(完整版)现代控制理论试卷和答案解析总结

1、范文范例学习指导2012年现代控制理论考试试卷一、（10分，每小题 1分）试判断以下结论的正确性， 若结论是正确的，（ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。（ ×）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（ ）4. 对线性定常系统 x& Ax ，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵 A的特征值都具有负实部是一致的。（ ）5. 一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。（ ×）6. 对一个系统，只能选取一组状态变

2、量；（ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；（ ×）8. 若传递函数 G(s) C (sI A) 1 B 存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；（ ×）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的， 则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（ ×）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。word 整理版范文范例学习指导二、已知下图电路，以电源电压 u(t) 为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R2上的电压为输出量的输出方程。（10 分）解：（1）由电路原理

3、得：di L1R11dt1 iL1ucLuLL111di L2R1ucdt2 iL2L2L2duc11iL2dtiL1ccuR2R2iL2gR1011i L1LLiL111L1gR21i L20iL20 uL2L2g0uc110ucccword 整理版范文范例学习指导iL1uR20R2 0 iL 2uc二（10 分）图为 R-L-C 电路，设 u 为控制量，电感 L 上的支路电流和电容 C上的电压 x2 为状态变量，电容 C上的电压 x2 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。解：此电路没有纯电容回路， 也没有纯电感电路， 因有两个储能元件，故有独立变量。以电感L 上的电

4、流和电容两端的电压为状态变量，即令：i Lx1 , uc x2 ，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：?R2 C x2x2L x10?R1 (x1C x2 )L x1u0?从上述两式可解出x1 ， x2 ，即可得到状态空间表达式如下：?R1R2R1R2x1( R1R2 )L( R1R2 )Lx1( R1R2)L?R1x2u11x2( R1R2 )C( R1R2 )C( R1R2 )Cword 整理版范文范例学习指导y101x10R1 R2R1R2uy2 =R1 R2R1 R2x2+ R1R2三、（每小题 10 分共 40 分）基础题（1）试求 &&&y 3y& 2

5、 y&&&u u 的一个对角规范型的最小实现。 （10 分）Y (s)s31(s1)(s2s1)s2s1111 4分U ( s)s33s2( s1)( s2s2)s2s2s 2s 1不妨令X1( s)1， X 2 (s)s1 2分U (s)s2U (s)1于是有x&2xu11&x2ux2Y(s)1X1 (s) X 2 ( s)，所以 Y (s)U (s)X1( s)X 2 ( s) ，即有又 U (s)U (s)U ( s)y u x1 x2 2 分最终的对角规范型实现为&2 x1ux1&x2ux2yx1x2 u则系统的一个最小实现为：&

6、amp;201x01xu, y 1 1 x + u 2 分1（2）已知系统 x0x1u, y 1 2x ，写出其对偶系统， 判断&1232word 整理版范文范例学习指导该系统的能控性及其对偶系统的能观性。（10 分）解答：&021uxx132 2分y12 x 2分rankU C rank b Ab562,系统状态完全能控 L L L 3分rank32则对偶系统能观L L L 3分（3）设系统为& t10xt1u t , x(0)1x0211试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10 分）。解e t0te2t0 . . .3 分x (t )t x(0)tt Bu( )

7、d分0 . . . .3e t01t e t012t02 td0e101e分. .2eett2t0eet2 td. . . .1分e t1 e t1= e 2t1 1 e 2t= 1 1 e 2 t22 .1 分word 整理版范文范例学习指导111（ 4）已知系统 x0xu 试将其化为能控标准型。 （10 分）01解： uc12101. .2 分10， uc112210111. .1分p1 0 1 uc0 1 112222p2p1A112211P22, P 11 12 21 10 01 11 11 12 2. .1 分. .2 分01x0. .4分能控标准型为 x1u01四、设系统为&

8、;1 100x11x1x1&01 00x20x2x2x&3003 0x3u,y 0 1 4 05x3x&0004x40x44试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10 分）解：能控性分解：&%3000x5x11&%0-110x1LL（分）x22&%u,4%00-10x0x33&%00040x4x4%x1%y4010x2%x3x%4word 整理版范文范例学习指导能观测性分解：&%30005xx11&%0-1000xx22（ 分）&%u,L L 4%01-101xx33&%000-40xx4

9、4%x1%y410 0x2%x3%x4传递函数为 g(s)4520LLL(2分)s3s3五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统方法一：?01xx 的稳定性。（1011分）?解：x1x2?x2x1 x2原点 xe =0 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即v( x)x12x220?x2 )2x2 2v( x) 2x1 x12x2 x22x1 x22x2 ( x1?当 x10 ，x20 时， v( x)0 ；当 x10 ，x20 时，v( x)0 ，因此 v( x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：v( x)1( x1 x2

10、 )22x12x22 = x13 21 2x1x21x221 2word 整理版范文范例学习指导为正定，而?(x12x22 )v( x) (x1x2 )( x1x2 ) 2 x1 x1x2 x 2为负定的，且当 x，有 V ( x)。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。方法二：解：或设 Pp11p12p21p22TPAI 得0 1p11p12p11p120 11 0则由AP1 1 p12p22p12p221 1012 p111p113312p11p1222p11p12p220p221Pp12p2212 p122 p22111p1222p11p123130det25P11p12det 202p22

11、1142可知 P 是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的六、 （20 分）线性定常系统的传函为Y (s)s 4U ( s)( s 2)( s1)（1）实现状态反馈， 将系统闭环的希望极点配置为4, 3 ，求反馈阵K。（5分）（2）试设计极点为（-10,-10）全维状态观测器（ 5 分）。（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4 分）（4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4 分）word 整理版范文范例学习指导注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为：解：（1） Y(s)s 42s4U (s)(s 2)( s 1)s3s 2系统的能控标准型实现为：&

12、010分X2Xu, y 4 1 X 131系统完全可控，则可以任意配置极点1 分令状态反馈增益阵为 Kk1k21 分则有A BK01，则状态反馈闭环特征多项式为k2 2k1 3IA BK2(k1 3)(k22)又期望的闭环极点给出的特征多项式为：( s4)( s 3) s27s 12由2( k1 3) (k22) s27s12可得到 K410 3分（ 2）观测器的设计：由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。1 分令 Ee1e2T1分&( AEC )xBuEy 可得其期望的特征多项式为 :由观测器 x?f ( s)detI( AEC )2(4

13、 e1e2 3) (10e1 4e2 2)f * ( s)(10)(10)2 201001195Tf * (s)f (s)E4 分3 3（ 3）绘制闭环系统的模拟结构图第一种绘制方法：&x?( AEC )x?BuEyword 整理版范文范例学习指导114411AEC0134 133239538610433344110&?33?( ABuEyuxEC ) x386104x133x2vu11ss32410223113 y953x1x1223y41?4x2s3223583?y1 x1s443 4 分（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！）第二种绘制方法：01011&

14、amp;?(?3(?)?Ey?)uyxAx Buy3x95y213word 整理版范文范例学习指导x2x1vu11x1yss4324101x21x1?yss4状态观测器部分3213233（ 4）闭环前系统状态完全能控且能观， 闭环后系统能控但不能观 （因为状态反馈不改变系统的能控性， 但闭环后存在零极点对消， 所以系统状体不完全可观测） 4 分word 整理版范文范例学习指导A 卷一、判断题，判断下例各题的正误，正确的打，错误的打×（每小题1 分，共 10 分）1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（）2、对于给定的系统，状态变量个数和选

15、择都不是唯一的（×）3、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（×）4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）5、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）6、状态的能空性是系统的一种结构特性, 依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（）7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）8、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（）9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（）10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，

16、那么表明该系统是不稳定的（×）二、已知系统的传递函数为Y(s)s310s231s32G (s)(s25s6)( s5)U (s)试分别用以下方法写出系统的实现：（ 1） 串联分解（ 2） 并联分解（ 3） 直接分解（ 4） 能观测性规范型（ 20 分）解：G (s)s310s231s3212s310s231s30s3 10s231s 30对于 s32有10s231s 30（1）串联分解22s310s231s30(s 5)( s 2)( s3)word 整理版范文范例学习指导串联分解有多种，如果不将2 分解为两个有理数的乘积，如 218，绘制该系统串联分解4的结构图， 然后每一个惯性环

17、节ki的输出设为状态变量，则可得到系统四种典型的实pi )( s现为：32221112131s30( s2)(s3)(s5)( s 2)( s 2) (s5)s10s1121112( s2)( s 3)( s5)( s2)( s3)( s5)则对应的状态空间表达式为：20022001&13 0&23 0 X 0 uXX 0 u X0150,0150y 0 0 1 X uy 0 0 1 X u&2001&200113 013 0 X 0 uXX 0 u X0250,0150y 0 0 1 X uy 0 0 2 X u需要说明的是，当交换环节相乘的顺序时，对应地交换

18、对应行之间对角线的元素！&2002130X0u211X如的实现为：(s 2)(s 3)(s 5)0150y0 01 Xu&5002130X0u211X则的实现为：0120(s5)(s 3)(s2)y0 01 Xu依次类推！（2）并联分解s310s22k1k2k331s 30 (s1)( s2 ) ( s 3 )word 整理版范文范例学习指导&100b1020Xb2u实现有无数种，若实现为X00b3只要满足3yc1c2c3 Xuc1b1 =k1， c2b2 =k2， c3b3 =k3即可22311例如：10 s23，则其实现可以为：s331s30(s2)(s3)(s5)

19、200150025001 3&3030 X1 u&X0&2 0 X 1 3 uX2 0 X1 u X0如：0051,0031,0310y21 1X uy111 Xu3y 1 3 2 3 X u33（3）直接分解1000&10X0uX03031101y 1 0 0 X u（ 4）能观测规范型10301&0131X 0uX00100y001 Xu三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统&Ax, t 0。现知，对应于两个不同初态x的状态响应分别为13 e, x(t )4x(0)3 e12t1 e3t25 e t3 e3 t4； x(0), x(t)44

20、t1 e3t15 e t3 e3t222试据此定出系统矩阵A。（ 10 分）word 整理版范文范例学习指导解：()At(0)e xx t可得3 e t1 e3tAt44e3 e t1 e3t221e te3t2e te3t5 e t3 e3t113 e t1 e3t5 e t3 e3 t1244244445 e t3 e3 t1 13 e t1 e3t5 e t3 e3t1 12222221 e t1 e3t441e te3t21t33t1t3 3 tdeAt2 e2 e4 e4 e11At 01 e tt0dte t3e3t3 e3t4122四、已知系统的传递函数为G ( s)4 sa2s

21、312s222 s12（ 1）试确定 a 的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；（ 2）在上述 a 的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性；（ 3）若 a 3 ，写出系统的一个最小实现。 （ 15 分）解：（ 1）因为4 sa2s2a2 saG(s)22s 12s36s211s 6s 1 s2 s 32s3 12s2因此当 a1 或 a2 或 a3 时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统（2）可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一0100&001x 0uy 2a 2 0 xx61161存在零极相消，系统不能观2（3） a3 ，则有 G (s

22、)s2 3s 2可写出能控标准形最小实现为010x&xuy20 x231word 整理版范文范例学习指导此问答案不唯一，可有多种解五、已知系统的状态空间表达式为&20x0x32u1y 2 5 x（ 1）判断系统的能控性与能观测性；（ 2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？（ 3）试将系统按能控性进行分解；（ 4）求系统的传递函数。 （ 15 分）解：（ 1）系统的能控性矩阵为U C00b Ab， detU C 0, rankU C 1 212故系统的状态不能控系统的能观测性矩阵为U Oc25115 0, rankU O2cA19， detU C10故系统的状态不能观测4分（

23、 2） rankU C1，因此能控的状态变量数为11分（ 3）由状态方程式200x&2x11x&x1u&3x12x2u32x2可知是 x2 能控的， x1 是不能控的2分（ 4）系统的传递函数为G(s)c sIA1c2sIA2153 分bb22只与能控子系统有关s六、给定系统1ax&xa1解李雅普诺夫方程，求使得系统渐近稳定的a 值范围。（ 10 分）word 整理版范文范例学习指导七、伺服电机的输入为电枢电压，输出是轴转角，其传递函数为word 整理版G0 ( s)范文范例学习指导50s s2（1）设计状态反馈控制器uKxv ，使得闭环系统的极点为5j5 ；（

24、 2）设计全维状态观测器，观测器具有二重极点15；（ 3）将上述设计的反馈控制器和观测器结合，构成带观测器的反馈控制器，画出闭环系统的状态变量图；（ 4）求整个闭环系统的传递函数。 （ 20 分）word 整理版范文范例学习指导word 整理版范文范例学习指导word 整理版范文范例学习指导第二章题A 卷第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打，错误的打×（每小题1 分，共10分）11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（）12、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（×）13、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似

25、离散化方法比一般离散化方法的精度高（×）14、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）15、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）16、状态的能空性是系统的一种结构特性, 依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（）17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）18、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（）19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（）20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（×）第二题：已知系统的传

26、递函数为 G (s)Y( s)s310s231s32 , 试分别用以下方法写U ( s)(s25s6)( s1)出系统的实现：（ 5） 串联分解（ 4 分）（ 6） 并联分解（ 4 分）（ 7） 直接分解（ 4 分）（ 8） 能观测性规范型（ 4 分）（ 9）绘制串联分解实现时系统的结构图（4 分）解：G(s)s310s232s301ss310s231s3010s231s30s3对于s有s310s231s30（3）串联分解sss310s231s30(s1)(s 2)( s3)串联分解有三种ss111s111ss310s231s30( s 1)(s2)( s3)(s1)(s2)(s3)(s 1)

27、 ( s2)(s 3)11). (s1. (s1121112) (133) )(1(s2)3)( s1).(1( s2) ). (s3)( s1) .( s(s对应的状态方程为：word 整理版范文范例学习指导100110011001&12 0&120&12 0X 0 uXX 1 u XX 0 u X013,1230,01300y 0 0 1 Xy 0 0 1 Xy 0 1 3 X（4）并联分解s1 223 2s310s231s30(s 1)( s2)(s3)实现有无数种，其中之三为：10011001 21001 4&02 0&02 0 X&02 0 X1 uXX 1 u X2 u X003,003,0033 213 2y1 2 23 2 Xy 1 1 1 Xy 2 2 1 X（3）直接分解1