第九章梁的应力

1、第九章第九章 梁的应力梁的应力9-1 梁横截面的正应力和正应力强度条件梁横截面的正应力和正应力强度条件9-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件梁横截面的切应力和切应力强度条件9-3 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析9-4 提高梁承载能力的措施提高梁承载能力的措施. .纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无切应力的弯曲）。剪力剪力“Fs”切应力切应力“t t ”；弯矩弯矩“M”正应力正应力“s s ”2.2.横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应

2、力又有切应力的弯曲）。一、一、 纯弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念9 9-1 -1 梁横截面的正应力和正应力强度条件梁横截面的正应力和正应力强度条件二二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。1 1、观察实验：、观察实验：abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律：(2)、横向线、横向线：仍为直线，：仍为直线，只是相对转动了一个角度只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。(1)、纵向线、纵向线：由直线变为：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维曲线，且靠近上部的纤维

3、缩短，靠近下部的纤维伸缩短，靠近下部的纤维伸长。长。3 3、假设：、假设：（1 1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。动了一个角度。凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中中性层性层 。中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴（2 2）纵向纤维假

4、设：）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。之间无挤压。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。Aabcd4 4、纵向线应变的变化规律、纵向线应变的变化规律 （纵向线段的变化规律）（纵向线段的变化规律）)1( ydxyoo1dddy)(yabcd中性层中性层中中性性层层曲曲率率半半径径ABABBA111111OOOOBA横截面上各点的纵向线应变横截面上各点的纵向线应变与它到中性轴的距离成正比与

5、它到中性轴的距离成正比 dy1B1AAabcd4 4、纵向线应变的变化规律、纵向线应变的变化规律 （纵向线段的变化规律）（纵向线段的变化规律）(1) . ydxyoo1在弹性范围内，sE（二）物理关系：（二）物理关系： (2) . sEyEabcd中性层中性层 由纵向线应变的变化规律 正应力的分布规律。横截面上各点的正应力沿截面高度横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化按线性规律变化中中性性层层曲曲率率半半径径dy1B1A sEyE梁弯曲时横截面上正应力分布图：梁弯曲时横截面上正应力分布图：MZymaxmax中性轴的位置？梁变形后中性层的曲率 1 中性层中性层横截面上各点的正应力沿截面高

6、度横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化按线性规律变化yxMZANdAFs) 1 (AAydAEdAyE（中性轴（中性轴 z 轴为形心轴）轴为形心轴）AydAzMs) 2(AAyzdAEzdAyE（y 、z 轴为形心主轴轴为形心主轴）yzdAs sdAAzdAyMs) 3(AAdAyEydAyE2弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式ZEIM1（三）、静力平衡条件（三）、静力平衡条件 由横截面上的弯矩和正应力的关系由横截面上的弯矩和正应力的关系 正应力的计算公式。正应力的计算公式。 sEyEM梁横截面上内力已知：MMMFzyN, 0, 000zzSSE00yzyzIIEMIEzzI

7、Mys 纯弯曲时梁横截面上纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式。正应力的计算公式。 弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。 当当 M 0 时，下拉上压；时，下拉上压； 当当 M 5 ），剪力的影响可以忽），剪力的影响可以忽略，略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确果仍足够精确。zIyxM)(szWxM)(maxsFl4lF弯曲正应力公式弯曲正应力公式ZIMys可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面高度的曲杆)例：厚为例：厚为t = 1.5 mm的钢带，卷成直径的钢带

8、，卷成直径D3m 的圆环。的圆环。 。求：钢带横截面上的最大正应力求：钢带横截面上的最大正应力GPaE210解：解：1 1）研究对象：单位宽条）研究对象：单位宽条?M2 2）曲率公式：）曲率公式：3 3）求应力：）求应力：,maxmaxyIMzsDEIEIMzz2MPa105maxmaxyEs也可用公式：3105 . 110210392DzEIM1Dt1t,2,121max3tytIzDEttDEyIMz22maxmaxs例：例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：mkNqml/6,110槽钢槽钢q解：解：1 1）画弯矩图）画弯矩图kNmqlM35 . 0|2max2 2）查型钢表：）查型钢表

9、：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18 . 423 3）求最大拉、压应力应力：）求最大拉、压应力应力：1maxyIMzts6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzcs6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxssbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM四、梁的弯曲正应力强度条件四、梁的弯曲正应力强度条件 材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力 ssmax szWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压

10、强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁tmaxmaxmaxtsstzyIMcmaxmaxmaxcssczyIMOzyytmaxycmaxttmaxmaxtmaxsszIyMccmaxmaxcmaxsszIyMctcmaxtmaxssyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为zh sM弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 ssmax sszWMmaxmax 1 1、强度校核、强度校核 2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸 3 3、确定外载荷、确定外载荷 s ss s max； maxs sMWz ; maxs szWM tmaxmaxmax)(sszttIyMcmaxmaxmax) (sszccIyM解

11、解：1 1、求约束反力、求约束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例例：矩形截面梁：矩形截面梁 b= 60 mm、h=120mm，s s =160MPa, 求求：Fmax 5F/2F/2M max = 0.5F3 3、强度计算、强度计算ZWMmaxmaxshb2、画、画M图，求图，求MmaxF25. 0F5 . 0,s s2615 . 0bhF)(1 .46maxkNFM解解：1)求约束反力求约束反力.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上压压kNmMC （上上拉拉、下下压压）kNmMB4 例例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如

12、图，铸铁的s st = 30 M Pa， s sc = 60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C点，点，y1= 52 mm， y2= 88 mm，Iz =763 cm4 ，试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）画弯矩图）画弯矩图 定危险截面定危险截面AyFByFxkNF91kNF423 3）求应力）求应力B截面截面（上拉下压）（上拉下压）MC截面截面（下拉上压）（下拉上压）为什么？zCCtIyM2maxsC截面截面（下拉上压）（下拉上压）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt

13、ss2 .28maxccss2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxsMPa04.174 ) 强度校核强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mxMB截面截面（上拉下压）（上拉下压）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtsMPaIyMzBBc2 .461076310884462maxs最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：

14、对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN例例 跨长跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力，许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最。试根据截面最为合理的要求，确定为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁，并校核梁的强度的强度 。解：解：ct21ssyy根据截面最为合理的要求根据截面最为合理的要求319030mm701 yy1m2mBAF=80 kN

15、Cy1y2z60220yO280dttmaxmaxtmaxsszIyMccmaxmaxcmaxsszIyMctcmaxtmaxssyyFl/4mm24d得得462323mm102 .99)30210280(220601260220)110210(220241222024zI截面对中性轴的惯性矩为截面对中性轴的惯性矩为y1y2z60220yO280dmmy7060220)60280()11060()60280(3060220ddct21ssyy319030mm701 yy例例 跨长跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 st =30 MPa

16、，许用压应力，许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最为。试根据截面最为合理的要求，确定合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁的强，并校核梁的强度度 。1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280dmkN4042804maxFlM 梁上的最大弯矩梁上的最大弯矩mm24dOsc,maxst,maxz46mm102 .99zIc4662maxmaxc,MPa7 .84mm102 .99mm210mmN1040sszIyM最大压应力为最大压应力为梁满足强度要求。梁满足强度要求。y1y2z60yO280dFl/4例例 图示槽形截面铸铁梁，已知：图示槽形

17、截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对，截面对中性轴的惯性矩中性轴的惯性矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉铸铁的许用拉应力应力 st =30 MPa，许用压应力，许用压应力 sc =90 MPa。试。试求梁的许可荷载求梁的许可荷载F 。 解：解：1 1、梁的支反力为、梁的支反力为zyC形心形心86134204018012020BF Cbq=F/bDbbAFB FA FFB474FFA2 2、作梁的弯矩图如下、作梁的弯矩图如下4maxFbM2maxFbM发生在截面发生在截面C发生在截面发生在截面BzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDb

18、bA例例 图示槽形截面铸铁梁，已知：图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性，截面对中性轴的惯性矩矩 Iz=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压，许用压应力应力 sc =90 MPa。试求梁的许可荷载。试求梁的许可荷载F 。FB FA FFB474FFA3 3、计算最大拉、压正应力、计算最大拉、压正应力 可见：压应力强度条件由可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力截面控制，拉应力强度条件则强度条件则B、C截面都要考虑。截面都要考虑。zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面截面B截面截面压应力压应力拉应力拉应力拉应力拉应力压应力压应力MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzBs考虑截面考虑截面B ：MPa90mm105493mm341mm1024/4431maxc,FIyMzBskN2 .19FkN8 .73Fzy