通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

1、通信原理习题第二章第二章习题习题2.1 设随机过程X(t)可以表示成：式中，是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P(=0)=0.5，P(=/2)=0.5试求EX(t)和。解：EX(t)=P(=0)2+P(= /2)习题2.2 设一个随机过程X(t)可以表示成：判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：为功率信号。习题2.3 设有一信号可表示为：试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：则能量谱密度 G(f)= 习题2.4 X(t)=，它是一个随机过程，其中和是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方

2、差均为。试求：(1)EX(t)，E；(2)X(t) 的概率分布密度；(3) 解：(1)因为相互独立，所以。又因为，所以。故 (2)因为服从高斯分布，的线性组合，所以也服从高斯分布，其概率分布函数。(3) 习题2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：(1)； (2)； (3)解：根据功率谱密度P(f)的性质：P(f)，非负性；P(-f)=P(f) ，偶函数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。习题2.6 试求X(t)=A的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。解：R(t，t+)=EX(t)X(t+) =功率P=R(0)= 习题2.7 设和是两个统计独立的平稳随

3、机过程，其自相关函数分别为。试求其乘积X(t)=的自相关函数。解：RX(t,t+)=EX(t)X(t+)=E=习题2.8 设随机过程X(t)=m(t)，其中m(t)是广义平稳随机过程，且其自相关函数为(1)试画出自相关函数的曲线；(2)试求出X(t)的功率谱密度和功率P。解：(1)-101其波形如图2-1所示。图2-1信号波形图(2)因为广义平稳，所以其功率谱密度。由图2-8可见，的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此习题2.9设信号x(t)的傅立叶变换为X(f) =。试求此信号的自相关函数RX。解：x(t)的能量谱密度为G(f)=其自相关函数习题2.10 已知噪声的自相关函数，k为

4、常数。(1)试求其功率谱密度函数和功率P；(2)画出和的曲线。解：(1) 0(2)和的曲线如图2-2所示。10图2-2习题2.11 已知一平稳随机过程X(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数：试求X(t)的功率谱密度并画出其曲线。解：详见例2-12习题2.12 已知一信号x(t)的双边功率谱密度为试求其平均功率。解： 习题2.13 设输入信号 ，将它加到由电阻R和电容C组成的高通滤波器（见图2-3）上，RC。试求其输出信号y(t)的能量谱密度。解：高通滤波器的系统函数为 H(f)=CR图2-3RC 高通滤波器输入信号的傅里叶变换为X(f)=输出信号y(t)的能量谱密度为习题2.14 设有一

5、周期信号x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为y(t)=式中，为常数。试求该线性系统的传输函数H(f).解：输出信号的傅里叶变换为Y(f)=,所以H(f)=Y(f)/X(f)=j习题2.15 设有一个RC低通滤波器如图2-7所示。当输入一个均值为0、双边功率谱密度为的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。解：参考例2-10习题2.16 设有一个LC低通滤波器如图2-4所示。若输入信号是一个均值为0、双边功率谱密度为的高斯白噪声时，试求LC图2-4LC低通滤波器(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。解：(1)LC低通滤波器的系统函数为 H(f)=输出过程的功率谱密度

6、为对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为(2) 输出亦是高斯过程，因此 习题2.17若通过图2-7中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为0、双边功率谱密度为 的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由2.15题可知E(y(t)=0 , 所以输出噪声的概率密度函数习题2.18设随机过程可表示成，式中是一个离散随变量，且，试求及。解：习题2.19设是一随机过程，若和是彼此独立且具有均值为 0、方差为的正态随机变量，试求：（1）、；（2）的一维分布密度函数；（3）和。解：（1） 因为和是彼此独立的正态随机变量，和是彼此互不相关，所以又; 同

7、理代入可得 （2）由=0； 又因为是高斯分布可得 (3) 令 习题2.20求乘积的自相关函数。已知与是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数分别为、。 解：因与是统计独立，故 习题2.21若随机过程，其中是宽平稳随机过程，且自相关函数为 是服从均匀分布的随机变量，它与彼此统计独立。（1） 证明是宽平稳的；（2） 绘出自相关函数的波形； （3） 求功率谱密度及功率S 。解：（1）是宽平稳的为常数；只与有关：令所以只与有关，证毕。（2）波形略；而的波形为 可以对求两次导数，再利用付氏变换的性质求出的付氏变换。功率S：习题2.22已知噪声的自相关函数，a为常数： 求和S；解：因为 所以 习题2.

8、23是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为 2 S 的周期函数。在区间（-1，1）上，该自相关函数。试求的功率谱密度 。解：见第2. 4 题 因为 所以据付氏变换的性质可得而故习题2.24将一个均值为 0，功率谱密度为为的高斯白噪声加到一个中心角频率为、带宽为B的理想带通滤波器上，如图（1） 求滤波器输出噪声的自相关函数； （2） 写出输出噪声的一维概率密度函数。解：（1）因为,故又由 付氏变换的性质 可得（2）；所以又因为输出噪声分布为高斯分布可得输出噪声分布函数为习题2.25设有RC低通滤波器，求当输入均值为 0，功率谱密度为的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。解：(1) (

9、2) 因为所以习题2.26将均值为0，功率谱密度为高斯白噪声加到低通滤波器的输入端，（1） 求输出噪声的自相关函数； （2） 求输出噪声的方差。解：(1) (2) ；习题2.27设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时为，脉冲幅度取的概率相等。现假设任一间隔内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：（1） 自相关函数（2） 功率谱密度。解：（1）当时，与无关，故=0当时，因脉冲幅度取的概率相等，所以在内，该波形取-1 -1、1 1、-1 1、1 -1 的概率均为。（A） 波形取-1-1、11 时，在图示的一个间隔内，（B） 波形取-1 1、1 -1 时，在图示的一个间隔内，当时，故（2） ,其中为时域波形的面积。所以。习题2.28有单个输入、两个输出的线形过滤器，若输入过程，是平稳的，求与的互功率谱密度的表示式。（提示：互功率谱密度与互相关函数为付利叶