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文档简介
1、第四章习题详解1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出它们的极限:1) ;2) ;3) ;4) ;5) 。2 证明:3 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性:1) ;2) ;3) ;4) 。4 下列说法是否正确?为什么?1) 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛;2) 每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点;3) 每一个在连续的函数一定可以在的邻域内展开成泰勒级数。5 幂级数能否在收敛而在发散?6 求下列幂级数的收敛半径:1) (为正整数);2) ;3) ;4) ;5) ;6) 。7 如果的收敛半径为,证明的收敛半径。提示:8 证明:如果存在,下列三个幂级数有相同的收敛半径;。9 设级数收敛,而发散
2、,证明的收敛半径为。10 如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛,证明它在收敛圆所围的闭区域上绝对收敛。11 把下列各函数展开成的幂级数,并指出它们的收敛半径:1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) ;8) 。12 求下列各函数在指定点处的泰勒展开式,并指出它们的收敛半径:1) ,;2) ,;3) ,;4) ,;5) ;6) ;。13 为什么在区域内解析且在区间取实数值的函数展开成的幂级数时,展开式的系数都是实数?14 证明在以的各幂表出的洛朗展开式中的各系数为,。提示:在公式中,取为,在此圆上设积分变量。然后证明的积分的虚部等于零。15 下列结论是否正确?用长除法得因为 所以 16 把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数:1) ,;2) ,;3) ,;4) ,;5) ,在以为中心的圆环域内;6) ,在的去心邻域内;7) ,。17 函数能否在圆环域展开成洛朗级数?为什么?18 如果为满足关系的实数,证明提示:对展开成洛朗级数,并在展开式的结果中置,再令两边的实部与实部相等,虚部与虚部相等。19 如果为正向圆周,求积分的值。设为:1) ;2) ;3
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