2011年考研数学三真题及答案

1、2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）（1）已知当 时，&一汨豆；朮刑与 是等价无穷小，则（A）孑=：；：二（B）-二，蔦二4（C）k = 3工=4（D） k = 3& =- 4【答案】C。【解析】【方法一】由泰勒公式知3兀3sinz = x - + o(x )V -fe剜鲜+如）I-x(3r)f(x)= 3sinx - sin3x - 3x - y - 3x + - + o(x )3stnx -j?in3x3cosx - 3co53x= S 卞（洛必达法则）（洛必达法则）（址=3）-su

2、uc +3sin3x【方法二】=4zJ+ o( J)4J(x-*0)故窪=乞厂二4【方法三】(fc = 3)82c= 1综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学一一元函数微分学一洛必达(LHospital)法则伽x2f(x) - 2/ (3) _已知.在“处可导，且二i ,则(A)(B)(C)(D)0【答案】B。【解析】3sinx - 3x + 3x - sin3xlim-lim-K ex13(5tHJC -lim+ UmCHT)xk1I%)hmfr+ limCKit)cxk3sm% - sin3x3x - sin3

3、xxk6(3X)192+2【方法一】加项减项凑 M =刑处导数定义x2fx) - 2f(工3)df(X) 7(0) - 2/(x3) + 2/(0)lim- -二Um- -幫TOxioxJf(x) -/(0)f(&) - f()=lim- - 2-x-fOx=/(0)-20 X x-0 xJ由于，由导数定义知/(X).f(J)二f (0), lim = f(0)辭TOX尸。*llim心严()=/(o)- 2/(0)=-厂(0)所以u艾【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数f贝yXVM- 2f(x3)x3- 2兀3lim- - 二Im- - - -1x-*OXr-*Ox而对于負乂： 一

4、二；沁一，显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于I在)处可导，则/W = f (0) + f (0)疋+ oW = fo)x + o(x),f ()兀+ 0(x)1-21/ (0)x3+ o(x3)J=/(0)-2/(0)=一(0)综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念，导数和微分的四则运算【解析】若=:收敛，贝y该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是Ao【考点】高等数学一无穷级数一级数的基本性质与收敛的必要条ITJT肝I = flnsinxdxj - JlncotxdxfK - flncosxdx关系为(A)人

5、(C)|丿KKx fx - 2/(x ) hm- -= hm(D)KJI叫是数列，则下列命题正确的是OO【答案】A。【答案】BB=0101.O 1 O1 1 O1-O 1 ODo1loo_-【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小,n刁时，OV sinx cosx 1 cotx又因为八为I上的单调增函数，所以nn*IT故丿；金：打 T；- - r I：i -；，：，：:综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一一元函数积分学一定积分的概念和基本性质(5)设力为3阶矩阵， 将川第2列加到第1列得矩阵*,再交换B的第2【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的

6、初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初 从而B, P2B= E,从而PAP = E所以 i/J:学11 0 011100 0 15ri o oi(A) P心(B)ppr1r2(C)P2P1(D)PP1r2r1行和第3行得单位矩阵，记A【答案】D。由于当nsinx Incosx Incotx7T0 DTETAET，DT、 0和孰如=1或者1,而;为分布函数由于耳(无)与心(无)为两个分布函数，显然F) Fg(对也是分布函 数，而孑1仗)巧(町=/1(X)F2(X) +f2(x) Fr(xJ综上所述，本题正确答案是D。【考点】概率论与数理统计一多随机变量及其分布一随机变量分布函数的概念

7、及其性质，连续型随机变量的概率密度(8)设总体*的服从参数为入(入的泊松分布，Xi血厂礼二2)为r= 2yriV来自该总体的简单随机样本，则对于统计量1” f = i和ET、 ETDT. DT,(B)1 2t 12答案】1;r.11 ) .【答案】D【解析】X、P(2),所以,EX = a,DX=盯哉厂相互独立均服从P(入)可求得1-心-匚而，苛所以E1V ET卫DT 2(12)曲线 厂 直线工=1及轴所围成的平面图形绕 轴旋转所 成的旋转体的体积为_。【答案】【解析】由旋转体公式得V = 712r1（X1-l）dx = 7T（-X - X）=综上所述，本题正确答案是24TTT【考点】高等数学

8、一一元函数积分学一定积分应用(13)设二次型；山贝旷在正交变换下的标准形为【答案】“的秩为1，的各行元素之和为3，【解析】d的各行元素之和为3，即Fail+fl12+ l13= 3U21+a22 +a23 =口銅+ Q呂 2 +=彳的1a21勺1ai213a22fl23rrA i ib=3ii所以卜二是d的一个特征值。再由二次型兀舟*的秩为1因此正交变换下标准形为111是的2重特征值综上所述，本题正确答案是【考点】线性代数一二次型一二次型的秩，用正交变换和配方法化二次型为标准形(14)设二维随机变量1()服从正态分布川(卩丛/；0),则E阳二。2 i 3【答案】卩”+ M。【解析】(XY)服从

9、正态分布N(比/加;所以与：相互独立，且* * 2EXEY =闪DX = DY = aE(X/)二EXE/二川必 +(EF)1二 “(/?十/)=诉+ 八23综上所述，本题正确答案是x :o【考点】概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质三、解答题：-小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【解析】【方法一】(15)求极限Um尤T0+ 2sinx _ x1 + Zslnx - (x + 1)hm2x-yO2xb21.2sinx- x * 2x 1sinx -=农皿-2- + limp【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的性质

10、及无穷小量的比较，极限的四则运算（16）已知函数i具有二阶连续偏导数，是的极d2zlimx-+0Jl +-x- 1二Um2JC-*OxlimT)row fl2sttu2x1coax -vl + 2vtnjr二吧 -岸TD因子极限先求）（等价无穷小代【方法二】Um1 + 251 MX - x - 1xfn(l +工)J1 +2ainx-x- 1二limXTO（等价无穷小代（分子有理化）值，E = /（x + y/（2）1.求駕=1.【解析】弓艺 *由链导法则，液二区；+ 其中u = x + y,u = f（扎y）.所以dxdy对观+矿肿;+ 9 逊+ 2肿 y由于11匚是m的极值，则=f的.2)

11、+几(22)fuu(14)【考点】高等数学一多元函数微积分学一多元函数偏导数的概念与计算，多元函数的极值（17）求不定积分rjl心【解析】【方法一】令屮;二二，贝yr arcsinJx +InxCdx = 2J (arcsint + llntjdt=2t(arcsint + 2lnt) - 2j丨v/i4)= r/M)= ovy(M)= ry(u)= od2zdxdy乙观（2,x tA,dx - 2tdt=2tarcsint + 2 bit) +十2)dt=2t(arcsint十2lnt) + 2-1 - t2- 4t 4- C=2xarcsin + /nx) + 21 - 4尤 +C【方法二

12、】arcsinx十饥xf-7=- dx 2 I (arcsiriyjx + lnx)dlx=2 x(arcsin +饷工)-2f乍电 +2X(arcsinix + Inx) + 2l -丈 一 疋 +C【考点】高等数学一一元函数积分学一不定积分的基本性质，基本积分公式，不定积分和定积分的换兀积分法与分部积分法4JT石4arctanx - x -F y -= 【解析】t/Cr令2-，本题也就是要证明 r 恰有两个零点43 -,f(X)=2 _ =21 +X1 + X令：得.-，贝y当-向时，叮(Q 单调减；当时，f 0(尤)|单调增；当+ 8)时，f(x) 0八力单调减；4 /Tjlim f(町

13、=Um 4arctanx- x + - 3 =:+ oo又工 T -COf( - 0斗議 |lim f(尤)=lim Aarctanx一 无 + 盲 一3 T + COHT +(则，-为：的一个零点，在卜八内还有一个零点4 ITfarctanx - x + v v3 = 0【考点】高等数学一一元函数微分学一基本初等函数的导数，函数单调性的判别（19）设函数mo在订上有连续导数，=1且+ ydxdy = Dft)dxdy其中必no yt-ot(oti).的表达式。【解析】化已知等式左边的二重积分为二次积分计算=Xf(x + y)d(x + y)dx=必心 +y)l；= /Jl/CO - f(x)

14、dx等式右边的二重积分化为二次积分f(闷yldxdyJT，. ldxdy n恰有两个实根。(工4- y)dy)dx =(ff O + y)力好二久 为区域（的面积，区域易得为三角形，面积为所以NDf(t)dxdy At)护所以红-方00必-护/V)两边对4求导得(2- 0/(0二2/(t)_ c解得d(S由(0)=1得 = 44所以_(2-o |(0Jf013；12斗T115134014 022001-102【考点】线性代数一向量一向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关(21)设八为3阶实对称矩阵， 囚的秩为2，求1的所有特征值与特征向量；A(II)求矩阵 11_ 11A00二0

15、0-1111【解析】因 7 知4，所以I是J的特征值A1 0- r0-1 0,Arli0_rli)一i一111 V4 *所以按定义，特征向量；又1是力的特征值，6量。T旳=仗宀江3)是A属于久0的特征向量，作为实对称矩阵特征 值不同特征向量相互正交，因此解出汀H故矩阵N的特征值为卩厂、工為；特征向量依次为 阵【考点】线性代数一矩阵的特征值与特征向量一矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵(22)设随机变量卜的概率分布分别为X01P123i10 1pill333堤的特征值,a2(10-1)是人属于R的特征向tr1二工十工j二0丁叫(13二jq -丸？二01

16、讥k3(ot1,0)，其均是不为o的任意常数。= (av_ a2,0)(II)由A = (a1#-勺0叫盘2叫1=rl-101 1101-1000 00111oh-10i,有且P* = Y2 = I求二维随机变量！企芒的概率分布；(II)求二=；江的概率分布；(III)求：的相关系数。【解析】(I)由呛2=旳=得p打2而px2工Y2 = PX = QtY =- 1 + PX = oy = 1 + PX = IX = 0即戸V匚丁 書W己：:,-厂 ：； 的概率分布的边缘分布为-1010131pi111凤3已知PX：二07 =-1PX二0,Y二1 PX - lrY - 00最后可得-101001013311301323Pj131313(II)討冇的可能取值 一，由八)|的概率分布可得的概率分布z1 01P111333(III)由及：的概率分布得2 2 2=GEY = O, Dr = JtEXY = E(Z) = 0CfW(XY) = EXY) - EXEY = 0,所以P胛0。【考点】概率论与数理统计一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质(23)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由x-y = Otx