高中数学1.2.1平面的基本性质同步辅导与检测课件苏教版必修

1、立体几何初步 1 12 2点、线、面之间的位置关系点、线、面之间的位置关系1 12.12.1平面的基本性质平面的基本性质我们在日常生活中常见到一些物体如湖面、黑板面、桌面、玻璃面，都给我们以平面的感觉那么我们能够将这些面定义为平面吗？测量中的平板仪、望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上，你知道其中的道理吗？1我们知道，几何里的平面是无限延展的，通常把水平的平面画成一个平行四边形，常用符号的规定是(1)A，读作：“_”；B，读作：“_”；(2)Al，读作：“_”；Bl，读作：“_”(3)l，读作：“_”；l，读作：“_”；_的两条直线叫做异面直线2公理1.(1)文字语言：如果_，那么_(

2、2)符号语言：Al，Bl，A，B_.1(1)点A在平面内点B在平面外(2)点A在直线l上点B在直线l外(3)直线l在平面内直线l在平面外不同在任何一个平面内2(1)一条直线上的两点在一个平面内这条直线上所有的点都在这个平面内(2)l3公理2.(1)文字语言：如果两个平面_，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是_(2)符号语言：P，P_.4公理3.(1)文字语言：经过_的三点，_一个平面(2)符号语言：Al，Bl，Cl_.3(1)有一个公共点经过这个公共点的一条直线(2)l，Pl4(1)不在同一条直线上有且只有(2)三点A、B、C确定唯一平面5推论1：经过_，_一个平面6推论2：经过_，_

3、一个平面7推论3：经过_，_一个平面5一条直线和这条直线外的一点有且只有6两条相交直线有且只有7两条平行直线有且只有基本性质基本性质1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内该公理是判定直线在平面内的依据证明一条直线在某一平面内，即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可基本性质基本性质2公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理2主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一条直线上证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内)，这样，

4、可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线基本性质基本性质3及其三个推论及其三个推论公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面的重要依据，是把空间问题化归成平面问题的重要渠道点、线共面点、线共面 (1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行但不共面，它们

5、可以确定几个平面？(3)共点的三条直线可以确定几个平面？分析：(1)可利用公理2判定(2)可利用公理3的推论3判定(3)需分类讨论进行判定解析：(1)不共面的四点可以确定四个平面(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定3个平面(3)共点的三条直线可以确定1个或3个平面规律总结：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏平面的确定问题主要是根据已知条件和公理3及其3个推论来判平面的个数变式训练变式训练1在下列各种面中，不能认为是平面一部分的应该为_黑板面；乒乓球桌面；篮球的表面；平静的水面解析：“平面”的各部分都是“平”的，不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面，乒乓

6、球桌面，平静的水面可作为平面的一部分而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分答案：点共线问题点共线问题 正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，求证：点C1、O、M三点共线分析：要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可证明：如下图所示，A1AC1C确定平面A1C.方法点拨：证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上线共点问题线共点问题 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且 (如右图所示)，求证：三条直

7、线EF、GH、AC交于一点分析：欲证三线共点，可证其中两条直线有交点，且该交点在第三条直线上四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.P直线EF，EF平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC，P在平面ABC和平面ADC的交线AC上故EF、GH、AC三直线交于一点方法点拨：平面几何中证多线共点的思维方法适用于空间，只是在思考中应考虑到空间图形的新特点变式训练变式训练2如下图，已知平面，且l.设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)证明：梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰AB，CD必定相交于一点，设ABCDM.又AB，

8、CD，M，且M.M.又l，Ml，即AB，CD，l共点公理公理3的三个推论的三个推论求证：两两相交且不共点的四条直线共面分析：首先应分析两两相交且不共点的四条直线有几种情况，本题四线不共点，但有可能三线共点，或没有三线共点，所以应分两种情况证明第一种，四条直线中每三条直线都不交于一点第二种，四条直线中有三条直线交于一点证明：证法一：设a、b、c、d为两两相交且不共点的四条直线(如右图)若a、b、c共点且交点为P，d与a、b、c分别交于S、R、Q.adS，a、d确定一个平面，设为(公理3的推论2)Qd，Pa，a、d，Q、P，c(公理1)同理，b，a、b、c、d共面若a、b、c、d每三条都不交于一点

9、，如右图，adP，bdQ，cdR，abS，acM，bcN.adP，a、d确定一个平面，设为.Qd，Sa，a、d，Q、S，b，同理c，a、b、c、d共面证法二：若a、b、c相交于P点abP，a、b确定一平面.daS，dbR，S、R，d.bcP，b、c确定一平面.dcQ，dbR，R、Q，d.存在两相交直线b、d既在内，又在内，与重合，a、b、c、d共面若a、b、c、d无三线交于一点，由a、b确定平面，d、c确定平面，caM，cbN，dbQ，M，N，Q.M、N、Q不共线，、有三个不共线的点，、重合，即a、b、c、d共面规律总结：四条直线两两相交且不交于一点与三条直线两两相交且不交于一点不同，后者只是一种情况，前者是两种情况证共面用上述方法即先用已知确定一平面，再证其余元素在此平面内变式训练变式训练3如右图，经过直线a外一点A，引三条直线分别与a相交于点B、C、D.求证：a、AB、AC、AD四线共面证明：点A是直线a外的一点，由推论1可知：经过直线a和点A的平面有且只有一个，设为平面.B、C、Da，B、C、D，又A，直线AB、AC、AD均在平面内，a、AB、AC、AD四线共面基础巩固基础巩固平面的概念及符号表示平面的概念及符号表示1下列命题中，正确的个数为_个一个平面长4 m，宽2 m；2个平面重叠在一起比一个平面厚；一个平面的面积是25 cm2；一条