截面与距离问题

1、截面与距离问题典例分析棱锥、棱台的中截面与轴截面【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，求的取值范围【例2】 正四棱锥的斜高为，侧棱长为，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平行于底面的截面）的面积？【例3】 正四棱台的高为，两底面的边长分别是和，求这个棱台的侧棱长和斜高【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为，则它的高和斜高分别为 【例5】 已知正三棱锥的高，斜高，求经过的中点且平行于底面的截面的面积【例6】 如图所示的正四棱锥，它的高，侧棱长为， 求侧面上的斜高与底面面积 是高的中点，求过点且与底面平行的截面（即中截面）的面积【例7】 如图，已知棱锥的底面积是，平行于底面的

2、截面面积是，棱锥顶点在截面和底面上的射影分别是、，过的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积圆锥、圆台的中截面与轴截面【例8】 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是，母线长，求圆锥的母线长【例9】 一圆锥轴截面顶角为，母线长为，求轴截面的面积【例10】 圆台的母线长为，母线和轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，求圆台的高与上下两底面面积之和【例11】 圆台两底半径分别是和，母线长是，求它的轴截面的面积；【例12】 圆台侧面的母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面半径是另一个底面半径的倍，则两底面半径为 【例13】 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，轴截面的面积等

3、于，母线与底面的夹角是，求这个圆台的母线长【例14】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是，截去的圆锥的母线长是，求圆台的母线长【例15】 圆台母线长为，母线与轴的夹角为，一个底面的半径是另一个底面半径的倍，求两底面半径以及两底面面积之和【例16】 圆锥轴截面顶角为，母线长为求轴截面的面积；过顶点的圆锥的截面中，最大截面的面积球的截面【例17】 在球心同侧有相距的两个平行截面，它们的面积分别为和求球的半径【例18】 已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，求这两个截面间的距离【例19】 （2008四川卷）设是球心的半径上的两点，且，分别过作垂直于的平面截球得三个

4、圆，则这三个圆的面积之比为（）A B C D【例20】 球面上有三点、组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中，、，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的半径【例21】 （2008全国）已知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为，则两圆的圆心距等于（ ）A B C D组合体的截面分析【例22】 一个轴截面是正三角形的圆锥内有一个轴截面是正方形的内接圆柱，求它们的高的比值和母线长的比值【例23】 （2007湖南理8）棱长为的正方体的个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）A B C D【例24】 （2008年江西卷10）连结球面

5、上两点的线段称为球的弦半径为4的球的两条弦、的长度分别等于、，、分别为、的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦、可能相交于点 弦、可能相交于点的最大值为5 的最小值为1其中真命题的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个多面体与简单旋转体的表面最短距离问题【例25】 如图正方体，其棱长为，分别为线段，上的两点，且求在正方体侧面上从到的最短距离【例26】 已知如图，正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为【例27】 如图所示，正三棱锥的侧棱长为，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值【例28】 如图，长方体中，并且求沿着长方体

6、的表面自到的最短线路的长【例29】 如图所示，设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，过作与侧棱相交的截面，求截面周长的最小值【例30】 如图，圆台上底半径为，下底半径为，母线，从中点拉一绳子绕圆台侧面转到点（在下底面）求绳子的最短长度；求绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离【例31】 已知以为顶点的正四面体，其棱长为，分别为上的两点，且求在正四面体侧面上从到的最短距离【例32】 （2005江西，理15）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为 【例33】 如图所示，正三棱锥的侧棱长为，和分别为棱和上的点，求的周长的最小值球面距离【例34】 （2008辽宁）

7、在体积为的球的表面上有三点，两点的球面距离为，则球心到平面的距离为 【例35】 （06四川卷理10）已知球的半径是1，、三点都在球面上，、两点和、两点的球面距离都是，、两点的球面距离是，则二面角的大小是（）A B C D【例36】 、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？【例37】 已知三点在球心为，半径为的球面上，且，那么两点的球面距离为_，球心到平面的距离为_【例38】 、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？【例39】 （2009陕西）如图球的半径为，圆是一小圆，、是圆上两点，若两点间的球面距离为

8、，则= 【例40】 （2009四川卷）如图，在半径为3的球面上有、三点，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离是（ ） A B C D【例41】 球面上有个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过个点的小圆的周长为，求这个球的半径【例42】 （06浙江）如图，是半径为的球心，点在球面上，两两垂直，分别是大圆弧与的中点，则点在该球面上的球面距离是（）A B C D 【例43】 （2008安徽）已知在同一个球面上，平面，若，则两点间的球面距离是 【例44】 （2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（ ）ABCD 在半径为的球面上有，两点，球心为，半径

9、，的夹角是，则，两点的球面距离为_【例45】 在北纬纬线上有，两地，它们分别在东经与西经的经线上，设地球半径为，求，两地的球面距离 【例46】 已知地球的半径为，球面上两点都在北纬圈上，它们的球面距离为，点在东经上，求点的位置及，两点所在的纬线圈上对应的劣弧的长度【例47】 从北京（靠近北纬、东经，以下经纬度均取近似值）飞往南非首都约翰内斯堡（南纬、东经），有两条航空线可供选择：甲航空线：从北京沿纬线向西飞到土耳其首都安卡拉（北纬、东经），然后向南飞到目的地乙航空线：从北京沿经线向南飞到澳大利亚的珀斯（南纬、东经），然后向沿纬线向西飞到目的地请问：哪一条航空线较短？如果这条航线的两段都分别选择最短路线，那么这条航线的总长为多少？（地球视为半径的球）【例48】 （2008陕西）长方体的各顶点都在球的球面上，其中两点的球面距离记为，两点的球面距