课时提升作业(十)2.1.2.1

1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十)椭圆的简单几何性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若AF1B的周长为16，椭圆离心率e=32，则椭圆的方程是()A.x24+y23=1B.x216+y24=1C.x216+y212=1D.x216+y23=1【解析】选B.由题意知4a=16，即a=4，又因为e=32，所以c=23，所以b2=a2-c2=16-

2、12=4，所以椭圆的标准方程为x216+y24=1.2.(2015·西安高二检测)两个正数1，9的等差中项是a，等比中项是b且b>0，则曲线x2a+y2b=1的离心率为()A.105B.2105C.25D.35【解析】选A.因为a=9+12=5，b=1×9=3，所以e=25=105.3.(2015·怀化高二检测)过椭圆x225+y216=1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则PQF周长的最小值是()A.14B.16C.18D.20【解析】选C.如图设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|=|PF2|，|OP|=|O

3、Q|，所以PQF的周长为|PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，PQF的周长取得最小值10+2×4=18，故选C.4.设F1，F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45【解析】选C.如图，F2PF1是底角为30°的等腰三角形|PF2|=|F2F1|=232a-c=2ce=ca=34.5.过椭圆

4、x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF2=60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13【解析】选B.将x=-c代入椭圆方程可解得点P-c,±b2a，故|PF1|=b2a，又在RtF1PF2中F1PF2=60°，所以|PF2|=2b2a，根据椭圆定义得3b2a=2a，从而可得e=ca=33.【一题多解】选B.设|F1F2|=2c，则在RtF1PF2中，|PF1|=233c，|PF2|=433c.所以|PF1|+|PF2|=23c=2a，离心率e=ca=33.二、填空题(每小题5分

5、，共15分)6.已知椭圆x25+y2m=1的离心率e=105，则m的值为_.【解析】当焦点在x轴上时，a2=5，b2=m，所以c2=a2-b2=5-m.又因为e=105，所以5-m5=1052，解得m=3.当焦点在y轴上时，a2=m，b2=5，所以c2=a2-b2=m-5.又因为e=105，所以m-5m=1052，解得m=253.故m=3或m=253.答案：3或253【误区警示】认真审题，防止丢解在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定，则应该有两解.7.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e32.则长轴长的取值范围为_.【解析】因为b=1，所以c2=

6、a2-1，又c2a2=a2-1a2=1-1a234，所以1a214，所以a24，又因为a2-1>0，所以a2>1，所以1<a2，故长轴长2<2a4.答案：(2，48.(2015·嘉兴高二检测)已知椭圆x24+y23=1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为该椭圆上一动点，则当PF2·PA1取最小值时|PA1+PF2|的取值为_.【解析】由已知得a=2，b=3，c=1，所以F2(1，0)，A1(-2，0)，设P(x，y)，则PF2·PA1=(1-x，-y)·(-2-x，-y)=(1-x)(-2-x)+y2.又点P(x，y)在椭圆上，所

7、以y2=3-34x2，代入上式，得PF2·PA1=14x2+x+1=14(x+2)2.又x-2，2，所以当x=-2时，PF2·PA1取得最小值.所以P(-2，0)，求得|PA1+PF2|=3.答案：3三、解答题(每小题10分，共20分)9.求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆过(3，0)，离心率e=63.(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【解析】(1)若焦点在x轴上，则a=3，因为e=ca=63，所以c=6，所以b2=a2-c2=9-6=3.所以椭圆的标准方程为x29+y23=1.若焦点在y轴上，则b=3，因为e=ca=1-b2a2=1

8、-9a2=63，解得a2=27.所以椭圆的标准方程为y227+x29=1.综上可知，所求椭圆标准方程为x29+y23=1或y227+x29=1.(2)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b，所以c=b=4，所以a2=b2+c2=32，故所求椭圆的标准方程为x232+y216=1.10.设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1，F2是其左、右焦点.已知F1PF2=60°，求椭圆离心率的取值范围.【解题指南】利用椭圆的定义得到a，

9、b，c的不等式，再化为离心率求范围.【解析】根据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a，在F1PF2中，由余弦定理得cos 60°=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=12，即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1|PF2|.式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2.由得|PF1|PF2|=4b23.由和运用基本不等式，得|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22，即4b23a2.由b2=a2-c2，故43(a2-c2)a2，解得e=ca12.又因为e<1，所以该椭圆离心率的取值范围为12,1.【一题多解】设椭圆与y

10、轴交于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2时，点P对两个焦点的张角最大，故F1B1F2F1PF2=60°，从而OB1F230°.在RtOB1F2中，e=ca=sinOB1F2sin 30°=12.又因为e<1，所以该椭圆的离心率的取值范围为12,1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.将椭圆C1：2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C2，则C2与C1有()A.相等的短轴长B.相等的焦距C.相等的离心率D.相等的长轴长【解析】选C.把C1的方程化为标准方程，即C1：x22+y24=1，从而得C2：x2

11、2+y21=1.因此C1的长轴在y轴上，C2的长轴在x轴上.e1=22=e2，故离心率相等.2.(2015·广安高二检测)已知P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，若PF1·PF2=0，tanPF1F2=12，则此椭圆的离心率为()A.12B.23C.13D.53【解析】选D.由PF1·PF2=0，得PF1F2为直角三角形，由tanPF1F2=12，设|PF2|=m，则|PF1|=2m，又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c=a2-b2)，即4c2=5m2，c=52m，而|PF2|+|PF1|=2a=3m，所以a=

12、3m2.所以离心率e=ca=53.【补偿训练】设e是椭圆x24+y2k=1的离心率，且e12,1，则实数k的取值范围是()A.(0，3)B.3,163C.(0，3)163,+D.(0，2)【解析】选C.当k>4时，c=k-4，由条件知14<k-4k<1，解得k>163；当0<k<4时，c=4-k，由条件知14<4-k4<1，解得0<k<3，综上知选C.二、填空题(每小题5分，共10分)3.在平面直角坐标系中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点a2c,0作圆的两切线互相垂直，

13、则离心率e=_.【解析】如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，所以OAP是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22.答案：224.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为_.【解析】设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S=12×2c×b=bc=1b2+c22=a22.所以a22.所以a2，所以长轴长2a22.答案：22【拓展延伸】基本不等式在椭圆中的应用在椭圆定义和性质中，有|PF1|+|PF2|=2a和a2=b2+c2两个等式，

14、为基本不等式中“和定积最大”准备了条件.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·成都高二检测)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD.求椭圆C的离心率.【解题指南】由BF=2FD，建立关于参数a，c的等量关系，求其离心率便可.【解析】不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中F是左焦点，B是上顶点，则F(-c，0)，B(0，b)，设D(x，y)，则(-c，-b)=2(x+c，y)，所以2(x+c)=-c,2y=-b,解得x=-32c，y=-b2.又因为点P在椭圆C上.所以-32c2a2+-b22b2=1.整理得c2a2=13，所以e=ca=33.6.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(-2，0)，且长轴长与短轴长的比是23.(1)求椭圆C的方程.(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.【解析】(1)由题意知c=2,ab=23,a2=b2+4,解得a2=16,b2=