西城实验数论讲义

1、有两堆小石子，若第一堆给第二堆100个，那么第二堆是第一堆的二倍。相反，若从第二堆拿一些放到第一堆，第一堆就是第二堆的6倍。问至少多少石子？a,b是大于1的两个互质整数，ax+by取不到ab-a-b，可以取到大于ab-a-b的所有整数。其中x,y是非负整数。小华玩某种游戏，每局可随意玩若干次，每次的得分是8， ，0这三个自然数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分小华曾得到过这样的总积分：103，104，105，106，107，108，109，110又知道他不可能得到“83分”这个总积分问：是多少?m个盒子中放着若干个球，每次在其中n个盒子中加一个球（n<m且m与n互质），求证一

2、定可以在若干次操作后，使得每个盒子中的小球数目相等。求的正整数解x,y都是正整数，求证不能都是平方数。m,n都是1到99之间的整数。并且是平方数，这样的数对（m,n）有几个？求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自正整数解x和y。求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.是不是质数，数学家用了90年才知道。求证它有个约数是641。.求(25733 + 46)26被50除的余数。27个国家各派两名代表参加会议，54人坐成一圈。求证：不可能同国的代表都是隔着9个人。把11111,11112,99999按照任意顺序写成一串，求证得到的数不是2的幂。7677787980能否被1980整除？被7除余数？

3、已知n位数111111111能被2011整除，求证：22222220000.00001111.111111能被2011整除。其中2与0各是n+1个，1有2n+2个。求证：S=111111111（2011个1）的倍数数字和最小是2011。中国剩余定理当中任意两个模是互质的，那么无论取什么样的整数，同余方程组在模m下有唯一解。存在连续100个正整数都是合数。数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中相邻若干数之和是11的倍数，这样的数组有几个？对于任意整数x,y，代数式2x+3y与9x+my总是同时被17整除或不整除，求整数m。5x2 + 6x + 49 º 0 (mod

4、 60)。 x3 + 3x - 14 º 0 (mod 45)。x2 º 1 (mod )x2 º 2 (mod 73)求正整数n使得（200n-999）|从1, 2, 2 008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1 004个数中的任意两数之和都不等于2 009.则这1 004个数的平方和等于 .参考公式:12+22+n2=n(n+1)(2n+1).将各位数码不大于的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，第2011项是多少？求证存在无穷多个三元正整数组(x,y,z)满足x+y-z=1，并且任何两数乘积被第三个数整除。求证：在中至少有一个能被n整除，其中n为大于1的奇数。r是1059,1417,2312被d除后的余数，d是大于1的整数，求d-r。由7个自然数组成的公差30的等差数列中，恰有一个被7整除。是否存在无限长的质数等差数列？小明计算前n个正整数的乘积，小华计算前m个偶数的乘积。，两人计算结果相同。证明两人不可能全对。有多少个正因子小于n且不整除n?证明是两个平方数的和。正整数n的十进制写法中，左边的数字总小于右边。求9n的数字和。任何整数均有个倍数是只由9,0组成。求正整数n使得是平方数。6个不同正整数构成递增数列，