高中数学课件___空间直角坐标系

1、4.3空间直角坐标系4.3.1空间直角坐标系1.1.通过具体情境通过具体情境, ,感受建立空间直角坐标系的必要性感受建立空间直角坐标系的必要性. .2.2.了解空间直角坐标系的建系方法了解空间直角坐标系的建系方法, ,会用空间直角坐标系刻画会用空间直角坐标系刻画点的位置点的位置, ,能在空间直角坐标系中求出点的坐标能在空间直角坐标系中求出点的坐标. .3.3.感受类比思想在探索新知识过程中的作用感受类比思想在探索新知识过程中的作用. .1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系(1)(1)空间直角坐标系的要求：空间直角坐标系的要求：三条轴两两三条轴两两_;_;三条轴两两三条轴两两_;_;有有_的单位

2、长度的单位长度. .相交相交垂直垂直相同相同(2)(2)空间直角坐标系的构成要素：空间直角坐标系的构成要素：原点：原点原点：原点O;O;坐标轴：坐标轴：_轴轴,_,_轴轴,_,_轴轴; ;坐标平面：坐标平面：_平面平面,_,_平面平面,_,_平面平面. .(3)(3)右手直角坐标系的要求：右手直角坐标系的要求：右手拇指指向右手拇指指向x x轴的正方向轴的正方向; ;右手食指指向右手食指指向y y轴的正方向轴的正方向; ;右手中指指向右手中指指向z z轴的正方向轴的正方向. .x xy yz zxOyxOyyOzyOzxOzxOz2.2.空间一点的坐标空间一点的坐标空间一点空间一点M M 有序实

3、数组有序实数组(x,y,z).(x,y,z).其中其中_称为横坐标，称为横坐标，_称为纵坐标，称为纵坐标，_称为竖坐标称为竖坐标. .一一对应x xy yz z1.“1.“判一判判一判”理清知识的疑惑点理清知识的疑惑点( (正确的打正确的打“”“”, ,错误的打错误的打“”).”).(1)(1)平面直角坐标系中的两坐标轴把平面分成四部分平面直角坐标系中的两坐标轴把平面分成四部分, ,空间直空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分成六部分角坐标系中的三个坐标平面把空间分成六部分.(.() )(2)(2)在平面上画空间直角坐标系时在平面上画空间直角坐标系时,xOy=135,xOy=135,yOz=9

4、0,yOz=90. . ( () )(3)(3)给定空间直角坐标系给定空间直角坐标系, ,空间任意一点与有序实数组空间任意一点与有序实数组(x,y,z)(x,y,z)之间存在唯一的对应关系之间存在唯一的对应关系.(.() )(4)(4)右手直角坐标系是指右手直角坐标系是指x x轴正半轴向右方向的坐标系轴正半轴向右方向的坐标系.(.() )提示：提示：(1)(1)错误错误. .空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分成八部分成八部分. .(2)(2)正确正确. .这是空间直角坐标系的常用画法这是空间直角坐标系的常用画法. .(3)(3)正确正确. .这是空间直

5、角坐标系的作用这是空间直角坐标系的作用. .(4)(4)错误错误. .在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,对三条坐标轴的方向作如下约对三条坐标轴的方向作如下约定：伸出右手定：伸出右手, ,拇指指向拇指指向x x轴正方向轴正方向, ,食指指向食指指向y y轴正方向轴正方向, ,中指中指指向指向z z轴正方向轴正方向, ,即建立右手直角坐标系即建立右手直角坐标系, ,故此说法是错误的故此说法是错误的. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.“2.“练一练练一练”尝试知识的应用点尝试知识的应用点( (请把正确的答案写在横线请把正确的答案写在横线上上).).(1)(1

6、)点点M(2,0,0)M(2,0,0)所在的位置是所在的位置是. .(2)(2)已知已知A(2,0,3),B(-2,0,-1),A(2,0,3),B(-2,0,-1),则则ABAB的中点坐标是的中点坐标是. .(3)z(3)z轴上的点的坐标的特点是轴上的点的坐标的特点是. .【解析解析】(1)(1)由于点由于点M M的横坐标为的横坐标为2 2，纵坐标与竖坐标均为，纵坐标与竖坐标均为0 0，因此点因此点M M位于位于x x轴的正半轴上轴的正半轴上. .答案：答案：x x轴的正半轴上轴的正半轴上(2)(2)设设ABAB的中点为的中点为P(x,y,z)P(x,y,z)，则由中点坐标公式知，则由中点坐

7、标公式知答案：答案：(0,0,1)(0,0,1)(3)z(3)z轴上的点的共同特点是横、纵坐标都为轴上的点的共同特点是横、纵坐标都为0.0.答案：答案：横、纵坐标都是横、纵坐标都是0 0223 1x0,y0,z1.22空间直角坐标系及其点的坐标空间直角坐标系及其点的坐标根据空间直角坐标系的相关知识根据空间直角坐标系的相关知识, ,探究下列问题：探究下列问题：探究探究1 1：空间直角坐标系的建系不同：空间直角坐标系的建系不同, ,点的坐标相同吗点的坐标相同吗? ?提示：提示：建立坐标系是解题的关键建立坐标系是解题的关键, ,坐标系建立的不同坐标系建立的不同, ,点的坐点的坐标也不同标也不同, ,

8、但点的相对位置是不变的但点的相对位置是不变的, ,坐标系的不同也会引起坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同解题过程的难易程度不同, ,因此解题时要慎重建立空间直角坐因此解题时要慎重建立空间直角坐标系标系. .探究探究2 2：在给定空间直角坐标系下：在给定空间直角坐标系下, ,如何确定空间一点如何确定空间一点P P的坐标的坐标? ?提示：提示：过点过点P P作平面作平面xOyxOy的垂线的垂线, ,垂垂足为足为Q,Q,在平面在平面xOyxOy内过点内过点Q Q分别作分别作x x轴轴,y,y轴的垂线确定点轴的垂线确定点P P的横坐标的横坐标, ,纵坐标纵坐标, ,再过点再过点P P作平行于作

9、平行于OQOQ的直的直线线PMPM交交z z轴于点轴于点M,M,确定点确定点P P的竖坐标的竖坐标. .探究探究3 3：设点：设点M M的坐标为的坐标为(a,b,c),(a,b,c),过点过点M M分别作分别作xOyxOy平面平面, ,yOzyOz平面平面,xOz,xOz平面的垂线平面的垂线, ,那么三个垂足的坐标分别如何那么三个垂足的坐标分别如何? ?提示：提示：分别是分别是(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c).(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c).【探究提升探究提升】1.1.对空间点的坐标的三点说明对空间点的坐标的三点说明(1)(1)表示空间中点的坐标需要表示空间中点的

10、坐标需要3 3个实数个实数, ,即有序数组即有序数组(x,y,z),(x,y,z),且且点与有序数组是一一对应的点与有序数组是一一对应的. .(2)(2)若点的坐标有两个若点的坐标有两个0,0,则该点在坐标轴上则该点在坐标轴上. .若仅有一个为若仅有一个为0,0,则该点必在坐标平面内则该点必在坐标平面内. .若均不为若均不为0,0,则该点既不在坐标轴上则该点既不在坐标轴上, ,也不在坐标平面内也不在坐标平面内. .(3)(3)在空间建立的坐标系不同在空间建立的坐标系不同, ,同一个点的坐标的表达形式也同一个点的坐标的表达形式也不相同不相同. .2.2.空间一些特殊点的坐标空间一些特殊点的坐标(

11、1)(1)原点坐标原点坐标(0,0,0).(0,0,0).(2)x(2)x轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(x,0,0),(x,0,0),其中其中x x为任意实数为任意实数. .(3)y(3)y轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(0,y,0),(0,y,0),其中其中y y为任意实数为任意实数. .(4)z(4)z轴上的点的坐标为轴上的点的坐标为(0,0,z),(0,0,z),其中其中z z为任意实数为任意实数. .(5)xOy(5)xOy平面上的点的坐标为平面上的点的坐标为(x,y,0),(x,y,0),其中其中x,yx,y为任意实数为任意实数. .(6)yOz(6)yOz平面上的点的坐标为平

12、面上的点的坐标为(0,y,z),(0,y,z),其中其中y,zy,z为任意实数为任意实数. .(7)xOz(7)xOz平面上的点的坐标为平面上的点的坐标为(x,0,z),(x,0,z),其中其中x,zx,z为任意实数为任意实数. .类型类型 一一 求空间中点的坐标求空间中点的坐标尝试完成下列题目尝试完成下列题目, ,归纳在空间直角坐标系中确定空间一归纳在空间直角坐标系中确定空间一点点P P的坐标的步骤的坐标的步骤. .1.1.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,在在z z轴上的点的坐标可记为轴上的点的坐标可记为( () )A.(0,b,0) B.(a,0,0)A.(0,b,0) B.(a

13、,0,0)C.(0,0,c) D.(0,b,c)C.(0,0,c) D.(0,b,c)2.2.如图如图, ,在长方体在长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,|AD|=3,|AB|=5,|AD|=3,|AB|=5,|AA|=3,|AA|=3,设设E E为为DBDB的中点的中点,F,F为为BCBC的中点的中点, ,在给定的空间直在给定的空间直角坐标系角坐标系DxyzDxyz下下, ,试写出试写出A,B,C,D,A,B,C,D,E,FA,B,C,D,A,B,C,D,E,F各点各点的坐标的坐标. .【解题指南解题指南】1.1.根据根据z z轴上的点的坐标特点：横、纵坐标均为轴上的点的坐标特点

14、：横、纵坐标均为0,0,即可找出正确答案即可找出正确答案. .2.2.解答本题首先要明确坐标的定义解答本题首先要明确坐标的定义, ,再根据定义通过找面内的再根据定义通过找面内的点的坐标得所求点的坐标点的坐标得所求点的坐标. .【解析解析】1.1.选选C.C.因为因为z z轴上所有点的横、纵坐标均为零，所以轴上所有点的横、纵坐标均为零，所以选选C.C.2.2.因为因为A A，B B，C C，D D这这4 4个点都在坐标平面个点都在坐标平面xDyxDy内，它们的竖坐内，它们的竖坐标都是标都是0 0，而它们的横坐标和纵坐标可利用，而它们的横坐标和纵坐标可利用|AD|=3,|AB|=5|AD|=3,|

15、AB|=5写写出，所以出，所以A(3A(3，0 0，0)0)，B(3B(3，5 5，0)0)，C(0C(0，5 5，0)0)，D(0D(0，0 0，0)0)；因为平面；因为平面ABCDABCD与坐标平面与坐标平面xDyxDy平行，且平行，且|AA|=3,|AA|=3,所以所以AA，BB，C,DC,D的竖坐标都是的竖坐标都是3 3，而它们的横坐标和，而它们的横坐标和纵坐标分别与纵坐标分别与A A，B B，C C，D D的相同，所以的相同，所以A(3A(3，0 0，3)3)，B(3B(3，5 5，3)3)，C(0C(0，5 5，3)3)，D(0D(0，0 0，3)3)；由于由于E E是是DBDB的

16、中点，所以它在坐标平面的中点，所以它在坐标平面xDyxDy上的射影为上的射影为DBDB的的中点，从而中点，从而E E的横坐标和纵坐标分别是的横坐标和纵坐标分别是BB的的 ，同理，同理E E的竖坐的竖坐标也是标也是BB的竖坐标的的竖坐标的 ，所以，所以 由由F F为为BCBC的中点可的中点可知，知，F F在坐标平面在坐标平面xDyxDy的射影为的射影为BCBC的中点，所以的中点，所以F F的横坐标和纵的横坐标和纵坐标分别为坐标分别为 和和5 5，同理点，同理点F F在在z z轴上的投影是轴上的投影是DDDD的中点，故的中点，故其竖坐标为其竖坐标为 ，所以，所以12123 5 3E()2 2 2，

17、 ；323233F( ,5, ).22【互动探究互动探究】题题2 2的条件不变的条件不变, ,求点求点E E关于关于x x轴轴, ,平面平面xDzxDz的对称的对称点点. .【解析解析】设点设点E E关于关于x x轴对称的点为轴对称的点为E E0 0(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0), ), 为为E E0 0E E的中点的中点, ,所以所以 解之解之, ,得得所以所以同理可得：点同理可得：点E E关于平面关于平面xDzxDz的对称点为的对称点为 13E ( ,0,0)20003x32225y2023z202，0003x25y23z2 ，0353E ( ,).22235 3( , ).

18、22 2【技法点拨技法点拨】在空间直角坐标系中确定空间一点在空间直角坐标系中确定空间一点P P的坐标的步的坐标的步骤骤【变式训练变式训练】如图如图, ,三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,所有棱长都为所有棱长都为2,2,侧棱侧棱AAAA1 1底面底面ABC,ABC,建立适当坐标系建立适当坐标系, ,写出各顶点的坐标写出各顶点的坐标. .【解题指南解题指南】根据底面为正三角形根据底面为正三角形, ,可取可取ACAC中点为坐标原中点为坐标原点点,AC,AC的中垂线为的中垂线为x x轴轴,AC,AC为为y y轴轴, ,面面ACCACC1 1A A1 1中与中与AC

19、AC垂直的直线为垂直的直线为z z轴轴. .【解析解析】取取ACAC的中点的中点O O和和A A1 1C C1 1的中点的中点O O1 1, ,连接连接BO,OOBO,OO1 1, ,可得可得BOAC,BOAC,分别以分别以OB,OC,OB,OC,OOOO1 1所在直线为所在直线为x,y,zx,y,z轴建立空间直角坐轴建立空间直角坐标系标系, ,如图如图. .因为三棱柱各棱长均为因为三棱柱各棱长均为2,2,所以所以OA=OC=1,OB= .OA=OC=1,OB= .可得可得A(0,-1,0),A(0,-1,0),B( ,0,0),C(0,1,0),AB( ,0,0),C(0,1,0),A1 1

20、(0,-1,2),B(0,-1,2),B1 1( ,0,2),C( ,0,2),C1 1(0,1,2).(0,1,2).333类型类型 二二 由空间点的坐标确定点的位置由空间点的坐标确定点的位置试着解答下列题目试着解答下列题目, ,总结求空间中点总结求空间中点P(x,y,z)P(x,y,z)的位置的步的位置的步骤及方法骤及方法. .1.1.点点P(0,1,4)P(0,1,4)位于位于( () )A.yA.y轴上轴上 B.xB.x轴上轴上C.xOzC.xOz平面内平面内 D.yOzD.yOz平面内平面内2.2.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,作出点作出点M(4,2,5).M(4,2,5

21、).【解题指南解题指南】1.1.根据点根据点P P的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来判断判断. .2.2.分别在分别在x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴上取点轴上取点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,5),(4,0,0),(0,2,0),(0,0,5),过这过这三点作轴的垂面三点作轴的垂面, ,交点即所求交点即所求. .【解析解析】1.1.选选D.D.因为点因为点P(0,1,4)P(0,1,4)的横坐标为的横坐标为0,0,所以点所以点P P位于位于yOzyOz平面内平面内. .2.2.如图如图. .在在x x轴上找到点轴上找到点M M1 1(4,0,0),(

22、4,0,0),过过M M1 1作与作与x x轴垂直的平面轴垂直的平面;在在y y轴上找到点轴上找到点M M2 2(0,2,0),(0,2,0),过过M M2 2作与作与y y轴垂直的平面轴垂直的平面;在在z z轴上找到点轴上找到点M M3 3(0,0,5),(0,0,5),过过M M3 3作与作与z z轴轴垂直的平面垂直的平面,则平面则平面,交于一点交于一点, ,此交点即为所求作此交点即为所求作的点的点M(4,2,5).M(4,2,5).【技法点拨技法点拨】1.1.求空间中点求空间中点P(a,b,c)P(a,b,c)的位置的四个步骤的位置的四个步骤2.2.已知点已知点P P的坐标确定其位置的方

23、法的坐标确定其位置的方法(1)(1)利用平移点的方法利用平移点的方法, ,将原点按坐标轴方向三次平移得点将原点按坐标轴方向三次平移得点P.P.(2)(2)构造适合条件的长方体构造适合条件的长方体, ,通过和原点相对的顶点确定点通过和原点相对的顶点确定点P P的的位置位置. .(3)(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面通过作三个分别与坐标轴垂直的平面, ,由平面的交点确定由平面的交点确定点点P.P.提醒：提醒：(1)(1)若点的坐标有两个为若点的坐标有两个为0,0,则该点在坐标轴上则该点在坐标轴上( (如点如点A(0,1,0),A(0,1,0),则该点在则该点在y y轴上轴上).).(2)(2

24、)若仅有一个为若仅有一个为0,0,则该点必在坐标平面内则该点必在坐标平面内( (如点如点A(a,b,0)A(a,b,0)必必在在xOyxOy平面内平面内).).【变式训练变式训练】在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中中, ,作出点作出点P(5,4,6).P(5,4,6).【解析解析】第一步从原点出发沿第一步从原点出发沿x x轴正轴正方向移动方向移动5 5个单位个单位, ,第二步沿与第二步沿与y y轴平轴平行的方向向右移动行的方向向右移动4 4个单位个单位, ,第三步第三步沿与沿与z z轴平行的方向向上移动轴平行的方向向上移动6 6个单个单位位( (如图如图),),即作出点即作出点

25、P(5,4,6).P(5,4,6).类型类型 三三 空间中点的对称问题空间中点的对称问题通过解答下列空间中点的对称问题通过解答下列空间中点的对称问题, ,试总结空间中点关于试总结空间中点关于坐标平面、坐标轴对称的点的特点坐标平面、坐标轴对称的点的特点. .1.1.已知点已知点P(-2,1,5),P(-2,1,5),则点则点P P关于原点对称的点的坐标为关于原点对称的点的坐标为. .2.2.已知已知M(2,1,3),M(2,1,3),求求M M关于原点对称的点关于原点对称的点M M1 1,M,M关于关于xOyxOy平面对称平面对称的点的点M M2 2,M,M关于关于x x轴、轴、y y轴对称的点

26、轴对称的点M M3 3,M,M4 4. .【解题指南解题指南】1.1.点点P P关于原点对称的点的横坐标、纵坐标、竖关于原点对称的点的横坐标、纵坐标、竖坐标均为点坐标均为点P P相应坐标的相反数相应坐标的相反数. .2.2.根据空间直角坐标系的点关于坐标轴根据空间直角坐标系的点关于坐标轴, ,坐标平面对称的点的坐标平面对称的点的坐标特点来写坐标特点来写. .【解析解析】1.1.点点P(-2,1,5)P(-2,1,5)关于原点对称的点的坐标为关于原点对称的点的坐标为(2,-1,-5).(2,-1,-5).答案：答案：(2,-1,-5)(2,-1,-5)2.2.由于点由于点M M与与M M1 1关

27、于原点对称关于原点对称, ,所以所以M M1 1(-2,-1,-3);(-2,-1,-3);点点M M与与M M2 2关于关于xOyxOy平面对称平面对称, ,横坐标与纵坐标不变横坐标与纵坐标不变, ,竖坐标变为原来的相反数竖坐标变为原来的相反数, ,所以所以M M2 2(2,1,-3);M(2,1,-3);M与与M M3 3关于关于x x轴对称轴对称, ,则则M M3 3的横坐标不变的横坐标不变, ,纵坐纵坐标和竖坐标变为标和竖坐标变为M M的相反数的相反数, ,即即M M3 3(2,-1,-3),(2,-1,-3),同理同理M M4 4(-2,1,-3).(-2,1,-3).【技法点拨技法

28、点拨】空间中关于坐标平面、坐标轴对称的点的特点空间中关于坐标平面、坐标轴对称的点的特点(1)(1)关于哪个坐标平面对称的点关于哪个坐标平面对称的点, ,点在哪个平面上的坐标不变点在哪个平面上的坐标不变, ,其余的坐标变为原来的相反数其余的坐标变为原来的相反数. .(2)(2)关于哪条坐标轴对称关于哪条坐标轴对称, ,哪个坐标不变哪个坐标不变, ,其余的坐标分别变为其余的坐标分别变为原来的相反数原来的相反数. .【拓展延伸拓展延伸】常见对称的一些结论常见对称的一些结论点点P(x,y,z)P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为关于坐标原点的对称点为P P1 1(-x,-y,-z);(-x,-y,-

29、z);点点P(x,y,z)P(x,y,z)关于横轴关于横轴(x(x轴轴) )的对称点为的对称点为P P2 2(x,-y,-z);(x,-y,-z);点点P(x,y,z)P(x,y,z)关于纵轴关于纵轴(y(y轴轴) )的对称点为的对称点为P P3 3(-x,y,-z);(-x,y,-z);点点P(x,y,z)P(x,y,z)关于竖轴关于竖轴(z(z轴轴) )的对称点为的对称点为P P4 4(-x,-y,z);(-x,-y,z);点点P(x,y,z)P(x,y,z)关于关于xOyxOy坐标平面的对称点为坐标平面的对称点为P P5 5(x,y,-z);(x,y,-z);点点P(x,y,z)P(x,

30、y,z)关于关于yOzyOz坐标平面的对称点为坐标平面的对称点为P P6 6(-x,y,z);(-x,y,z);点点P(x,y,z)P(x,y,z)关于关于zOxzOx坐标平面的对称点为坐标平面的对称点为P P7 7(x,-y,z).(x,-y,z).【变式训练变式训练】已知点已知点P(2,-5,8),P(2,-5,8),分别写出点分别写出点P P关于原点关于原点,x,x轴轴, ,y y轴轴,z,z轴和轴和xOzxOz平面的对称点平面的对称点. .【解析解析】点点P(2,-5,8)P(2,-5,8)关于原点的对称点为关于原点的对称点为(-2,5,-8),(-2,5,-8),点点P P关于关于x

31、 x轴轴,y,y轴轴,z,z轴的对称点分别为：轴的对称点分别为：(2,5,-8),(2,5,-8),(-2,-5,-8),(-2,5,8).(-2,-5,-8),(-2,5,8).点点P P关于关于xOzxOz平面的对称点为平面的对称点为(2,5,8).(2,5,8).1.1.关于空间直角坐标系的叙述正确的是关于空间直角坐标系的叙述正确的是( () )A.P(x,y,z)A.P(x,y,z)中中x,y,zx,y,z的位置可以互换的位置可以互换B.B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应关系应关系C.C.空间直角坐标系中的三条坐标

32、轴把空间分为八个部分空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D.D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同【解析解析】选选B.A,DB.A,D易知错误易知错误, ,对于对于C C应是坐标平面应是坐标平面. .2.2.点点(2,0,4)(2,0,4)在空间直角坐标系中的位置是在空间直角坐标系中的位置是( () )A.A.在在x x轴上轴上 B.B.在在y y轴上轴上C.C.在在xOzxOz平面上平面上 D.D.在在xOyxOy平面上平面上【解析解析】选选C.C.由于纵坐标为由于纵坐标为0,0,横、竖坐标不为横、竖坐标不为0,0,故在故在xOzxOz平平面内面内. .3.3.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4),P(2,3,4),Q(-2,3,-