研究生《应用数理统计基础》庄楚强,何春雄编制课后答案

1、研究生习题2：2-7. 设 ，为其一样本，而， 试求常数c，使得随机变量服从分布。2-7解：设，所以 ，所以 所以 ， 由于 因此 当 时，。2-8. 设 为的一个样本，求 。（参考数据：）2-8解：因为 ， 所以 ，即有所以 2-14. 设总体，求与，其中是样本容量为16的样本均值。（参考数据：）2-14解： 由于 ， 所以 2-17. 在总体中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：）2-17解：因为 ， 所以 所以 2-25. 设总体的密度函数为取出容量为4的样本，求：（1） 顺序统计量的密度函数；（2）的分布函数；（3）。2-25

2、解：（1）由 所以 当 时， 即 统计量的密度函数为： （2） 由于 当时，所以 的分布函数 （3）习题3：3-3. 已知总体的分布密度为： 设是容量为n的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与MIE . 3-3解：矩法 由于 令 所以 MIE 当时，构造似然函数 所以 令 得 即 的极大似然估计量为3-5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50L化验，每升水中大肠杆菌的个数（ 1L水中大肠杆菌个数服从Poisson分布），化验结果如下：大肠杆菌数/ L0123456升 数1720102100 试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使上述情况的概率为最大？3-5解：由

3、于 1L水中大肠杆菌个数服从Poisson分布所以 所以 的估计量为 即有 所以 平均每升水中大肠杆菌个数为1的概率为最大。3-26. 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差。设炮口速度是正态分布的，求这种炮弹的炮口速度的标准差的95%置信区间。（参考数据：）3-26解：设 则 由 得 的的置信区间为：将数据 ， 代入，得的95%置信区间为（55.2，444.0）， 即 的95%置信区间为（7.4，21.1）.习题4：4-1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常下服从，现在测了5炉铁水，其含碳量分别为： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 如果方差没有改变，问总体均值有无

4、变化？（显著性水平）（参考数据：）4-1. 解：检验问题 由 且为已知，所以 即 检验问题的拒绝域为 计算得： 有 而 ， 即有 成立， 故 拒绝，即 认为总体均值有变化。4-2. 设某厂一台机器生产的纽扣，据经验其直径服从，。为检验这台机器生产是否正常，抽取容量n =100的样本，并由此算得样本均值，问该机器生产的纽扣的平均直径为，这个结论是否成立？（显著性水平）（参考数据：）4-2. 解：检验问题 由 且为已知，所以 即 检验问题的拒绝域为 由 ， ， n =100 得 而 ， 即有 ， 故 接受，即 认为这个结论是成立的。4-11. 已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布，长期以来，其抗

5、拉强度平均为52.00。现改变炼钢的配方，利用新法炼了7炉钢，从这7炉钢生产的钢筋中每炉抽一根，测得其强度分别为： 52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04 问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值是否有明显提高？（显著性水平）（参考数据：）4-11. 解：检验问题 由 且为未知，所以 即 检验问题的拒绝域为 计算得 ， ， n =7 得 而 ， 即有 ， 故 接受，即 认为强度均值无明显偏高。4-37. 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射到达计数器上的粒子数，共观察了100次，得结果如下表所示：i01234567891011151617261

6、1992121100 其中是观察到有i个粒子的次数。从理论上来考虑知服从Possion分布 问：这理论考虑是否符合实际？（显著性水平） （参考数据：）4-37. 解：检验问题 服从Possion分布 （在显著性水平下） 由公式，得 并计算的观测值，见下表： 010.01501.500.1667150.06306.300.26832160.132313.230.57803170.185218.520.12484260.194419.442.21395110.163316.331.7397690.114311.430.5166790.06866.860.6676826.390.0238911021

7、1110011006.2994 即 检验统计量的观测值为： 而 亦即 故 接受，即 认为理论考虑符合实际。4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平） （参考数据：）4-45. 解：数据的顺序统计量为：10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 的计算如下表：k110.1810.

8、820.640.56010.3585210.3210.770.450.33150.1492310.3810.670.290.22600.0655410.4110.640.230.14290.0329510.4910.590.100.06950.0070 所以 ， 又 ， 得 故 ， 又 当n = 11 时，即有 ， 从而 接受正态假设，亦即 零件直径服从正态分布。4-47. 甲、乙两个车间生产同一种产品，要比较这种产品的某项指标波动的情况，从这两个车间连续15天取得反映波动大小的数据如下表：甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.341.5

9、7乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.841.95 在下，用符号检验法检验假设“这两个车间所生产的产品的该项指标的波动性情况的分布重合”。 （参考数据：）4-47. 解： 在下， 检验假设甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.341.57乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.841.95符号由上表知：，查 ，的符号检验表， 得 临界值，而 ， 即：， 故 拒绝即 认为这两车间所生产的产品的该项指标波动情况不同4-51. 对核动

10、力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失效时间（单位：小时）如下表所示：甲72610827302535乙31504284722810129 在显著性水平下，用游程检验法（两种方法）检验这两种维修方案是否有一种维修方案显著地优于另一种方案？ （参考数据：）4-51. 解：（）基于游程总个数R的检验法 设 甲仪器失效时间服从分布，乙仪器失效时间服从分布。 检验问题 将、混排（的样本值带下划线）得： 3 7 8 10 25 26 27 28 29 30 35 42 72 84 101 150 即 游程总个数 R = 5 而 当，时， 所以 ， 故 拒绝，认为这两种维修方案有一种维

11、修方案显著地优于另一种方案。习题5：5-4合成纤维的强度与其拉伸倍数x有关，测得试验数据如下：2.02.52.73.54.04.55.26.37.18.09.010.01.32.52.52.73.54.25.06.46.37.08.08.1（1） 求对的回归直线方程；（2） 检验回归直线的显著性()；（3） 求时，的预测值及预测区间（置信度为）。 （参考数据：）5-4解：（1）计算得 ， ， ， ， 所以 有 , 故 对的回归直线方程为： 。 (2) 检验假设 . 用F检验法： ， 得 而 即 所以 拒绝 ，即 认为线性回归效果显著。(3) 当 时，的预测值为： 的的预测区间为： 而 ， 所以

12、 故 所求预测区间为：（4.2992 , 6.3192）.5-5. 某建材实验室在作陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x (kg)对 28天后的混凝土抗压强度的影响，测得数据如下：15016017018019020021022023024025026056.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7 （1）求对的线性回归方程，并问：每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高的抗压强度是多少？（2）检验线性回归效果的显著性()；（3）求回归系数b的区间估计（置信度为）；（4）求时，的预测值及预测区间（置信度为）。 （参考数据：）5-5

13、. 解：解：（1）计算得 ， ， ， ， 所以 有 , 故 对的回归直线方程为： 。 而 ， ， 所以 每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高的抗压强度是： （2）检验假设 . 用T检验法：由 得 而 即有 所以 拒绝，即 认为线性回归效果显著。 （3）由于 的置信区间为： 所以 当时，有： （4）当 时，的预测值为由于 的预测区间为： 所以 当时，有：即得 所求预测区间为： 。5-14. 在彩色显影中，根据以往的经验，形成染料光学密度与析出银的光学密度之间有下面类型的关系： 通过11次试验得到下面数据：0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47

14、0.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29求未知参数a、b的估计值，并求回归方程的残差平方和。5-14. 解：两边对取对数，有：，作变换， 得 将数据整理如下表：0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.470.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.292016.6714.29107.143543.2262.6322.3252.128-2.302-1.966-1.429-0.994-0.528-0.23600.1130.1740.2230.255计算得：；所以；得

15、换故得回归方程为：且 回归方程的残差平方和为： .习题6：6-2. 现有某种型号的电池3批，它们分别是甲、乙、丙3个厂生产的，为评论其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（h）如下表所示：工厂寿 命甲乙丙402639483440383043422850453250 试在显著性水平下，检验电池的平均寿命有无显著差异。（略：若差异是显著的，检验哪些工厂之间有显著差异，并求、和的95%置信区间。） （参考数据：）6-2. 解：检验问题 工厂寿 命或 甲40(16004823043814444217644520252134536942.663.2乙2667634115630900287843

16、21024150225003040丙391521401600431849502500502500)2224928444.4113.2r =3n =15=585 所以 而 即：故拒绝，即 认为电池的平均寿命有显著差异 方差分析表如下：方差来源平方和S自由度f均方和F值显著性因素615.62307.817.07*误差216.41218.03总和83214 或 ， ， 所以 而 即：故拒绝，即 认为电池的平均寿命有显著差异6-3. 用3种不同的小球测定引力常数的试验结果如下表所示（单位：）： 铂金玻璃6.6616.6836.6786.6616.6816.6716.6676.6766.6756.667

17、6.6786.6726.6646.6796.6746.672 试问：不同小球对引力常数的测定有无显著影响？（显著性水平）（略：并求并求、和的95%置信区间。） （参考数据：）6-3. 解：检验问题 元素引力常数或 铂6.6616.6616.6676.6676.66433.321110.226.6640.000036金6.6836.6816.6766.6786.6796.67240.0681605.456.6780.000075玻璃6.6786.6716.6756.6726.67433.371113.566.6740.000030r =3n =16=106.758 所以 而 即：故拒绝，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响 或 ， ， 所以 而 即：故拒绝，即 认为不同小球对引力常数的测定有显著影响 方差分析表如下：方差来源平方和S自由度f均方和F值显著性因素0.00056820.00028426.2*误差0.000141130.00001085总和0.000709156-15. 选矿用的油膏的配方对矿石回收率有很大影响，为了提高回收率，分别选取油膏的3种成分的2种水平，所选因