万有引力定律计算题

1、第六章万有引力定律计算题、,56-1试由月球绕地球运行的周期（T = 27.3天）和轨道半径（r = 3.85 X 10 km）来 确定地球的质量M。设轨道为圆形。这样计算的结果与标准数据比较似乎偏大了一些，为什么？4肚2解：M 二一訂3 =6,06 1024 kg .GT26-2在伴星的质量与主星相比不可忽略的条件下，利用圆轨道推导严格的开普勒 常量的公式。解:(M m).6-3我们考虑过月球绕地球的轨道问题，把地心看作一固定点而围绕着它运动。 然而实际上地球和月球是绕着它们的共同质心转动的。如果月球的质量与地球相比可以忽略，一个月要多长？已知地球的质量是月球的81倍。解:T寸81m +m8

2、1m= 27.5d6-4众所周知，四个内层行星和五个外层行星之间的空隙由小行星带占据，而不是第十个行星占据。这小行星带延伸范围的轨道半径约为从2.5 AU到3.0AU试计算相应的周期范围，用地球年的倍数表示。解：a1 = 2.5 AU :T(a1/a)3/2T =3.95 y ;a2 = 3.0AU3 /2T2 =(a2/a) T =5.18y .6-5已知引力常量G地球年的长短以及太阳的直径对地球的张角约为0.55。的事实，试计算太阳的平均密度解：24丄33：Gt? 3 =29 10 kg/m .6-6。证明在接近一星球表面的圆形轨道中运动的一个粒子的周期只与引力常量G和星球的平均密度有关。

3、对于平均密度等于水的密度的星球（木星差不多与此 情况相应），推算此周期之值。证明:T24二2 3rGM八专卫得售-4.6-7已知火星的平均直径为6900 km,地球的平均直径为1.3 X 104 km,火星质 量约为地球质量的0.11倍。试求： 火星的平均密度P M与地球密度p E之比;火星表面的g值。2解：二 0.207gE 二 2.03m/s2.gM M dE ggM2 gEM EdM6-8计划放一个处于圆形轨道、周期为2小时的地球卫星。(1) 这个卫星必须离地表面多高？(2) 如果它的轨道处于地球的赤道平面内，而且与地球的转动方向相同，在赤道海平面的一给定地方能够连续看到这颗卫星的时间有

4、多长？解: h = r R=3：GMT R = 1.69如06m4兀22arccos(R/r)2(2) t2.63 10 s.co6-9要把一个卫星置于地球的同步圆形轨道上，卫星的动力供应预期能维持10年，如果在卫星的生存期内向东或向西的最大容许漂移为10°，它的轨道半径的误差限度是多少？解：同步卫星圆形轨道的半径r 卑 =4.23"07m ,容许的半径误差为V ©"IT竺 2汉4.23汉107蛍 31010 365 24 60 60 _ 214m 2兀/24 60 606-10为了研究木星的大气低层中的著名 “大红斑”，把一个卫星放置在绕木星的 同步圆

5、形轨道上，这卫星将在木星表面上方多高的地方？木星自转的周期为9.6小时，它的质量M约为地球质量的320倍，半径Rj约为地球半径的 11倍。初|GM木T7解：h 二 rR木二 32 一 R木二 8.77 10 m .4応6-11 一质量为M的行星同一个质量为M/10的卫星由互相间的引力吸引使它们保 持在一起，并绕着它们的不动质心在一圆形轨道上转，它们的中心之间的 距离是D,(1) 这一轨道运动的周期有多长？(2) 在总的动能中，卫星所占比例有多少？忽略行星和卫星绕它们自轴的任 何自转。解: GM十1颐2 2mv2 /2v2102 2 2 2Mv1 /2 mv2 /2 10wv2116-12哈雷彗

6、星绕日运动的周期为76年，试估算它的远日点到太阳的距离解：轨道椭圆长轴2GM sT1/314= 2.69 10远日点 r. ： 2a =5.38 1014 m .6-13在卡文迪许实验中（见图7-10），设M与m的中心都在同一圆周上，两个 大球分别处于同一直径的两端，各与近处小球的球心距离为 r = 10.0 cm ,轻杆长 I = 50.0 cm， M= 10.0 kg ， m= 10.0 g,悬杆的角偏转 9 = 3.96x 10-3 rad， 悬丝的扭转常量 D = 8.34 x 10-8 kg ni/s 2 ,求 G.解:G旦Mml= 6.61 10 J1 mi/kg.s6-14在可缩

7、回的圆珠笔中弹簧的松弛长度为 3 cm,弹簧的劲度系数大概是0.05 N/m 设想有两个各为10.000 kg的铅球，放在无摩擦的面上，使得一个 这样的弹簧在非压缩状态下嵌入它们的最近两点之间。（1）这两个球的引力吸引将使弹簧压缩多少？铅的密度约11000 kg/m3 .（2）使这个系统在水平面内转动，在什么转动频率下这两个铅球不再压缩弹 簧？解：（1） x 二GM 2/kl02（迥）1/32 =5.90 10m ;4兀P（2）=. GM/（R l0/2）（2R I。）= 6.23 10*rad/s .6-15将地球内部结构简化为地幔和地核两部分，它们分别具有密度 p m和p C，二者之间的界

8、面在地表下 2900 km深处。试利用总质量 Me = 6.0 x 1024 kg 和转动惯量I e = 0.33 ME Re2的数据求p m和p c.解： ?M =（5 0.33农-rc）ME/'二Re3（Re2-）=4.17 103kg/m3 ,2 3:Me二（Re3 -叮几/牛存=12.7 103 kg/m3 .3 36-16利用上题的模型和数据来计算，地球内部何处的重力加速度最大。4 2解：地幔和地核交界处，重力加速度最大：gc二G'CrC =12.3m/s .6-17 一个不转动的球状行星，没有大气层，质量为M，半径为R.从它的表面上发射一质量为m的粒子，速率等于逃逸

9、速率的3/4 .根据总能量和角动量 守恒，计算粒子（a）沿径向发射（b）沿切向发射所达到的最远距离（从行星的中心算起)。解：(a)逃逸速度V2=2GM/R,按能量守恒，可求得离球心的最大距离为 r = 16 R /7 ;(b)V2,即此速度大于第一宇宙速度，粒44 R R子此情况下已成为卫星，但可求得其离球心的最大距离为r =9 R / 7 .6-18设想有一不转动的球状行星，质量为半径为R，没有大气层。从这行星的表面发射一卫星，速率为 V。，方向与当地的竖直线成30。角。在 随后的轨道中，这卫星所达到的离行星中心的最大距离为 5R/2.用能量和 角动量守恒原理证明Vo = (5 GM4F)&

10、quot;2.解：由角动量守恒和能量守恒定律可证6-19 一质量为m的卫星绕着地球(质量为M)在一半径为r的理想圆轨道上运 行。卫星因爆炸而分裂为相等的两块， 每块的质量为m2.刚爆炸后的两碎 块的径向速度分量等于V0/2，其中V0是卫星于爆炸前的轨道速率；在卫星参 考系中两碎块在爆炸的瞬间表现为沿着卫星到地心的连接线分离。(1) 用G M m和 r表示出每一碎块的能量和角动量(以地心系为参考系)。(2) 画一草图说明原来的圆轨道和两碎块的轨道。作图时，利用卫星椭圆轨道的长轴与总能量成反比这一事实。解: (1) V, =v22 =v02(v0/2)2=5v02/4;Er =E2J mv-G M

11、m/2G1200122 2 1r16 rLj = L2 = (m /2)v0r =(m/2). GMr . 两碎块均为以圆心为焦点的镜象对称椭圆；其长半轴为GM (m/2)4ar,2E13偏心率为i2L 2巳丄1,G2M 2(m/2)3短半轴为b2(L)吟3.6-20彗星在近日点的速率比在沿圆形轨道上运行的行星约大几倍？提示：彗 星的轨道非常狭长 解：圆轨道上行星的速度为 V。GM ；彗星在近日点的速度接近逃逸速度 r6-21假设SL9彗星与木星的密度一样，试计算它被撕碎的洛希极限在木星表面上空多少千米。解：按洛希公式,rC =2.45539R（L宀）1/3二2.45539R木;即撕裂发生在木星