力法知识讲解 (2)

1、 基本要求：基本要求：掌握掌握力法基本体系的确定、力法力法基本体系的确定、力法 典型方程的建立、方程中系典型方程的建立、方程中系 数和自由项的计算。数和自由项的计算。熟练掌握熟练掌握用力法计算超静定梁和用力法计算超静定梁和 刚架、对称性利用、超静定刚架、对称性利用、超静定 结构的位移计算。结构的位移计算。重点掌握重点掌握荷载作用下的超静定结荷载作用下的超静定结 构计算。构计算。了解了解力法典型方程的物理意义、力法典型方程的物理意义、 温度改变和支座移动下的超温度改变和支座移动下的超 静定结构计算。静定结构计算。Force MethodForce Method超静定次数的确定超静定次数的确定力法

2、基本概念力法基本概念超静定梁、刚架和排架超静定梁、刚架和排架超静定桁架、组合结构和超静定桁架、组合结构和拱拱对称结构的计算对称结构的计算超静定拱的计算超静定拱的计算支座移动和温度改变作用支座移动和温度改变作用超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算力法计算校核力法计算校核a) 静定结构静定结构是无多余约束的几何不变体系。是无多余约束的几何不变体系。b) 超静定结构超静定结构是有多余约束的几何不变体系。是有多余约束的几何不变体系。 由此可见：内力超静定，约束有多余，是超由此可见：内力超静定，约束有多余，是超 静静 定结构区别于静定结构的基本特点。定结构区别于静定结构的基本特点。 超静定次数确定超

3、静定次数确定 超静定次数超静定次数=多余约束的个数多余约束的个数= 多余未知力的个数多余未知力的个数撤撤除除约约束束的的方方式式（1）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰）撤除一根支杆、切断一根链杆、把固定端化成固定铰 支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。支座或在连续杆上加铰，等于撤除了一个约束。（2）撤除一个铰支座、）撤除一个铰支座、 撤除一个单铰或撤除一个滑动支撤除一个单铰或撤除一个滑动支 座，等于撤除两个约束。座，等于撤除两个约束。 （3）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。）撤除一个固定端或切断一个梁式杆，等于撤除三个约束。把原结构变成静定结构把原结构变成

4、静定结构时所需撤除的约束个数时所需撤除的约束个数=未知力的个数未知力的个数平衡方程的个数平衡方程的个数6.1 6.1 超静定结构的组成和超静定次数超静定结构的组成和超静定次数举例举例举例撤除约束时需要注意的几个问题：撤除约束时需要注意的几个问题：（1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替，）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。（3）内外多余约束都要撤除。）内外多余约束都要撤除。外部一次，内

5、部六次外部一次，内部六次共七次超静定共七次超静定（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系1撤除支杆1后体系成为瞬变不能作为多余约束的是杆不能作为多余约束的是杆123451、2、 5举例X3X1X2X3X1X2X3X1X1X2X3撤除一个约束的方式举例：撤除一个约束的方式举例：X1X2X1X2X1X3X2返回返回撤除两个约束的方式举例：撤除两个约束的方式举例：X4X3X1X2X1X2返回返回撤除三个约束的方式举例撤除三个约束的方式举例：X1X2X3X1X1X2X3每个无铰封闭框都有三次超静定每个无铰封闭框都有三次超静定超静定次数超静定次数=3 封闭框数

6、封闭框数 =35=15超静定次数超静定次数=3封闭框数单铰数目封闭框数单铰数目 =355=10 返回返回几何可变体系不能几何可变体系不能作为基本体系；作为基本体系；去除多余约束过程去除多余约束过程不能改变必要约束不能改变必要约束性质。性质。FPX1X2FP撤除约束时需要注意的几个问题：撤除约束时需要注意的几个问题：（3 次）次）或(1 次）次） 多余约束只是对几何不变性而言的，对内力和变多余约束只是对几何不变性而言的，对内力和变形而言这些约束是有作用的，它们直接影响到内形而言这些约束是有作用的，它们直接影响到内力和变形的大小和分布规律。力和变形的大小和分布规律。 在一个静定结构上增加多余约束所

7、得的超静定结在一个静定结构上增加多余约束所得的超静定结构是唯一的；但从超静定结构上去掉多余约束使构是唯一的；但从超静定结构上去掉多余约束使之成为静定结构时，形式可以有多种多样，多余之成为静定结构时，形式可以有多种多样，多余约束在很大范围内是可以任选的。约束在很大范围内是可以任选的。 超静定结构的约束包括超静定结构的约束包括必要约束必要约束和和多余约束多余约束，必，必要约束可通过平衡方程直接确定，而多余约束须要约束可通过平衡方程直接确定，而多余约束须结合变形条件才可确定。结合变形条件才可确定。超静定结构的性质超静定结构的性质 超静定内力和反力与材料的物理性质、截面的超静定内力和反力与材料的物理性

8、质、截面的几何特征（形状和尺寸）有关。几何特征（形状和尺寸）有关。 非荷载因素也会使超静定结构内力和反力；非荷载因素也会使超静定结构内力和反力； 由于有多余约束，所以增强了抵抗破坏的能力；由于有多余约束，所以增强了抵抗破坏的能力； 由于有多余约束，所以增强了超静定结构的整由于有多余约束，所以增强了超静定结构的整体性，在荷载作用下会减小位移，内力分布更体性，在荷载作用下会减小位移，内力分布更均匀。均匀。基本思想基本思想: : 1、找出未知问题不能求解的原因；、找出未知问题不能求解的原因； 2、改造原问题将其化成会求解的问题；、改造原问题将其化成会求解的问题； 3、找出改造后的问题与原问题的差别；

9、、找出改造后的问题与原问题的差别； 4、消除差别后、消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解改造后的问题的解即为原问题的解超静定结构的计算方法超静定结构的计算方法具体操作具体操作: : 1、在所有未知量中分出一部分作为基本未知量；、在所有未知量中分出一部分作为基本未知量； 2、将其它未知量表成基本未知量的函数；、将其它未知量表成基本未知量的函数； 3、集中力量求解基本未知量。、集中力量求解基本未知量。基本结构基本结构待解的未知问题待解的未知问题qEIEIqEIX1基本体系基本体系基本未知量基本未知量01 基本方程基本方程6.2 6.2 力法的基本概念力法的基本概念 力法是将多余未知力作为基本

10、未知量的分析力法是将多余未知力作为基本未知量的分析方法。方法。 将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法将全部多余约束去掉得到的静定结构称力法的基本结构。的基本结构。 根据原结构的变形条件而建立的位移方程称根据原结构的变形条件而建立的位移方程称力法基本方程。力法基本方程。 RB当当B=1=0=1111PX11=11X1 + 1P=01 1、超静定结构计算的、超静定结构计算的总原则总原则: : 欲求超静定结构先取一个欲求超静定结构先取一个基本体系，然后让基本体系在基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构受力方面和变形方面与原结构完全一样。完全一样。 力法的特点：力法的特点：基本未知量基

11、本未知量多余未知力；多余未知力；基本体系基本体系静定结构；静定结构；基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）。（变形协调条件）。qBRBX1+B = = = =X1=1P / 11 =3ql/83ql/8ql2/8M图ql2/2MPDdxEIMMPP11dxEIMM1111d-EIqlllqlEI843231142EIlllEI3322132 叠加或按：PMXMM1 ql2/8产生产生11的弯矩图的弯矩图产生产生1P的弯矩图的弯矩图=1111PX11=11X1 + 1P=0X1+BqBll，EIX1=11MP=1l求求X1方向的位移虚拟的力状态方向的位移虚拟的力状态I1I2I28m6

12、mq=20kN/mX1基本体系基本体系X1=1M6653.33M图(kN.m) q=20kN/mI2=k I1160MP11151263160621EIEIPD1111114428823622661686kEIkkEIEId160PXD11110d11512EIPD111144288kEIk d1293201111-D-kkXPdkNXk980211-PMXMM11 超静定结构由荷载产超静定结构由荷载产生的内力与各杆刚度的相生的内力与各杆刚度的相对比值有关，与各杆刚度对比值有关，与各杆刚度的绝对值无关。的绝对值无关。53.3353.33kNQQMCDCDD800833.53482033.53-

13、8m20kN/mCDQCD80160808.98.9Q图(kN)8.980NCANCD-kNNYkNNXCACD8009 . 8080808.9N图(kN)由已知的弯矩求剪力求轴力由已知的弯矩求剪力求轴力53.33M图(kN.m) 16001111 PXd dFPEIEIllFPlFPPMEIl34311 d dEIlF231PP- - X1FPX1=1ll1MPFX831 PMMXM 11lFP83lFP85M 不同的基本结构计算工作量繁简不同，应尽量选取不同的基本结构计算工作量繁简不同，应尽量选取便于计算的静定结构作为基本结构。便于计算的静定结构作为基本结构。选用其它基本体系选用其它基本体

14、系X1X1X1EIFPEIFPEIEI 尽管选取的基本结构不同，但力法方程形式均为：尽管选取的基本结构不同，但力法方程形式均为：01111 PXd d 不同的基本结构对应的基本方程的物理含意义不同。不同的基本结构对应的基本方程的物理含意义不同。X1qX1qqll/2EIX1q1 1、超静定结构计算的总原则、超静定结构计算的总原则: : 欲求超静定结构先取一个基本体系欲求超静定结构先取一个基本体系, ,然然后让基本体系在受力方面和变形方面与原后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。结构完全一样。 力法的特点：力法的特点：基本未知量基本未知量多余未知力多余未知力基本体系基本体系静定结构静

15、定结构基本方程基本方程位移条件位移条件 （变形协调条件）（变形协调条件）由基本体系与原结构变形由基本体系与原结构变形一致达到受力一致一致达到受力一致 位移法的特点：位移法的特点：基本未知量基本未知量 基本体系基本体系 基本方程基本方程 6.3 6.3 力法方程的典型形式力法方程的典型形式ABqX1B基本体系基本体系 X2X1X2BH= 1BV=2=0 =01=11121P=0=1=1X2211P12222P11X1 12X21P021X1 22X2 2P011X1含义含义: :基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未知力方向上的位移

16、应等于原结构相应的位移，力方向上的位移应等于原结构相应的位移，实质上是位移条件。实质上是位移条件。 主系数主系数iiii表示基本体系由表示基本体系由X Xi i=1=1产生的产生的X Xi i方向上的位移方向上的位移 付系数付系数ikik表示基本体系由表示基本体系由X Xk k=1=1产生的产生的X Xi i方向上的位移方向上的位移 自由项自由项iPiP表示基本体系由荷载产生的表示基本体系由荷载产生的X Xi i方向上的位移方向上的位移 主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、主系数恒为正，付系数、自由项可正可负可为零。主系数、付系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有

17、关。付系数与外因无关，与基本体系的选取有关，自由项与外因有关。 对于对于 n 次超静定结构有次超静定结构有n个多余未知力个多余未知力X1、 X2、 Xn，力法基，力法基本体系与原结构等价的条件是本体系与原结构等价的条件是n个位移条件，个位移条件， 1=0、 2=0、 n=0，将它们展开，将它们展开 11X1+ 12X2+ 1nXn+ 1P=021X1+ 22X2+ 2nXn+ 2P=0n1X1+ n2X2+ nnXn+ nP=0或：或：(A)i=ijXj+ iP=0 i，j=1，2，n由上述，力法计算步骤可归纳如下：由上述，力法计算步骤可归纳如下：1 1）确定超静定次数，选取力法基本体系；）确

18、定超静定次数，选取力法基本体系；2 2）按照位移条件，列出力法典型方程；）按照位移条件，列出力法典型方程；3 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A A）式求系数和自由项；）式求系数和自由项；4 4）解方程，求多余未知力；）解方程，求多余未知力；5 5）叠加最后弯矩图。）叠加最后弯矩图。 计算刚架的位移计算刚架的位移时，只考虑弯矩的影时，只考虑弯矩的影响。但高层建筑的柱响。但高层建筑的柱要考虑轴力影响，短要考虑轴力影响，短而粗的杆要考虑剪力而粗的杆要考虑剪力影响。影响。D000,000, 02dsEIMMdsEIMMdsEIMPiiPkiikiiiddPiiMXM

19、M例例 . 求解图示两端固支梁。求解图示两端固支梁。解：取简支梁为基本体系解：取简支梁为基本体系000333323213123232221211313212111PPPXXXXXXXXXD Dd dd dd dD Dd dd dd dD Dd dd dd dFP基基本本体体系系FPPiMM ,EI6.4 6.4 超静定梁、刚架和排架超静定梁、刚架和排架由于由于00,0NP2NN13Q3FFFFM所以所以 0332233113PD Dd dd dd dd d又由于又由于0d dd23Q23N2333EAlGAsFkEAsFEIsMd d于是有于是有03XlabFPPM图图FP两端固支梁在竖向荷载

20、作用下没有水平反力两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力典型方程改写为典型方程改写为DD0022221211212111PPXXXXdddd-EIlalabFEIlblabFEIlPP6)(6)(32P2P1122211D DD Dd dd dd d22P222P1lbaFXlabFX图乘求得位移系数为图乘求得位移系数为FPablFPa2bl2FPab2l2例例 . 求解图示结构求解图示结构原原结结构构FP基基本本体体系系 一一FP基基本本未未知知力力PFP00222212112111ppD DD DD DD DD DD DD DD D0022221211212111ppXXXXD Dd dd

21、 dD Dd dd d变形协调条件变形协调条件 力法典型方程力法典型方程-016654096546P21P21FXXFXX-883114P2P1FXFXFPFPa-883114P2P1FXFXFPFPaFP（Fpa）PMXMXMM2211解法解法 2：FPFP解法解法3：FPFPFPFPM1图图M2图图aBFPaFPMP图图F aP2解法解法 2：FPM1图图M2图图aBFPaFPMP图图F aP2P2P1114,8815FXaFX-00P2222121P1212111D Dd dd dD Dd dd dXXXX00p222212p112111D DD DD DD DD DD DD DD DF

22、P（Fpa）图图M2图图M1FPaFP图图MPaFXaFXP2P1883,8815-解法解法3：FP例题：例题：力法解图力法解图示刚架示刚架。q=23kN/m6m6mEIEIEIABCDq=23kN/mX1X1基本体系基本体系X2X2X1X1=166M1X2X2=166M2q=23kN/m414MP1）确定超静定次数，选取力法基本体系；）确定超静定次数，选取力法基本体系；2）按照位移条件，列出力法典型方程；）按照位移条件，列出力法典型方程；11X1 12X21P021X1 22X2 2P03）画单位弯矩图、荷载弯矩图，）画单位弯矩图、荷载弯矩图，4）用（）用（A）式求系数和自由项）式求系数和自

23、由项(取取EI=1)5）解方程，求多余未知力）解方程，求多余未知力144X1+108X23726=0108X1+288X2=0X1=36，X2=13.56）叠加最后弯矩图）叠加最后弯矩图198103.581135MkN.m144236226611d21121082666dd2886362266322d3726463341461-DP02DPPiiMXMM3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32M3Pl/165Pl/32M1=11X1+1p= 0X1=1l1MX1=1EIl311=11M211MEIl33EIl4311=EI Pl/2l/2X12)P1=11X1+1p= 01=11X1

24、+1p= 01）X1P3)PX1X1=1PPl/2MPPPl/4MPPPl/2MPEIPlP24521-DEIPlP1621-DEIPlP48531-D3251111PlXPD-d16-31111 PlXPD-d1651111PXPD-d11=同一结构选不同的基本体系进行计算，则：同一结构选不同的基本体系进行计算，则：1）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；）典型方程形式相同；但力法方程代表的物理含义不同；方程中的系数和自由项不同。方程中的系数和自由项不同。2）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，）最后弯矩图相同；但计算过程的简繁程度不同。因此，应尽量选取便于计算的静定

25、结构为基本体系。应尽量选取便于计算的静定结构为基本体系。 力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应尽量使较多的付系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应尽量使较多的付系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应含较多的基本部分，使含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。尽可能分布局部。力法基本体系的合理选择力法基本体系的合理选择2kN/m2kN/mX1X2X1=111MX2=12M12kN/mPMqa2/8221132ddEIa用力法解图示连续梁，用力法解图示连续梁，各跨各跨EI=EI=常数常数, ,跨度为跨度为a.a.EI

26、a62112dd0,24231DDPPEIqa032602463221321XEIaXEIaEIqaXEIaXEIaPiiMXMM2kN/m152qa602qaPll/2l/2l/2l/2EI=常数常数PX1X211X1=11M2M1PPMPl/4EIl11dEIl322dEIl62112dd0,16221DDPPEIPl例题：例题：用力用力法解图示刚法解图示刚架。架。EI=常数。常数。l/2l/2l/2lPABEDCPABEDCX1X1=1PABEDCPl/2MMP01111DPXdll2ll353EIl32225 . 02lll232223225 . 0111llllllEId423222

27、21131EIPllllPlEIp-D2031111PXpD-d37Pl/2043MPlll0011DXpX1=11MPMPMPX1=111.51MX2=12M11/22l/3EI=常数常数llqql2/8EIqlPP24, 0321DD140221qlXX-ql2/14ql2/28MEIlEIl127,43, 0221112ddd0022221111DDPPXXdd12kN/m2m4mEIEI2EI2EI12kN/mX1基本体系24216MP136.925479.08M kN.mEIEIEIEI322423222222113622662111-dEIEIEIEIP98442332422114

28、3332166211-DkNXP18.131111-D-dX1=1622M16超静定排架计算超静定排架计算llPX1X1=1111112-2-PPP0000P2 1=11X1+1P=0基本体系基本体系N1NP1P=EAPlPEAlPEAlEAlNNP)221 ()2)(2(2)1 (1-P396. 0-P244)221 (-X1111D-d-0.396P0.603P-0.852P0.560P-0.396P-0.396P6.5 6.5 超静定桁架和组合结构的计算超静定桁架和组合结构的计算)21 (422)2(41222111-EAlEAlEAllEANd解：解：基基本本体体系系FPFP力法典型方

29、程为：力法典型方程为：01111PXD Dd d例例. 求超静定桁架的内力。求超静定桁架的内力。 FPFP=PEA为常数为常数EAlFFEAlFPNPN112N111,D Dd d其中：其中：解得：解得：223P1FX（拉）（拉）FP=PFPFNP 图图NF各杆最后内力由各杆最后内力由叠加法得到：叠加法得到：NP11NNFXFF基基本本体体系系FPFPFP=PFPN1F解：解：“ 3 3、4 4两结点的两结点的相对位移相对位移 等于所拆除杆的拉（压）等于所拆除杆的拉（压）变形变形 ”34D D34lD DFPFP FP=PFPFNP 图图自乘求自乘求1111互乘求互乘求1P1P或互乘求或互乘求

30、1111X X1 122221)222121 422222(1P11P11134-aFXaaEAXD Dd dD DEAXal1342-D D令：令：3434lD DD D有：有：223P1FX（拉）（拉）X1=1超静定组合结构的计算超静定组合结构的计算分析图示加劲梁分析图示加劲梁X1基本体系基本体系c/2hc/2hl/4NM&ql2/8MP , NP=0解解:11X1+1P=0计算计算11111P1P时时, ,可忽略梁的可忽略梁的Q Q和和N N对位移的影响。对位移的影响。332322113248AEhcAEhIEl11 332222221AEcAEhhc-1143224212lll

31、IE212111EAlNdxEIMd-11143485IEql-211048528322llqlIE-111EAlNNdxEIMMPPPDl/2l/2hE1I1 E2A2E3A3E3A3c33232211311411112483845AEhcAEhIElIEqlXPD-d111111XNNXNNMXMMPP由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。由上式：横梁由于下部桁架的支承，弯矩大为减小。如如E E2 2A A2 2和和E E3 3A A3 3都趋于无穷大，则都趋于无穷大，则X X1 1趋于趋于5 5qlql/8/8，横梁的弯矩图接，横梁的弯矩图接近近于两跨连续梁的弯矩图。于两跨连续梁

32、的弯矩图。如如E E2 2A A2 2 或或E E3 3A A3 3趋于零，则趋于零，则X X1 1都趋于零，横梁的弯矩图接近于简支都趋于零，横梁的弯矩图接近于简支梁的弯矩图。梁的弯矩图。ql2/32ql2/8 c/2hX1c/2hX1-X1目的是使选用的基本结构和基本未知量目的是使选用的基本结构和基本未知量便于计算，尽可能缩小计算规模，降低线性便于计算，尽可能缩小计算规模，降低线性方程组的阶数；使尽可能多的副系数等于零方程组的阶数；使尽可能多的副系数等于零（减少未知量数；减小未知力和外载的影响（减少未知量数；减小未知力和外载的影响范围）范围）6.6 6.6 对称结构对称结构(symmetri

33、cal structure)的计算的计算对称结构是几何形状、对称结构是几何形状、 支座、支座、 刚度刚度都对称都对称.EIEIEI对称轴对称轴对称轴对称轴l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI2 对称荷载对称荷载绕对称轴绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。等值、作用点重合、同向。 反对称荷载反对称荷载绕对称绕对称轴对这后，对称轴两边的荷轴对这后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。载等值、作用点重合、反向。对称轴对称轴对称轴对称轴EIEI对称轴对称轴qP P1 P1 m反对称荷载反对称荷载对称轴对称轴qPP1P1对称荷载对称荷载任何荷载都

34、可以分解成对称荷载任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。反对称荷载。PP1P2一般荷载一般荷载aP/2FF对称荷载对称荷载aaP/2WW反对称荷载反对称荷载P/2aaP/2P1=F+W，P2=WF 000333323213123232221211313212111DDDPPPXXXXXXXXXddddddddd1 1）取对称的基本体系）取对称的基本体系( (荷载任意，仅用于力法荷载任意，仅用于力法) )PP2一般荷载一般荷载X3X2X1X2X1=11MX2=1X22MX3=13M032233113dddd000333322221211212111DDDPPPXXXXXddddd力法方程降阶

35、力法方程降阶 如果荷载对称，如果荷载对称，MP对称，对称，3P=0，X3=0； 如果荷载反对称，如果荷载反对称，MP反对反对称，称，1P=0， 2P=0， X1= X2 =0。对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。D D2P=0lFPEIEIX2X2X1X1X3X32PF2PF例题例题03333 PXd dEIl 33d dEIlF833PP 8P3lFX- - P33MXMM 2PF2PF13 X13 XFP8lFP

36、8lFP8lFPM求图示结构的弯矩图。求图示结构的弯矩图。EI=常数。常数。lllFPFPFPFP01111 PXd dEIlF6531PP EIl32311 d dPFX451- - PMXMM 1111 X1MPM例题例题1X1XFPFPlFPlFP85lFP85lFP83lFP811M要使半结构能等效代替原结构的受力和变形状态。要使半结构能等效代替原结构的受力和变形状态。关键在于被截开处应按原结构上的位移条件及相关键在于被截开处应按原结构上的位移条件及相应的静力条件设置相应合适的支撑。应的静力条件设置相应合适的支撑。A A、奇数跨结构、奇数跨结构0C 0 Cx对称轴对称轴0C 0 Cy对

37、称轴对称轴对称荷载对称荷载反对称荷载反对称荷载FPFPABCFPFPFPFPABC半结构半结构（等代结构）（等代结构）B B、偶数跨结构、偶数跨结构0C 0 Cx0 Cy0 Cy对称荷载对称荷载反对称荷载反对称荷载ABCFPFPFPFPFPABCFP对称轴对称轴对称轴对称轴EIEIEI对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。 a a）位于对称轴上的截面的位移）位于对称轴上的截面的位移， 内力PPCuc=0、c=0PPQC=0QCPC等代结构等代结构 b b）奇数跨对称结）奇数跨对称结构的等代结构是将构的等代结构是将对称轴上的截面设

38、对称轴上的截面设置成定向支座。置成定向支座。对称：uc=0,c=0中柱：vc=0PPCCP等代结构等代结构PPC对称：uc=0, c=0中柱：vc=0PPCuc=0vc=0 P等代结构等代结构NCNCMC2 2）取等代结构计算）取等代结构计算( (对称或反对称荷载，适用于各种计算方法对称或反对称荷载，适用于各种计算方法) )c c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：构取法：将对称轴上的刚结点、组合结将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。PPC2EIEIEIEI对称结构在反对称荷载作用下，内力、变

39、形及位移是反对称的。对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。 a）位于对称轴上的截面的位移位于对称轴上的截面的位移， 内力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代结构等代结构P等代结构等代结构P等代结构等代结构CPPC2EIPPC 2EIEIEINCNCMCc c）偶数跨对称结构的等代结构）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变将中柱刚度折半，结点形式不变b b）奇数跨对称结构的等代结构是）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆将对称轴上的截面设置成支杆EIEIEIEIQCQC 由于荷载是反对称的，故由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力截面只有

40、剪力QC当不考虑轴向变形时，当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变对原结构的内力和变形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图。再利用对称关系作出另半边结构的内力图。等代结构等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法2EIPPC2EIEIPPPCPP198103.581135kNm例：绘制图示结构的内力图。例：绘制图示结构的内力图。EIEIEI6m6m23kN/m103.581135MK kNm198198103.581135kNm396207等代结构

41、等代结构对称结构对称（或反对称）荷载作用时的计算要点：对称结构对称（或反对称）荷载作用时的计算要点：选取等代结构；选取等代结构；对等代结构进行计算，对等代结构进行计算， 绘制弯矩图；绘制弯矩图；利用对称或反对称性利用对称或反对称性 作原结构的弯矩图；作原结构的弯矩图；EIEI2EIEIEI6m6m6m46kN/mPPEI=常数常数l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2 l/2l/4P/2l/2l/4X1基本体系基本体系l/2X1=1P/2l/24pl1MMp解: d11 x1+1P=0d11=1P=EIllEI4311412111EIPlPlllPllEI84482112X1=6Pl-先叠

42、加等代结构的弯矩图先叠加等代结构的弯矩图12Pl6Pl12Pl例例例：作图示刚架的弯矩图。例：作图示刚架的弯矩图。EI=常数。常数。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/2例题：用力法计算图示结构并作例题：用力法计算图示结构并作M图。图。EI=常数。常数。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MMP4kN.m4解: d11 x1+1P=0431111-D-dPX6444411DPEIEI32564443424421111dEIEI13341M图(kN.m)2kN2kN 0.08P

43、l0.014Pl0.028Pl0.014Pl0.094Pl0.094PlPll/2l/2lAB 对称结构在一般荷载作用下，如无法取对称的基本体系，对称结构在一般荷载作用下，如无法取对称的基本体系，对称和反对称的未知力计算，可将荷载分为对称和反对称两对称和反对称的未知力计算，可将荷载分为对称和反对称两组，按等代结构计算两个问题，再叠加最后弯矩图。组，按等代结构计算两个问题，再叠加最后弯矩图。P/2ABP/2P/2EIEIEIP/2AEIEI/20.014PlP/2ABP/20.027Pl0.108Pl对称结构对称荷对称结构对称荷载作用下中柱无载作用下中柱无弯矩无剪力。弯矩无剪力。Z1Z2X2X2

44、002222121212121111DDDDPPXXXXddddPABD-DDDDDDD000021BABABA 对称结构在一般荷载作用下，如无法取对称的基对称结构在一般荷载作用下，如无法取对称的基本体系，对称和反对称的未知力计算，也可将处于对本体系，对称和反对称的未知力计算，也可将处于对称位置的未知力分解为对称和反对称两组，力法方程称位置的未知力分解为对称和反对称两组，力法方程也就解偶为两组，一组只包含对称未知力，一组只包也就解偶为两组，一组只包含对称未知力，一组只包含反对称未知力，一次计算出最后弯矩图。含反对称未知力，一次计算出最后弯矩图。X1X13 3）组合未知力）组合未知力( (仅适用

45、于力法仅适用于力法) )Pll/2l/2lABEIEIEI0.107Pl0.080Pl0.027Pl0.197PlM图Pll/2l/2lPZ1Z2X1X1X2X2X1=1X1=1l1MX2=1X2=1ll2l2MPPl/2PM0,314,322112322311ddddEIlEIlEIPlEIPlPP4853,4853231-D-D0022221111DDPPXXddPXPX2366. 01563. 021解得：8kN/m 3m3m3m3kN/m X1=1331MX2=133332M用力法计算作图示结构的弯矩图用力法计算作图示结构的弯矩图。EIEIEIEIPP1083363311,814333

46、6331121-D-D0,723332,18233121123322311ddddEIEIEIEI0022221111DDPPXXdd5 . 15 . 421XX解得：PiiMXMM184.54.59M图(kN.m)X2X1PM36对称结构非对称对称结构非对称荷载荷载作用时的处理方法：作用时的处理方法： 在对称轴上解除多余约束，取对称和反对在对称轴上解除多余约束，取对称和反对称未知力直接计算。称未知力直接计算。 将荷载分为对称和反对称两组，选等代结构将荷载分为对称和反对称两组，选等代结构计算，再叠加。集中结点力作用时常这样处理。计算，再叠加。集中结点力作用时常这样处理。 在对称位置解除约束，将

47、多余未知力分为对在对称位置解除约束，将多余未知力分为对称和反对称未知力两组。称和反对称未知力两组。在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种：常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。PM=0 2）一集中力沿）一集中力沿 一柱轴一柱轴作用，只有该柱有轴力作用，只有该柱有轴力.PM=0M=0 3）无结点线位移的结构，）无结点线位移的结构，受

48、结点集中力作用，只有轴力。受结点集中力作用，只有轴力。MP=0MP=0 1P=0 110X1= 1P/11=0M=M1X1+MP=0PPPPPEI2EI1EI1PlhP/2P/2P/2P/2求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。M=0P/2P/2等代结构等代结构X1基本体系基本体系l/2l/2MX1=1MPP/2Pl/2EIlPhEIlhPh1211182221DEIlEIhl2312244EIlllEIlhl211113222122dlIhIk12lPhkk2166-XP1111D-d41626Phkk4166Phkk41626Phkk4166Phk

49、k41918 Ph4Ph2Ph2Phk很小很小弱梁强柱弱梁强柱k很大很大强梁弱柱强梁弱柱4Ph41920 Phk=3荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有关，而与各杆的刚度绝对值无关。关，而与各杆的刚度绝对值无关。内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力也大内力也大。lIhIk12例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：将荷载分为正对承和反对称两组解：将荷载分为正对承和反对称两组正对称结点荷载作用下各杆弯矩为零反对称荷载作用取等代结构如下1、取基本结构；、取基本结构；2、力法方程、力法方程：=+P/2P/2等代结构00P/2P/2X1基基本本体体系系01111DPXdX1=11M23PaX1MP2Pa3、绘、绘 求系数求系数 自由项自由项PMM ,14、解方程：、解方程：28151111PXPD-dEIPaEIaP453731311-Dd5、按、按 绘弯矩图。绘弯矩图。PMXMM111512715127)28(PaM图a FPFPFPFPFP