物理问题的一般解n atn at、. n xu(x,t)二 (代 cosBnn=1III其中A和Bn为任意常数，这里尚未考虑初始条件。为了确定

8、叠加系数An和Bn，(8.1.14 )满足初始条件。I .n =1n兀at代 sin(x)Bnn a . n atsinII八(x)(0 x I)(8.1.15)的左边是傅里叶正弦级数，这就启示我们应把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比拟两边的系数就可确定An和Bn2 In代()sin di l.(8.1.16)2 lnzBn Osin- dLn兀 a 0I解(8.1.14)正好是傅里叶正弦级数，这正是第一类齐次边界条件 所决定的。回忆整个求解过程，可以作出图解如下：别离变量偏微分万程- - -常微分方程(关于X)+ 边界条件，本征(值)函数 常微分万程(关于T) + 初始条件，叠加系数通解二

9、v 本征函数本征值一方面，把别离变数形式的试探解代入偏微分方程，从而把它分 解为几个常微分方程，问题转化为求解常微分方程；另一方面，代入齐 次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件，这些条件与相应的常微分方程构本钱征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索，其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的联系， 从数学上讲，完全可以推广 应用于线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题。这个方 法，按照它的特点，叫作别离变数法。用别离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数 ，不过,在具 体问题中，级数里常常只有前假设干项较为重要，后面的项那么迅速减小， 从而可以一概略去。现将上述弦振动的解与实验结果比拟：图

10、仅示意n =1nxT1 sin 波速Zv = an =2T .2兀 xT2 sin 扎v = an =3. 3 兀 x T| sin 扎v = a结果与实验情况完全一致二、举例例1、磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自 由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由棒的纵振动，即定解问题utt 一 a2ux = 0Ux0:Uxlx厂 0|U t=0= (x) h(x)(o*i)解：按照别离变数步骤，先以以别离变数形式的试探解u(xt)二 X(x)T(t)代入泛定方程(8.1.17 )和相应的边界条件，得XT -a2XT 二 0X (O)T(t) = 0X (l)T(t) = O即：

11、X (0) = 0 和 X (l) = 0(8.1.19)IIII用a2XT遍除各项即得厶 牛要相等除非等于一个常数-a T XIIIITX=九a2TXX X = 0t(8.1.20)X (0) = 0 X (I) = 0Ta2T = 0( )求解本征值问题(8.1.20)。如果 0，只能得到无意义的解X(x)=0 ；如果 =0,那么方程(8.1.20)的解是X(x)二CDx，代入(8.1.20)中之边界条件，得D0，于是X (x) = Co，其G为任意常数； 如果 0，方程(8.1.20)的解为X(x) = G cos i x C2 sin 一 x现确定积分常数G和C2 ，代入(8.1.20

12、)中之边界条件C2、 = 0i ： (G sinI C2由于= o,所以C2 =0，G sin1=0 ;如果G = 0,那么得无意义 的解 X(x)=0;因此 C 0 , sinx = 0 ,于是x = n二,即 =n 2 (n = 0,1,2,3iii),这是 0情况下的本征值，相应的本征函数是n71X (x) = C1 cosxl现在把 =0与， 0情况本征值和本征函数合在一起n兀Ci为任意常数,(8.1.22)即傅里叶余弦级数的根本函数族。 当，-0时,将本征值代入T的方程,有2_. 22 n 応T = 0 和 T a 厂T = 0 (n=0)其解是(8.1.23)To(t) = Ao

13、+ Btn兀atn兀at丄Tn(t) = AnCOSBnS in 丨(n = 1,2J|)其中A Bo An Bn均为独立的任意常数.把(8.1.22)(8.1.23)代回到开始的假设解中，得到本征振动n atn at、n- xun(x,t)=代B0t (代 cosBn sin )con (n = 0)(8.1.24)这正是傅里叶余弦级数的根本函数族。其一般解为：n atn atn xu(x,t)二 A0Bot(A cosBn sin)con 一gIII(8.1.25) 现确定系数Ao Bo An Bn。将(8.1.25) 代入(8.1.17)之初始条件n 二 xAo Ancon(x)ndlB

14、o Bn节 conF (x) (o x)L心ll把右边的和展开为傅里叶余弦级数，然后比拟两边的系数，即1 I1 lA。二。()d B。( )d2 in兀2in兀An 。 ( )C0S dBn。 ( )cos dI 。Ina 0I例2 研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一 端温度为uo,杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端跟 外界绝热,试求细杆上温度的变化。解杆上温度满足泛定输运方程和如下定解条件Ut -a2Uxx 二 0(8.1.26)ju 0:Ux = 0|u ta= u。(0 x I)泛定方程和边界条件都是齐次的，可以应用别离变数法，首先以 别离变数形式的试探解u

15、(xt) = X(x)T (t)(8.1.27)代入泛定方程和相应的边界条件，整理并别离变量得：X X - 0 (8.1.28) X(0) = 0 X (I) = 0Ta2T = 0(8.1.29)(8.1.28)构成了本征值问题，如果:0或=0 ,只能得到无 意义的解X(x) = 0 ；仅讨论 0 ,那么方程(8.1.28)的解是X (x)二 C1 cosx C2 sin i x积分常数G和C2由(8.1.28)之中边界条件确定，即G = 0C2co n、1=0假设C0 , C2 =0,从而得到X (x) = 0 ,除非是con、, I = 0 ,在此条件下，C2是任意常数；条件con=0,

16、即A2)1 2 2(k /(2k 1)2二2f 2 2l24l2相应的本征函数为：(2 k 1 x(k = 0,123,)(8.1.30) 其X(x) = C2 sin2l此时，关于T的方程应改写成:(k 71,2,3,)(8.1.31)T a2l20(k)2 二2a2-TtCe t0,123,)其解：T(t)二本例的边界条件说明：导热细杆从区间后。其边界条件变成ux异0 ux(8.1.32)(0,l)偶延拓到区间(l,2l)二0,第一个和第三个条x -2l件决定了函数应当做奇延拓。延拓后,本征函数是2k 1, L = 21，这便决定了 一2 2(2k 1) :2(2l).xsin 其中L 5

17、 丿、I(k、)同理，如果其边界条件变成 u泊=0，那么应当对函数作2 2n兀 x(2k + 1)2兀 2偶延拓。延拓后，本征函数是cos ，其本征值仍为L(2l)这样,本例问题的一般解应是八亠1、222(k+ ) n aoo2L1u(x,t)二 Ckek=01t (k -y xsin 2l系数Ck,应由(8.1.26 )之初始条件确定，即1g(k + Mxuo Ck sin 20x (0 x )(8.1.33)k(k+2)x左边是以sin 2为根本函数族展开的傅氏级数，这就提示我们把右边的Ux也以sin(k 2 X为根本函数展开傅氏级数(这其实就是在区间(0,2)上展开为傅里叶正弦级数),然

18、后比拟两边的系数八1、(k + )叽 得： Ck- sin 2 -得:02 U002u2 2u(x,t)二弩Ck(-)k71 k =0d )k 彳(k )2(k l)2 二2a222uie(k ) 221(k -) x . 2 sin(8.1.34)(k J)2二2a2-t,级数(8.1.34)收敛对于e ,随的增大而急剧减小得很快，t越大，级数收敛的越快。它的一边y = b处于较y = 0, X = 0, X = a那么处于冷却介质因而保持较低的例3散热片的横截面为矩形(图9-2)。高温度U,其他三边 温度U,求解这横截面上的稳定温度分布U(x, y),即定解问题:Uxx Uyy = 0It

19、Ux=u。Uxw=u (0*yb) (8.1.35)IUg = U0 u/U (0yy)解：这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题，由于不含初始条件，拉普拉斯方程的边界不可能全是齐次的，因为这种条件下的解只能是零。假设能把一些边界条件化为齐次，将会带来一些方便，常用 的方法是把分解为(x,y)和.(x, y)的线性叠加.u(x, y)(x, y) (x, y)(x, y)和，(x, y)分别满足拉氏方程，并各有一组齐次边界条件，即xx yyx 厂 U。xU0y厂0coixx+ cox=0y=0yyUoy=b容易验证，把：(x, y)和(x, y)的泛定方程叠加起来恰好是 U 的泛定方程，把的边

20、界条件叠加起来确是 U的边界条件，于是问题转 化为求解(x, y)和(x, y)的问题了。u(x, y)L f(x)sin 丁 yb门兀其中f(x) F(y)都不难求出。蛍(x, y)F(y)sin xb实际上有一个更为简便的方法，令：u(x, y)二 u(x, y) (8.1.36)这相当于把温标作了个平移，将原来的U。作为新温标的零点，以 (8.1.36)代入(8.1.35)得：xx.IVyyV+ynx=0x=a(8.1.36)-uo设形式解为： (x,t)二X(x)Y(y)代入泛定方程(8.1.36)得：*+ X = 0(8.1.37)X(0)=0 X(a) = 0(8.1.37)构本钱

21、征值问题，不难求出本征值和本征函数:2 2n :n_ xX (x) = Csina(n 二 1,2,.)将本征值代入方程,解得yY( y) = AeaBey y这样，其形式解为：*x，八2ea sin anx,y称为本征值解，那么一般解是这些本征值解的叠加:g 味y但y即：x,y八AeaBne a)sin a为确定系数，将x,y代入非齐次边界条件(8.1.36), (An Bn)sinn =1b (ApeaBne a )sinnTa把右边展开为傅里正弦级数，然后比拟两边系数，即得 bAeabBne a(n 二 2k)n-u n = 2k 1问题最后的解为: u(x, y)-1 shX(2k1)

22、ya _ (2k 1) xsinsh(2k 1) b边长为11,12的巨形薄板，两板面间不透热，它的一边 yr绝热，其余三边保持温度为零。设薄板的初始温度分布是fx, y，求板内的温度变化。解定解问题是:r2q(x,y,t) - a 冬(人 y,t) uyy(x, y,t)二 0卜叽7府UyOU f (x,y)(0 xU,O y l2)设形式解：u(x, y,t)二X(x)Y(y)T(t)代入泛定方程得其中设T (t)2aT(t)XM Y(一)X(x)Y(y)XT a2(待定1 )T得到两个本征值问题X(0)=0 X(lJY(0p 0丫 (叨二 0其本征值和本征解分别为:(n )2liX(x)

23、二 Xn(x)二 sinx|i(n M,2,3J|)U22Ym = si 门22l2212(m 二 0,1,2,111)关于T的解为:- (f)2 + (穿)2a2 沢 2tT(tp Tnm(tp Cnme 124(n)2 (2m)2a：2tu(x, y,t)八 Cnme11 212.n x . (2m 1) y sin sinn=1 m=0ll212代入初始条件确定叠加系数两个正弦函数分别在相应区域正交f(x, y)Cnmsin Usin2ll212Cnm11 121112f(x,y)sinSsi ndxdyll212下一个例题是平面极坐标系的别离变数法例5:带电的云跟大地之间的静电电场近似

24、是匀强静电场，其电场强度Eo是竖直的.水平架设的输电线处在这个静电场之中。假设把输电导线看成无穷长的圆柱体，求解导体圆柱周围的静电场分布。解：设输电导线半径为a，取圆柱的轴为z轴,如果圆柱“无限 长，那么这个静电场的电场强度、电势显然跟 z无关，我们只需在xy 平面上加以研究就够了。取导线在 xy平面的截面为研究对象，中心 为坐标原点，x轴沿E。方向，指向地面。因为导体柱外的空间中没有电荷，所以电势U满足二维的拉普拉斯方程，其定解问题x2y2 二a2Uxx + Uyy =0)以别离变数形式的试探解u(x, y)二 X(x)Y(y)代入泛定方程后，可以别离变量，但是代入对于边界条件后得到:X(x

25、)Y(、a2 - x2) = 0可见无法别离成独立的X(x)和Y(x)的边界条件，前面介绍的方法无 效，需要另辟蹊径。显然选取极坐标比拟适宜。此时定解问题改写成：2u 1 :u12u)：U Pt = 0u _Eoconr设 u( )二 R(r)：()代入(8.1.40 )的拉普拉斯方程式，得nAdR_ 丄Rd-门上式左边是的函数，与无关；右边是的函数，与无关。两边不 可能相等，除非两边实际上是同一个常数，把这常数记作入，R d d-分解为两个常微分方程：二 0(8.1.41 )2RR0(8.1.42 )常微分方程(8.1.41 )中隐含着一个附加条件。即 ：(2二)八()(8.1.42 )此条

26、件称作自然的周期条件。常微分方程(8.1.41 )与(8.1.42 )条 件构成了本征值问题。其解为：AconBsin (0)门 C)= A B(= 0)【Ae +( (x, t, )d ，贝y ：ut+ a2。ttxxx=0 = O t=r0,=f (x,t) (t -)v =0二 0t=0即:丿亠a2tt a xxx=O 二 0,t 二 0,t :由于t= d 中的d 很小， 物理问题的最后解二 f(X,)t =.上式中已经将d.忽略不写了。由此得到tu(x,t)八.=0u()(x,t)； (x,t; )d例题 12-16 见 Powerpoint 讲稿。 8 3非齐次边界条件的处理以前处

27、理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数对于非 齐次边界条件如何处理？一、一般处理方法例17自由振动问题厂 utt -a2uxx = 0(8.3.1)Y ux=%t), UyF) u 心 N(X), ut y =W(X)此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数.(x,t)，使其满足非 齐次边界条件，为了简单起见，不妨取.(x,t)为x的线性函数，即(x,t)二 A(t)x B(x)(832)将此式代入上述边界条件解得：(x,t)l叫切X叫t)利用叠加原理，令：U(x,t) = ： (x,t) w(x,t)代入波动方程22 x 贝y： “七-a Wxx =+aj 卩(t)“ (t) - #(t

28、)w(x,t)二 u(x,t) - (x,t)wx=o Wx/1Wy =(x)=%x) +;卩(0) T(O)x 4(0)l1Wt y = (x) q y = (x) + 4(0) V(0) x 卩0)尽管(x,t)的方程一般是非齐次的，但是定解问题具有齐次边 界条件，可按求解.这里还要特别说一下x = 0 ,x = l两端都是第二类非齐次边界条件Ux = 4(t), Ux x =v(t)的情况，仍取/的线性函数为u ,那么代入非齐次 边界条件得 9 x x=0 = A(t) = (t)Ax|x厂 A(t) i(t).,除非卩(t)=v(t),否那么 这两式互相矛盾，这时不妨改试(x,t)二

29、A(t)x2 B(t)x二、特殊处理方法例18弦的=0端固定，=1端受迫作谐振动Asint,弦的初始 位移和初始速度都是零，求弦的振动，这个定解问题是2-Utt - a Uxx 7(0 ： X ： l)寸 ux=0, Ux/As(833)lut=0, Mt/0X二l端为非齐次边界条件。如果按上述一般处理方法，应取：(x,t) =(Asint/l)x,但相应的 w(x,t)的定解问题中泛定方程为Wt - a2w“ = (% - a2.) = (AJ2X/I)si ncot,是非齐次方程，求解麻烦 能否能较为简便的方法呢？由于求解的是弦在x = l端受迫作谐振动Asin t情况下的振动， 它一定有

30、一个特解(X,t),满足(831)中齐次方程和非齐次边界条件，且跟x = I端同步振动，就是说其时间局部的函数 As in， t,因此 特解的别离变数形式应(x,t)二 X(x)sint(834)将(8.3.4)代入(8.3.1)中泛定方程，得2(8.3.5)X()X =0/ aX(0) =O,X(I) = A形式解为 X(x)二 Ccos( x/a) Dsin( x/a)， 代入(8.3.5),确定系数后确定X(x)二A/sin( x/a) sin( x/a)从而(x,t)二.l sinaA sinsinta令u(x,t)得w(x,t)的定解问题(x,t)W(x,t)2wtt_ a wi wxxx