高数B(2)6~10章知识点总结

1、第6章定积分§ 6. 1 定积分的概念与性质1概念定积分表示一个和式的极限bna, b n等分naf (x) dx limf ( i ) xilimf ( i ) xi0 i1ni 1其中：maxx1 ,x2 ,xn ， xixixi 1 ； ixi 1 , xi；几何意义：表示 yf ( x) ， y0， xa ， xb 所围曲边梯形面积的代数和可积的必要条件：f (x) 在区间 a, b 上有界可积的充分条件：（可积函数类）（1）若 f ( x) 在 a, b 上连续，则bf ( x)dx 必存在；a（2）若 f (x) 在 a, b 上有界，且只有有限个第一类间断点，则bf (

2、x)dx 必a存在；（3）若在上单调、有界，则bf ( x)a, b( ) 必存在。f x dxa2. 性质（1） (b()0；b()b()ffdxfdtx dxxtaaabaa（2）f ( x)dxf (x)dx ；f ( x)dx0aba（3）b() ；bkdxbdx b akaaa（4）bg (x) dxbbf ( x)f (x)dxg( x)dxaaabcb（5）f (x)dxf (x)dxf ( x)dxaac（6）若，bbf (x) g( x)xa, b，则()( )af x dxg x dxa推论 1：若f ( x) 0，xa, b， 则b( )0fx dxa推论 2：bbf (

3、x)dxf (x) dxaa（7）若 mf ( x) M ，xa, b ，则()b()a( )dxbam bf xMa（8）若 f (x) 在 a, b 上连续， g( x) 在 a, b 上不变号，存在一点(a, b)bf (bf ( x) g (x)dx) g (x)dxaa特别地，若 g( x)1，则至少存在一点a, b，或(a, )b ，使得b1bf ( x) dx f ()(ba)f ()f ( x)dxab aa（9）若 f ( x) 在 a, b 上连续，则其原函数(x)xf (t)dt 可导，且a( x)dx(f (t)dt) f (x)dxa（10）若 f ( x) 在 a,

4、 b 上连续，且 F( x)f ( x) ，则bbF (b) F (a)f ( x)dx F ( x)aa§6. 2定积分的计算1.换元法bx( t )(t )dtf ( x)dxf (t)a2.bbbbbb分部法udvuvvdu ，或uv dxuvvu dxaaaaaa3. 常用公式af (x)为偶函数aa2 f (x)dx（1） f ( x) dxf (x)f ( x) dx0a00f (x)为奇函数aaf ( x) C ， g( x) 为连续偶函（2）f (x)g( x)dx C g( x)dx ，其中 f (x)a0数（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）a TTf (x

5、) dxf ( x) dxa0nT，其中 f (x T ) f ( x)Tf (x) dx nf ( x) dx002f (sin x) dx2f (cos x) dx002f (sin x,cos x) dx2 f (cos x,sin x) dx001nn2cos xdx2 cosn xsinn xdx2001sinn xdx2n022 f (sin x) dx0xf (sin x) dx0f (sin x) dx202n42nx dx n为偶数sinx dxsin000n为奇数(n 1)!n!n为偶数2 sin n x dx2 cosn2x dx00(n1)!n为奇数n!( x)f (t

6、 ) dtf(x)( x)f( x)(x)( x)（10）b2b2 (x) dxb2 ( x) dxf (x) g( x) dxfgaaa§ 6. 3 广义积分1. 无限区间的积分（无穷积分）（1）定义与性质f ( x)dxlimbf ( x)dx ，若极限存在，则原积分收敛；abablimbf (x)dxf ( x) dx ，若极限存在，则原积分收敛；aaf ( x) dxcf ( x)dxf ( x) dx ，必须右边两积分都收敛， 原积分才收敛；cf ( x) dx ，f ( x)dx ，kf ( x)dx ，具有相同敛散性；abaf ( x) g(x) dxf (x)dxg

7、( x)dx ，即收敛积分和仍收敛aaa（2）审敛法比较审敛法：设 0f ( x)g( x) ，则g()x dx收敛()fx dx收敛aaf ()x dx发散()g x dx发散aa比较法的极限形式：设limf ( x)与0l收敛性相同l ，则g ()x dx()f x dxl发散性相同x ag(x)aa0柯西审敛法：设 lim x p f ( x)l ，则f ( x)dx0l, p1收敛发散xa0l, p1dx收敛p1特别地，ax p发散p1绝对收敛与条件收敛：收敛，则收敛，称绝对收敛af (x)dxf ( x) dxa收敛，称条件收敛发散，而af ( x)dx2. 无界函数的积分（瑕积分）

8、（1）定义与性质bbf (x)dx （ lim f ( x)f ( x)dxlim），若极限存在，则原积分收敛；a0 ax bbb（ lim( )），若极限存在，则原积分收敛；f ( x)dxlimf ( x)dxx af xa0abcbf (x)dx （ lim f (x)），两积分都收敛，原积分才f ( x)dxf ( x) dxcaax c收敛；bbf ( x) dx ，kf ( x)dx ，具有相同敛散性；aabbbf (x)g( x) dxf ( x)dxg (x)dx，即收敛积分和仍收敛aaa（2）审敛法比较审敛法：设f (x), g (x)非负，且limf ( x)，lim g(

9、 x)xaxabbg(x)dx收敛f ( x) dx收敛若 0aaf (x) g( x) ，则bbf ( x)dx发散g( x)dx发散aa比较法的极限形式：若 limf ( x)l ，则x ag( x)b与b0l收敛性相同g (x)dxf (x)dxl发散性相同aa0柯西审敛法：若 lim(x) p()l，或m(ilb) x()pf xl，则af xx axbb0l, 0p1收敛f ( x) dxl, p1发散a0bdxbdx收敛p1特别地， a( x a) p或 a(bx) p 发散p1§ 6. 5典型例题解析1变限积分的求导与应用解题思路（1）利用公式( x )f (t ) d

10、tf ( x) (x) f ( x) ( x)(x )（2）若被积函数含积分限变量，需用变量代换化为变限积分的一般形式求解；（3）变限积分是由积分限位置变量决定的函数，它与积分变量无关。利用变限积分的求导同样可以分析函数的特性。2利用定积分定义求和式的极限解题思路 若将积分区间 a,b 等分， xib a ，取ixiab a i ，则nnlimnnb a i) baf (x)dxf ( i ) xi limf (abnni 1nnai13. 利用定积分的性质求极限解题思路（1）若极限含定积分，可利用定积分的中值定理求解；或利用定积分的估值性质建立不等式，用夹逼定理求解；（2）若极限含变限积分，

11、可利用罗必达法、夹逼定理和周期函数的定积分性质求解。5利用换元法求定积分解题思路（1）计算定积分时，必须考虑积分变元的变化范围和应用牛莱公式的条件。（2）应用第一类换元法（凑微分法）直接求解；（ 3 ） 若被 积函 数含a22 (x) ，a22 ( x) ，2 ( x)a2 ，分 别令( x )a s i nt， a tant ， a sect ；（4）作变量代换时须相应改变积分限。一般地，积分区间为a, a ，令xt ；积分区间为 0, a，令 x at 。（5）被积函数为u( x)，或v(x)型积分变量代换条件： 积分上下u(x)v( x)u( x)v(x)限不变或换位，变换前后形式为u(

12、 x)v( x)；或v( x)u(x)v(x)u(x) v( x)u( x) v( x)u(x)u( x)v(x)6利用分部法求定积分解题思路一般计算方法与不定积分分部法类似。（1）若被积函数含f ( x) ， f ( x) ，将 f (x)dxdf ( x) ， f ( x)dxdf ( x) 取作 dv ，其余部分取作 u ；（2）若被积函数含变限积分，将变限积分取作u ，其余部分取作 dv ；或将原积分化为二重积分，再改变积分次序求解。7利用公式求定积分解题思路 利用恒等变形和变量替换法将积分或部分积分化为已知公式标准型求解8利用积分区间的对称性计算定积分解题思路（1）若被积函数是奇、偶

13、函数，用奇偶函数的定积分性质求解aaa2 f ( x)dx f ( x)为偶函数f ( x) dxf ( x)f ( x) dx0a00f ( x)为奇函数（2）若被积函数不是是奇、 偶函数作负代换 xt 求解；（3）若，为连续偶函数，则llf ( x)g (x)dxC g(x)dx ，f (x) f ( x) C g ( x)l0注意，可直接验证 f( x) f ( x)0，则Cf (x0 )f ( x0 ) ， x0a, a9分段函数及含绝对值号函数的定积分解题思路：（1）以函数分段点将积分区间分为相应子区间，利用定积分的对区域可加性求解；（2）当被积函数是给定函数的复合函数时，用变量代换

14、化为给定函数的形式求解；（3）令绝对值表达式为零，去掉绝对值符号，再用分段函数积分法求解。10含定积分、变限积分方程的求解解题思路（1）若方程含定积分，令定积分为 A ，方程两边再取相同积分限的定积分求解；（2）若方程含变限积分，方程两边求导化为微分方程求解；11利用定积分定义，性质和几何意义有关命题的证明技巧解题思路 （1）利用已知不等式将函数改写为和式的极限，再由定积分的定义求证；（2）当函数单减时，曲边梯形的面积 n 个窄条矩形面积之和；12应用介质定理、微分和积分中值定理的命题解题思路（1）若结论不含，则将结论改写为F (x)0 的形式，左边设为辅助函数，用介质定理、微分和积分中值定理

15、求解；（2）若结论含，将结论左边改写为某微分中值定理的标准形式（右边含），再由此作辅助函数（有时需将所含定积分化为积分上限的函数），用微分和积分中值定理求解；（3）若结论为含的微分方程，可由观察法或解方程求出辅助函数，用微分和积分中值定理求解。13定积分不等式的证明解题思路常用定理：定积分的比较定理，估值定理，函数单调性判别法，微分与积分中值定理，泰勒公式；常用不等式： a2b22ab ，a12 (a 0) ，柯西不等式ab2b2b2 (x) dxf ( x) g (x) dxf( x) dx gaaa常用等式： bbdx ， ln bb1 dx ， f ( x)f (a ) 0时xaf (

16、x) f (a)f (t )dtaaa xa（1）利用换元法、分部法或周期函数的定积分性质直接求证；（2）若仅知被积函数连续： 作辅助函数， 将结论所含定积分化为变限积分，移项使右边为零，左边即为辅助函数， 再用函数单调性或求证。（3）若已知被积函数可导，且至少有一端点f (a)0 ：将函数化为变限积分，即 f ( x)xf ( )( xa) 求证；f (t )dt ，或 f ( x) f ( x) f (a)a（4）若已知被积函数二阶可导：将被积函数按泰勒公式展开并缩放，利用定积分比较定理求证。14广义积分的计算解题思路 分清积分的类型。 一般将无穷积分， 瑕积分化为常义积分， 再取极限求解

17、；混合型广义积分则须拆分积分区间，按无穷积分和瑕积分分别求解。§ 6. 4定积分的应用1定积分的微元法nb设所求量 A 可表为 AAi ，则 Ai dAf ( x) dx ，于是 Af ( x) dxi 1a2直角坐标下平面图形的面积（1）由y，xb 及x轴所围的平面图形的面积f ( x) x aSbf (x) dxa（2）由 yf1 ( x) ， yf2 ( x) ， xa ， xb 及 x 轴所围的平面图形的面积Sbf1 (x) f2 (x) dxa（3）由 x1 ( y) ， x2 ( y) ， yc ， yd 及 y 轴所围的平面图形的面积Sd1( y)2 ( y) dyc（

18、4）由参数方程表示的曲线所围面积可作换元处理bx(t )f (x) dx(t ) (t) dty(t )a3极坐标下平面图形的面积一般若平面图形的边界是圆或圆弧， 可考虑用极坐标求解。（1）由 rr ( ) ，() 所围的平面图形的面积S1r 2 ( ) d2（2）由闭合曲线 r r () 所围的平面图形， 若极点在图形内部，则面积122( ) dSr204平行截面面积已知的立体体积已知平行截面面积为 S(x) ，xa, b ，或 S( y) ，yc, d ，则其体积b，或dVS(x) dx( )dyVS yac（1）一曲线绕坐标轴一周的旋转体体积Vxb2 (x) dx ， Vyd2 ( y)

19、 dyfca（2）两曲线绕坐标轴的一周的旋转体体积bd12 ( y)22 ( y) dyVxf12 ( x) f22 ( x) dx ， Vyca（3）曲边梯形面积bx0 一周的体积为f (x)dx 绕 y 轴或 xab，或b，Vy2 x f ( x) dxVx x0a 2( x0 ) x() f x dxax x0dy0 一周的体积为曲边梯形面积( y)dy 绕 x 轴或 ycddVxc 2y ( y)dy ，或 Vy y0c2 ( y0y) ( y)dy，yy05定积分在经济分析中的应用（1）由边际函数求原函数原经济函数 F (x) 为其边际函数F ( x) 的不定积分；原经济函数的增量F

20、 (x)为其边际函数F (x)的定积分，即 F (x)F (x) dx， ( )b( )F xF x dxa（2）由边际函数求最优问题q0最低成本：C ( q0 )0 ，C (q0 )0CminC (q)dqC00最大收益：R (q0 )0，R (q0 ) 0Rmaxq0R (q)dq0最大利润： L ( q0 )0 ，L (q0 ) 0Lmaxq0R ( q) C (q) dq C00（3）消费者剩余和生产者剩余消费者剩余： CSq*q*D (q)dq p* q* ；生产者剩余： PS p* q*S( q) dq00其中， p* 均衡价格， q* 均衡供需量， D (q) 需求函数， S(q

21、) 供给函数。（4）资本现值和投资问题资本现值： yTrt dt ；纯收入贴现值： R y Af (t)e0其中， f (t ) 收入率， e rt 按连续复利的折算因子，T 投资时间， A 投资额17定积分在几何方面的应用解题思路（1）将 a, b 无限分割，小曲边梯形宽为dx ，高为 f (x) ，则面积微元 dSf ( x) dx ，再将这无穷多个小曲边梯形面积微元“加”起来得曲边梯形的面积Sbf( )；ax dx（2）将 a, b 无限分割，小区间宽为 dx ，截面积为f 2 ( x) ，则体积微元dVxf 2 ( x)dx ，再将这无穷多个圆形薄片体积微元“加”起来得曲边梯形的面积绕

22、 x 轴一周的体积 Vbf 2 (x)dx ；a（3）将,无限分割，小曲边扇形圆心角为 d，半径为 r ( ) ，则面积微元 dS1r 2 ()d ，再将这无穷多个小曲边扇形面积微元“加”起来，得曲边2b 12( )d。扇形的面积 Sra 2第 7 章 多元函数微积分§ 7. 1 多元函数微分学1多元函数，极限与连续（1）空间直角坐标系空间任意一点 M 都与一个三元有序数组x, y, z 一一对应，称 x, y, z为点M的坐标，记为 M x, y, z 。空间任意两点 M 1 x1 , y1 , z1 ， M 2 x2 , y2 , z2 之间的距离为222M 1 M 2x2x1y

23、2y1z2z1（2）曲面与方程在空间直角坐标系中，任何一个方程 F ( x, y, z) 0 ，都表示一张曲面；曲面上任一点的坐标都满足方程； 不在曲面上的点不满足方程。平面：AxByCzD0（任何一个三元一次方程都表示空间的一张平面）柱面：F x, yF x, y 00 其母线平行于 z 轴，准线为平面曲线z 0球面： xx0 2yy0 2zz0 2R2 ；x2y2z2R 2椭球面： x2y 2z21a 2b2c 2旋转抛物面： zx2y 2其图形为平面曲线zx2或 zy 2绕 z 轴所成曲z0x0面双曲抛物面： zx 2y2（3）多元函数二原函数：zf x, yx, yD二元函数 zf x

24、, y 表示一张空间曲面，而其在xoy 平面上的投影即为函数的定义域。多元函数：u fx1 , x2 , , xnx1 , x2 , , xnD（4）二元函数的极限与连续设 z f ( x, y) 在 P0 ( x0, y0 ) 的某去心邻域内有定义，当P( x, y) 以任意方式趋近于 P0 ( x0 , y0 ) 时，函数 f(x, y) 的值趋近于确定的常数 A ，则称 A 是函数zf ( x, y) 趋近 P0 (x0 , y0 ) 时极限。记为lim fx, y A ，或 lim f x, y Ax x0P P0y y0若 zf ( x, y) 在 (x0, y0 ) 处连续，则 l

25、im f x, yf x0 , y0x x0yy0（5）性质与定理：多元函数的和，差，积，商仍为连续函数（商的分母不为零）；多元连续函数的复合函数仍为连续函数；有界闭区域D 上的连续函数必有最值（有界）；有界闭区域 D 上的连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值；多元基本初等函数在其定义区间内为连续函数多元初等函数在其定义区间内为连续函数2多元函数微分法（1）二元函数的偏导数zlimf xx, yf x, y ； zlimf x, yyf x, yxx0xyy 0y（2）二元函数的全微分dzz dxz dyxy偏导数存在是可全微分的必要条件，偏导数连续是可全微分的充要条件。（3）复合函

26、数微分法z f u( x), v( x)dzf duf dv （称为全导数）dxu dxv dxzfu( x), v(x, y)zf dufv ，zfvxu dxvxyvyz f u( x, y), x, yzfuf， zfufxuxxyuyyz f u( x, y), v( x, y)zzuzv ， zzuzvxuxvxyuyvy（4）一阶全微分形式不变性dzz dxxz dyyz duuz dvv（5）隐函数微分法，设 zf x, y 是由方程 F x, y, z0 确定，则zFx； zFyFzxFzy（6）二阶偏导数与全微分2 zf xx x, y ， 2 zf xyx, y ， 2 z

27、f yx x, y ， 2 zf yy x, yx 2x yy xy22 z2 z若函数的两阶混合偏导数连续， 则混合偏导数相等，即y xx yd 2 z( dz)xdx(dz)ydyf xx dx22 f xydxdyf yydy 23多元函数的极值和最值（1）无条件极值设 zf x, y 二阶可偏导必要条件：f x x0 , y00f y x0 , y00B2AC0A0 极大值有极值Afxxx0, y0A0 极小值充分条件：设 Bfxyx0, y0，则 B2AC0无极值Cf yyx0, y0B2AC0不确定（2）条件极值设 zf x, y ，求在条件x, y0下的极值作拉格朗日函数：F x

28、, y,f x, yx, yFxf x x, yxx, y0Fyf y x, yyx, y0解出 x, y 就是可能极值点Fx, y0注意：从 x, y 0 中解出 y y x 代入 z f x, y ，化为 zf x, y(x) 的一元函数极值问题来解决； 条件极值点唯一时即为所求最值点。（3）多元函数的最值f 最值最值 驻点值，边界值§7.2 二重 积 分1二重积分的定义nf x, y dlimf i , ii （ d为面积元素）D0 i 1由定义知，二重积分为一个确定的数值。从几何上可以解释为： 若在区域 D上， f x, y0 ，则二重积分表示以区域D 为底，以曲面 zf x

29、, y 为顶的曲顶柱体的体积。2二重积分的性质（1）fx, yg x, ydfx, y dg x, y dDDD（2）fx, y dfx, y dfx, y d（ DD1D 2 ）DD1D2（3） dD ，dxdy D ， r drdD （ D 表示 D的面积）DDD（4）若 f x, yg x, y ， x, yD ，则fx, y dg x, y dfx, y dfx, ydDDDD（5）若 mf x, yM ， x, yD ，则m Dfx, y dM DD（6）若 f x, y 在区域 D 上连续，则在 D 上至少存在一点,，使得f x, y df ,DD（7）二次积分的无关性质，b2xb

30、2ydxf x, y dydyf y, x dxa1xa1y3二重积分的计算（1）直角坐标系下的计算（ ddxdy ）fx, y dfx, y dxdyDD若 D 为axb ， y1 xyy2 x ，则f x, y dxdyby2xx, y dydxfDay1x若 D 为 c yd ， 1yx2 y ，则f x, y dxdyd2 yx, y dxdyfc1yD若 D 为 a xb ， y1 xy y2 x ；或 cy d ， 1 y x2 y ，则by2xf x, y dyd2yf x, y dxdydxxdyf x, y dxay1c1yD注意：如下积分须改变积分次序：sin x dx ，

31、 sin x2 dx ， cosx2 dx ， e x2dx ， ex2y1 dxdx ， ex dx ，xln x（2）利用 D 域的对称性和函数奇偶性简化计算若 D 关于 y 轴对称（ D1D ， x0 ），则0fx, yfx, yf x, y dxdy2 f x, y dxdyfx, yfx, yDD 1若 D 关于 x 轴对称（ D 2D ， y0 ），则0fx,yfx, yf x, y dxdy2 f x, y dxdyfx,yfx, yDD 2若 D 关于原点对称（ D3 是 D 被过原点的直线切割的一半） ，则f x, y dxdy0fx,yfx, y2 f x, y dxdyf

32、x,yfx, yDD 3若 D 关于 yx 对称，则 fx, y dxdyf y, x dxdyDD（3）极坐标系下的计算（ drdrd）fx, y dfr cos , r sinrdrdDD若极点在区域 D 外部， D ：，1r2，则f r cos , r sin rdrdd2f r cos ,r sin rdr1D若极点在区域 D 边界上， D ：， 0r，则fr cos , r sinrdrddfr cos, r sinrdr0D若极点在区域 D 内部， D ： 02， 0r，则2df r cos ,r sin rdrf r cos , r sin rdrd00D注意：凡积分域 D 为：

33、圆、圆环、扇形、环扇形宜用极坐标计算。（4）二重积分变量替换公式fx, y dxdyfx(u,v), y(u, v) J dudvDD其中，uv 平面上区域 D 令 xx(u, v), yy(u, v)xy 平面上区域 D ，则该变换xxuu的雅可比行列式为 Juv，且 1xyvvyyJuvxy§ 7. 3典型例题解析1利用多元函数的概念解题解题思路（1）利用函数与复合函数的定义求函数的解析式；（2）利用初等函数的定义域与性质求多元函数的定义域。2利用多元函数的极限和连续的定义解题解题思路（1）利用多元函数极限的定义求极限；（2）利用等价无穷小的替换、变量替换、夹逼定理等一元函数的方

34、法求极限；（3）利用不同路径的不同极限值判断极限不存在；（4）二元函数连续与间断与一元函数类似，关键是二元函数极限的求法不同。3多元复合函数的偏导数和其微分法解题思路（1）分清函数复合的结构，利用链导法求解；（2）求某点偏导数时， 可先把 y （或 x ）的值代入求对 x（或 y ）的偏导数，这样可简化计算；（3）利用全微分形式不变性，函数对中间变量求全微分，中间变量对自变量求全微分，然后带回求解；（4）对幂指函数或乘除因子较多的函数可利用取对数求导法公式求解；（5）对多元复合隐函数分别求偏导数后，有时要联立方程求出各偏导数；（6）求二阶偏导数时，可对中间变量编号处理，特别注意一阶偏导数仍是多

35、元函数4利用偏导数和全微分的概念解题解题思路（1）利用不定积分求二元函数的函数解析式，注意对一个变量积分时，积分常数是另一个变量的函数；（2）利用二元函数全微分存在条件确定常数5多元函数的极值与最值的有关命题解题思路（1）利用极值的定义判别函数极值与最值；（2）利用极值的必要条件和充分条件求函数的无条件极值；（3）利用拉格朗日乘数法求函数的条件极值；（4）若极值唯一，则极值即为最值6二重积分的计算解题思路 （1）选择坐标系：若积分区域是圆域， 圆环域，扇形域，扇环域，或被积函数是f ( x2 y2 ) ， f ( y ) 的形式宜采用极坐标，其他区域用直角坐标； x（2）选择积分次序：积分域的划分尽可能少， 积分函数先易后难；（3）累次积分的定限原则：后积先定限，限内划射线，先交为下限，后交为上限（后积分的积分限均为常数；射线平行于先积分变量坐标轴且同向）；（4）若二次积分不能用初等函数表示，应考虑交换积分次序：由累次积分限划出积分域，由（ 3）的方法确定新的累次积分；（5）利用被积函数的奇偶性与积分域的对称性可以简化计算；（6）利用二重积分变量替换公式。7利用二重积分定义和性质求极限解题思路ij1（ 1）若二元和式的通项为f ( n , n) n2 的形式，则可利用二重积分的定义求其 极限 ：将