高等数学高职

1、高等数学高等数学书名：高等数学（下）ISBN： 978-7-111-31288-8作者：陶金瑞出版社：机械工业出版社本书配有电子课件高等数学（下） 高职高专 ppt 课件第九章第九章 无穷级数无穷级数学习目标：学习目标：l理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正理解无穷级数收敛与发散的基本概念，掌握正项级数和交错级数的审敛法；项级数和交错级数的审敛法；l掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函掌握简单幂级数收敛于的求法，会将简单的函数用间接展开法展开成幂级数；数用间接展开法展开成幂级数；l掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级掌握将周期函数和奇、偶函数展开为傅里叶级数的方法。数的方法。高等数

2、学高等数学高等数学（下） 高职高专 ppt 课件内容提要内容提要无穷级数无穷级无穷级数概念数概念和性质和性质周期为周期为2L的函数的函数的傅立的傅立叶级数叶级数傅立叶傅立叶级数的级数的复数复数形式形式正弦与余正弦与余弦级数弦级数 周期延拓周期延拓傅立傅立叶叶级数级数函数的函数的幂级幂级数展开数展开任意任意项项级数级数幂级幂级数数正项正项级数级数高等数学（下） 高职高专 ppt 课件第一节第一节 无穷级数概念与性质无穷级数概念与性质v重点：（重点：（1 1） 级数及其收敛与发散级数及其收敛与发散 （2 2） 级数的基本性质级数的基本性质 （3 3） 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件v难点难点

3、: : 用定义判断级数的敛散性用定义判断级数的敛散性 高等数学（下） 高职高专 ppt 课件一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念高等数学（下） 高职高专 ppt 课件二、数项级数的收敛和发散二、数项级数的收敛和发散nnn10310003100310310313 . 01031S33. 010310322S333. 0103103103323S 例例 1 讨论级数讨论级数 101解：这是以解：这是以为公比的等比级数，分别取级数的前为公比的等比级数，分别取级数的前1 项，项， 前前 2 项，项，前前n项做和：项做和： 高等数学（下） 高职高专 ppt 课件3333. 01031031031

4、0332nnS 当当n时，有时，有 313 . 03333. 0limnnS 它反映了级数它反映了级数1103nn的无穷多项累加的结果为的无穷多项累加的结果为 31，我们，我们 把极限值把极限值31叫作级数叫作级数1103nn的“和” 。的“和” 。 高等数学（下） 高职高专 ppt 课件高等数学（下） 高职高专 ppt 课件定定义义 如如果果SSnnlim，则则称称级级数数1nnu收收敛敛，称称极极限限值值S为为级级 数数的的和和，记记作作 nnnnuuuuS211 此此时时称称21nnnnSSSSr为为级级数数的的余余项项。如如果果nnSlim 不不存存在在，则则称称级级数数1nnu发发散

5、散，发发散散的的级级数数没没有有和和。 高等数学（下） 高职高专 ppt 课件1) 1(11111n11111 22 33 4(1)n nnn1ln34ln23ln12lnn321 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性（1） （2） （3） （4） 2) 1(321nnnSn2) 1(limlimnnSnnn1nn解：（解：（1） 级数的部分和为级数的部分和为 所以级数所以级数发散。发散。高等数学（下） 高职高专 ppt 课件11S02S13S04S112nS02nSnnSlim11) 1(nn（2） 级数的部分和为级数的部分和为 ， ， ， ， 即即 ， 所以所以 不存在，所以级数不存在

6、，所以级数 发散。发散。 111) 1(1nnnn111)111()4131()3121()211 (nnnSn1)111 (limlimnSnnn1) 1(1nnn1（3）因为因为， 所以级数的部分和为所以级数的部分和为 而而 所以级数所以级数 收敛，其和为收敛，其和为 。 nnnnln) 1ln(1ln11lnnnn) 1ln()ln) 1(ln()3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(lnnnnSn) 1ln(limlimnSnnn（4） 因为 ， 所以 而 所以级数 发散。 )0( a12naqaqaqaqqaSnn1)1 ( 例 3 讨论等比级数等比级数（又称几何级数几何级数）

7、 的敛散性。 解：此级数的部分和为 三、无穷级数的性质三、无穷级数的性质Svuvunnnnnnn111)(1nnuS1nnCuCS性质性质 1 若若 ， C 为常数，则为常数，则 。 1nnuS1nnv性质性质 2 若若 ， ，则有，则有 性质性质 3 一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散一个级数增加或去掉有限项，不改变级数的敛散 性（但收敛级数的和要变）。性（但收敛级数的和要变）。 性质性质 4 收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，收敛级数任意加括号后所形成的新级数仍收敛，其和不变。其和不变。 注意：注意：性质性质 4 的逆命题是错误的。的逆命题是错误的。 11)3) 1(2(n

8、nn例例4 判别级数判别级数 是否收敛，如果收敛，并求其和。是否收敛，如果收敛，并求其和。 131nn31q213113141311313) 1(11nnn11)3) 1(2(nnn4541212413123) 1(32)3) 1(2(111111nnnnnnnnnn解：解： 是是 的等比级数，收敛并且和为的等比级数，收敛并且和为 。 同理同理 根据级数的性质根据级数的性质1，2 可知，可知， 也收敛，其和为也收敛，其和为 四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件 1nnu只是级数收敛的必要条件而不是充分条件；只是级数收敛的必要条件而不是充分条件；0limnnu0limnnu0limnnu

9、定理：定理：若级数若级数 收敛，则收敛，则 。 注：注： 1） 2） 若若 不成立，则级数必定发散。我们经常用不成立，则级数必定发散。我们经常用 这个结论来证明级数发散。这个结论来证明级数发散。 101. 0nnnnnu21001. 00110limlim2nnnnu例例 5 判别级数判别级数 的敛散性。的敛散性。 解：解： 所以所以 由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。由级数收敛的必要条件得原级数是发散的。 第二节第二节 正项级数正项级数v重点：重点： 正项级数收敛性的两个判别法正项级数收敛性的两个判别法v难点：难点： 比较判别法中尺度的选择比较判别法中尺度的选择一、比较审敛法一、比较审敛

10、法1nnu0nu1nnu1. 如果级数如果级数 的每一项的每一项 ，则称，则称 为为正项级数正项级数 1nnv1nnunnvu )3 , 2 , 1(n1nnv1nnu1nnu1nnv2. 设正项级数设正项级数 和和 满足：满足： 则则 （1） 若级数若级数 收敛，收敛， 也收敛，也收敛， （2） 若级数若级数 收敛，收敛， 也收敛。也收敛。 这个判别法称为正项级数的这个判别法称为正项级数的比较判别法比较判别法。 11312111nnn例例1 级数级数 叫作调和级数，试判别其叫作调和级数，试判别其 敛散性。敛散性。 0 x ln(1)xx111123111ln(1 1)ln(1)ln(1)ln

11、(1)23341ln2lnlnln23nnnn解：解： 当当 时，有时，有 （此不等式可用函数的（此不等式可用函数的 单调性来证明）单调性来证明） 所以所以 p11npn(0)p 例例2 讨论讨论 级数级数的敛散性。的敛散性。 由比较判别法知由比较判别法知1pp1p pnn11pnn11npn1p 122331111111111 ()()()234567891524812481111222ppppppppppppppp 解：（解：（1） 当当 时，时， 级数为调和函数，故发散。级数为调和函数，故发散。 （2） 当当 时，时， ，因此，因此 ， 发散。发散。 （3）当）当 时，将级数改写成：时，

12、将级数改写成： 解：（解：（1） 因为因为22121nnn，而，而121nn是是12 p 的的p级数，故级数级数，故级数1221nnn 是收敛的。是收敛的。 （2） 当当0 x时，有时，有)1ln(xx， 所以，所以， )1ln(nn，即，即nn1)1ln(1， 而而11nn是发散的，故级数是发散的，故级数1)1ln(1nn发散。发散。 （4） 因为因为11122nnnnnn， 而级数而级数111nn是发散的是发散的 故级数故级数121nnn发散。发散。 （3）因为）因为 而级数而级数是公比为是公比为 54的等比级数，且收敛的。的等比级数，且收敛的。 故级数故级数1354nnnn收敛。收敛。

13、125)54(nn25)54()531 (54)53(1 (54354nnnnnnnnn比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式： 设设1nnu和和1nnv是两个正项级数，若是两个正项级数，若avunnnlim，Ra， 则这两个级数的敛散性相同。则这两个级数的敛散性相同。 11sinnn例例1 判别级数判别级数的敛散性。的敛散性。 解：易知解：易知11sinnn是正弦级数，因为是正弦级数，因为111sinlimnnn， 而而11nn发散，发散，故级数故级数11sinnn发散。发散。 二、比值审敛法二、比值审敛法例例5 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 （1） 1nnna (0a) (

14、2) 1!nnnn (3) 12nnn 解：解： （1） annananauunnnnnnn1lim1limlim11 因为因为0a，所以当，所以当10 a时级数收敛，当时级数收敛，当1a时时 级数发散。级数发散。 （2） 1)1(lim!)!1() 1(limlim11ennnnnnuunnnnnnnn 所所以以级级数数是是发发散散的的。 （3） 12121lim221limlim11nnnnnnnnnnnuu 所所以以级级数数是是发发散散的的。 第三节第三节 任意项级数任意项级数v重点：重点：（1） 交错级数审敛法交错级数审敛法 （2） 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛v难点：难点：

15、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛设设0nu， （3 , 2 , 1n） ，下列级数：） ，下列级数： 1154321) 1(nnnuuuuuu 154321) 1(nnnuuuuuu 称为交错级数，称为交错级数， 交错级数审敛法：交错级数审敛法： 若（若（1） 1nnuu， , 3 , 2 , 1n （2） 0limnnu 则交错级数收敛，且和则交错级数收敛，且和1uS ；余项；余项nr的绝对值的绝对值1nnur。 一、交错级数一、交错级数例例 1 判断下列级数的敛散性。判断下列级数的敛散性。 （1） 11) 1(nnn （2） 111) 1(nnn 解：（解：（1） nun1，111nu

16、n 显然有显然有 1nnuu，且，且 0limnnu 故级数收敛。故级数收敛。 （2） nun1，111nun 显然有显然有 1nnuu，且，且 01limnn， 故级数收敛。故级数收敛。 如果级数如果级数1nnu中各项可取中各项可取任意任意实数实数，则称级数，则称级数1nnu为任意项为任意项 级数。级数。有有如下如下结论：结论： （1） 若级数若级数1nnu收敛，则级数收敛，则级数1nnu一定收敛。此时称级数一定收敛。此时称级数 1nnu绝对收敛绝对收敛。 （2） 若级数若级数1nnu收敛，而级数收敛，而级数1nnu发散，则称发散，则称1nnu条件收敛条件收敛。 （3） 若级数若级数1nnu

17、发散，则级数发散，则级数1nnu可能收敛，也可能发散。可能收敛，也可能发散。 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛例例 2 证明级数证明级数121sin) 1(nnnn收敛。收敛。 证明：证明： 因为因为2211sin) 1(nnnn，而级数，而级数121nn是是2p时时 的的p级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数级数，它是收敛的，所以由比较判别法，级数 121sin) 1(nnnn 收敛，从而级数收敛，从而级数121sin) 1(nnnn是绝对收敛的。是绝对收敛的。 故级数故级数121sin) 1(nnnn收敛。收敛。 例例 3 指出下列级数是绝对收敛还是条件收敛：指出下列级数是

18、绝对收敛还是条件收敛： （1） 111) 1(nnn （2） 111) 1(nnnn 解：（解：（1）级数）级数111) 1(nnn是交错级数，由交错级数审敛法可知是交错级数，由交错级数审敛法可知 它收敛。而它收敛。而 11111) 1(nnnnn是是1p的的p级数，是发散的，级数，是发散的， 故级数故级数111) 1(nnn条件收敛。条件收敛。 （2）级数）级数111) 1(nnnn的每项取绝对值得级数的每项取绝对值得级数11nnn，它是，它是23p 的的p级数，是收敛的，因此级数级数，是收敛的，因此级数111) 1(nnnn绝对收敛。它本身一绝对收敛。它本身一 定收敛。定收敛。 第四节第四

19、节 幂级数幂级数v重点：重点：（1）幂级数概念及收敛半径、收敛）幂级数概念及收敛半径、收敛 区间区间 （2）幂级数的运算性质）幂级数的运算性质v难点：难点：利用幂级数的运算性质求幂级利用幂级数的运算性质求幂级 数的和数的和一、幂级数的概念一、幂级数的概念 例例 1 求幂级数求幂级数 nxxxx321的收敛域及和函数的收敛域及和函数)(xS. 1x x(,11,)解：这是一个公比为解：这是一个公比为 的等比级数，因此当的等比级数，因此当 ， 即即11x时收敛，当时收敛，当1x时发散，所以级数时发散，所以级数 nxxxx321 的收敛域为的收敛域为) 1 , 1(，发散域为，发散域为 。 由等比级

20、数的求和公式知由等比级数的求和公式知,它的和函数为它的和函数为xxS11)(，即，即 nxxxxx32111 ) 1 , 1(x 定定理理：设设幂幂级级数数1nnnxa的的系系数数满满足足1limnnnaRa （1） 如如果果 R0，则则当当Rx 时时，幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛； 当当Rx 时时，幂幂级级数数发发散散；当当Rx时时，须须另另行行判判定定。 （2） 如如果果R，则则幂幂级级数数在在),(内内绝绝对对收收敛敛。 （3） 如如果果0R，则则幂幂级级数数仅仅在在0 x点点收收敛敛。 这这个个定定理理告告诉诉我我们们，幂幂级级数数1nnnxa的的收收敛敛域域是是以以原原点点为为中中心

21、心， 长长度度为为R2的的区区间间，共共有有四四种种可可能能： （1） ),(RR ， （2） ,RR ， （3）),RR ， （4）,(RR ，称称 R 为为幂幂级级数数1nnnxa的的收收敛敛半半径径。 可可见见，求求幂幂级级数数1nnnxa的的收收敛敛域域，关关键键是是求求它它的的收收敛敛半半径径 1limnnnaaR，再再判判定定在在Rx时时的的敛敛散散性性，从从而而确确定定其其收收敛敛区区间间。 例例1 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间 （1） 0!nnnx （2） 11)(nnnx （3） 1) 1(nnnnx （4） 0212nnnxn 解：收敛半径为解：收敛半径为

22、) 1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn 故幂级数故幂级数0!nnnx的收敛区间为的收敛区间为),(。 （2） 收收敛敛半半径径为为 0011)11 (1lim1)1(lim) 1(limlim11ennnnnnnaaRnnnnnnnnnn 故故幂幂级级数数仅仅在在0 x处处收收敛敛。 （3） 收收敛敛半半径径为为 11lim11) 1(1) 1(limlim11nnnnaaRnnnnnnn 当当1x时时，代代入入幂幂级级数数得得11) 1(nnn，它它是是一一个个收收敛敛的的交交错错级级数数。 当当1x时时，代代入入幂幂级级数数得得11nn，它它是是调调和和级级数数，

23、是是发发散散的的。 故故幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间为为 1 , 1(。 （4） 所给幂级数缺奇次项，不能用上面的方法求收敛所给幂级数缺奇次项，不能用上面的方法求收敛 半径半径 R。由比值审敛法，得：。由比值审敛法，得： 222)1(2112222lim121) 1(2limlimxxnnxnxnuunnnnnnnnn 根据比值审敛法，当根据比值审敛法，当122x，即，即21x时，级数收敛；时，级数收敛； 当当21x时，级数发散；当时，级数发散；当21x时，级数成为发散的数项时，级数成为发散的数项 级数级数011nn。所以级数的收敛区间为。所以级数的收敛区间为)21,21(。 三、幂级数的

24、运算性质三、幂级数的运算性质性质性质 1： 设幂级设幂级0nnnxa和和0nnnxb的收敛半径分别为的收敛半径分别为1R和和2R， 和函数分别为和函数分别为)(1xS和和)(2xS，),min(21RRR ，则幂级数，则幂级数 1)(nnnnxba的收敛半径为的收敛半径为 R，且，且 )()()(21000 xSxSxbaxbxannnnnnnnnn， RxR 性质性质 2： 若幂级数若幂级数1nnnxa的收敛半径为的收敛半径为0R，和函数为，和函数为)(xS， 则在区间则在区间),(RR内和函数可导，且有内和函数可导，且有 0010)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS 即幂级数在

25、其收敛区间内可以逐项求导。即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导。 例例3 求幂级数求幂级数 11nnnx的收敛区间及和函数，并求数项级数的收敛区间及和函数，并求数项级数 12nnn的和。的和。 11limlim1 nnaaRnnnn解：解： 因为因为 把把代入幂级数后都不收敛，所以原级数的收敛区间为代入幂级数后都不收敛，所以原级数的收敛区间为) 1 , 1( 。设和函数为设和函数为)(xS， 因为因为nxnxdtnt 01， 所以，所以， xxxdtntdtntdttSnnnxnxnnx 1)()(11010110 1x 两两边边求求导导得得： 2)1 (1)1()(xxxxS ) 1 , 1(

26、x 即即 112)1 (1nnnxx， ) 1 , 1(x 将将21x代代入入得得： 2)211 (121)21(2122111nnnnnn 例例4 对幂级数对幂级数 nnxxxx) 1(1112 （11 x） 进行逐项求导和逐项积分。进行逐项求导和逐项积分。 2)1 (1)11(xx 解：由于解：由于，对幂级数逐项求导得：，对幂级数逐项求导得： nnnxxxx122) 1(321)1 (1 （11 x） 对幂级数逐项积分得：对幂级数逐项积分得： xnnxxxxdttdtttdttddtt002000) 1(11 （11 x） 即即 nnxnxxxxx1) 1(413121)1ln(1432

27、（11 x） 例例5 求幂级数求幂级数 1!nnnx的和函数。的和函数。 解：例解：例 2 中已经求出它的收敛区间为中已经求出它的收敛区间为),(， 设和函数为设和函数为)(xS， ! 21)(2nxxxxSn即：即： ),( x 逐项求导得：逐项求导得：)(! 21)(2xSnxxxxSn 即即 )()(xSxS 解这个微分方程得：解这个微分方程得：xCexS )( 由于由于1)0( S，所以，所以1 C，于是，于是xexS )( 即即 ! 212nxxxenx 综合例综合例 3，例，例 4，例，例 5，有如下几个等式：，有如下几个等式： (1) 1321124321)1 (1nnnnxxx

28、xnxx (2) nnnxxxx122) 1(321)1 (1 （11x） (3) nnxnxxxxx1) 1(413121)1ln(1432（11x） (4) ! 212nxxxenx （x） 第五节第五节 函数的幂级数的展开函数的幂级数的展开v重点重点 （1）把函数展开为幂级数）把函数展开为幂级数 （2）求函数的收敛区间）求函数的收敛区间v难点难点 （1）幂级数的展开技巧）幂级数的展开技巧 （2）幂级数的简单应用）幂级数的简单应用一、函数的幂级数展开一、函数的幂级数展开 问题：问题：（1） 在（在（1）式中，系数）式中，系数0a，1a，2a，na如何确定？如何确定？ （2） )(xf满足什

29、么条件才能展开为满足什么条件才能展开为x的幂级数？的幂级数？ 我们来解决问题（我们来解决问题（1 ），不妨设展开式（），不妨设展开式（1）成立，那么根据幂）成立，那么根据幂 级数的逐项求导法，对式（级数的逐项求导法，对式（ 1）依次求出各阶导数：）依次求出各阶导数： )(xf0nnnxa对于一个给定的函数对于一个给定的函数，如果能找到一个幂级数，如果能找到一个幂级数,使使 （RxR） （1） 成立，那么就说函数成立，那么就说函数)(xf可以展开为可以展开为x 的幂级数的幂级数, ,（1）式称为）式称为)(xf 的的x的幂级数展开式。的幂级数展开式。 2012( )nnf xaa xa xa x

30、把把0 x代入（代入（1）式及上述各式中得：）式及上述各式中得： 0)0(af ，1)0(af ，2! 2)0(af ，nnanf!)0()( ， 于是于是 )0(0fa ，! 1)0(1fa ，! 2)0(2fa ， ，!)0()(nfann ， 代入到（代入到（ 1）式中得）式中得 nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2（RxR ） （2） 1232132)(nnxnaxaxaaxf 221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn 232) 1(232)(nxnnxaaxf称式（称式（2）为）为)(xf的的麦克劳林展开式麦克劳林展开式，（或

31、称，（或称)(xf在在0 x 处的处的泰勒展开式泰勒展开式）。式（式（2 ) )右端的级数称为右端的级数称为)(xf的的麦克劳林级数麦克劳林级数 （或称（或称)(xf在在0 x处的处的泰勒级数泰勒级数）。）。 并且我们可以得到：如果并且我们可以得到：如果)(xf在包含点在包含点0 x在内的某一在内的某一 区间区间),(RR内有任意阶导数，且内有任意阶导数，且 （x在在 0 和和x之间，之间，RxR） 那么，那么，)(xf在在),(RR区间内就可以展开为麦克劳林级数。用上述区间内就可以展开为麦克劳林级数。用上述 方法把已知函数展开成方法把已知函数展开成x的幂级数的幂级数叫做叫做直接展开法直接展开

32、法。 (1)1( )lim( )lim0(1)!nnnnnfR xxnx例例1 把函数把函数xexf)(展开为展开为x的幂级数。的幂级数。 ! 2! 112nxxxn），（.321n解：由于解：由于xnexf)()(，故得，故得1)0()(nf， 由公式（由公式（2）得，）得，xe的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为 由第四节的例由第四节的例 2 知，它的收敛半径为知，它的收敛半径为R，下面证明这，下面证明这 个级数在个级数在),(内收敛于内收敛于xe。 （ x在在 0 和和 x之间）之间） (1)11( )( )(1)!(1)!nnnnfe xR xxnnxx 因为因为xeex，故对任意给定的故

33、对任意给定的x，xe有界，而有界，而 )!1(1nxn 是收敛级数的一般项，所以根据级数收敛的必要条件，对任意是收敛级数的一般项，所以根据级数收敛的必要条件，对任意 的的x ，都有，都有 0)!1(lim1nxnn 从而，从而， 0)(limxRnn， Rx 这样，我们得到这样，我们得到xe的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为 ! 2! 112nxxxenx （x） 例例2 求正弦函数的麦克劳林级数。求正弦函数的麦克劳林级数。 解：解： xysin的各阶导数为的各阶导数为 )2sin()()(pnxxfn （ 0,1,2,3n ） )0()(nf（n=0，1，2，3，）依次循环地取）依次循环地取

34、0，1，0，-1， 于是得于是得xsin的展开式为的展开式为 )!12() 1(! 5! 31253nxxxxnn （ 0,1,2,3n ） 容易求得此级数的收敛区间为容易求得此级数的收敛区间为),(。而。而 11)()!1(2) 1(sin)!1()()(nnnnxnnxnfxRpxx （ x在在 0 和和 x之间）之间） 例例3 余弦函数余弦函数xxfcos)(的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。 解：根据幂级数的运算性质，对解：根据幂级数的运算性质，对xsin的展开式两边求导得：的展开式两边求导得： !2) 1(! 4! 21cos242nxxxxnn （x） 因为因为 所以由例所以由例 1

35、 的讨论可得的讨论可得 0)(limxRnn， Rx 于是得：于是得： )!12() 1(! 5! 3sin1253nxxxxxnn （x） 12) 1(sinpxn例例4 求函数求函数xxxf11ln)(的麦克劳林级数。的麦克劳林级数。 解：解： )1ln()1ln(11ln)(xxxxxf 可先求可先求)1ln(x和和)1ln(x的展开式：的展开式： 1) 1(32)1ln(132nxxxxxnn （11x） 把上式中的把上式中的x换为换为x，得：，得： 132)1ln(132nxxxxxn （11x） 两式相减便得：两式相减便得： )1253(211ln123nxxxxxxn （11x）

36、 例例5 把把x1展开成展开成2 x的幂级数。的幂级数。 解：解： 把把x 11的展开式中的的展开式中的x换为换为22 x得：得： )2)2(2)3(2)2(221 (211443322 xxxxx （1221 x） 整理得：整理得： )2)2() 1(2)3(2)2(22211143322 nnnxxxxx （40 x） )22(1121221121)2(211xxxx二、幂级数的应用举例二、幂级数的应用举例例例6 求求o15sin的近似值（精确到的近似值（精确到410）。）。 1215po解：解： 因为因为，由，由xsin的展开式得：的展开式得： 12153)12()!12(1) 1()1

37、2(! 51)12(! 311212sinnnnppppp 因为因为3112412p，所以，所以 当取前两项为其近似值时，其误差不大于第三项，当取前两项为其近似值时，其误差不大于第三项， 所以，所以，2588. 0)12(! 311212sin3ppp 12123)!12(1)12()!12() 1(nnnnnnRp45210! 531R例例7 计算积分计算积分10sindxxx的近似值（精确到的近似值（精确到 410） 解：解： 被积函数的原函数不是初等函数，将被积函数按幂级数被积函数的原函数不是初等函数，将被积函数按幂级数 展开，有展开，有 )!12() 1(! 5! 31sin242nx

38、xxxxnn （x） 两边积分得：两边积分得： ) 12()!12(1) 1(5! 513! 311)!12() 1(! 5! 31 sin2421010nndxnxxxdxxxnnn所以所以 若取前若取前 3 项作为其近似值，则误差不大于第四项，项作为其近似值，则误差不大于第四项，43107! 71R9461. 05! 513! 311sin10dxxx 例例8 利用幂级数证明欧拉公式利用幂级数证明欧拉公式 xixeixsincos （*） 证明：在证明：在xe的展开式中，将的展开式中，将x换为换为ix得：得： !)(! 3)(! 2)(132nixixixixenix 12iii314ii

39、i 5由于由于，所以所以 xixxxxixxxixxixixeixsincos)! 5! 3()! 4! 21 (! 5! 4! 3! 2153425432 证毕。证毕。 同理得：同理得： xixeixsincos （*） 将（将（*）式与（）式与（*）式相加相减得：）式相加相减得： )(21cosixixeex （） )(21sinixixeex （） （*） 、 （） 、 （*） 、 （） 、 （） 、 （） 、 （）四式实质上是一样的，都称为）四式实质上是一样的，都称为 欧拉公式欧拉公式。它们揭示了三角函数与指数函数之间的关系，其应。它们揭示了三角函数与指数函数之间的关系，其应 用很广泛

40、。用很广泛。 第六节第六节 傅立叶级数傅立叶级数v重点：重点：（1）三角函数系的正交性）三角函数系的正交性 （2）把周期为的函数展开为傅立叶）把周期为的函数展开为傅立叶 技术，并求出收敛于的范围技术，并求出收敛于的范围v难点：难点：（1）收敛定理的理解）收敛定理的理解 （2）傅立叶系数的计算）傅立叶系数的计算一、问题的提出一、问题的提出在自然现象和科学技术中，常会遇到各种周期现象，这类周期在自然现象和科学技术中，常会遇到各种周期现象，这类周期 现象中的有关量在经过一定的时间现象中的有关量在经过一定的时间T以后，又回到原来的初值。这以后，又回到原来的初值。这 样的周期一般是可由周期为样的周期一般

41、是可由周期为T的函数来描述。的函数来描述。 )()(tfTtf 例如例如：弹簧的振动可用函数弹簧的振动可用函数)sin(jwtAS来表示；来表示； 正弦交流电的电流强度可用函数正弦交流电的电流强度可用函数 )sin(0jwtII来表示。来表示。 其中其中A和和0I叫做叫做振幅振幅，w是是角频率角频率，j叫做叫做初位相初位相。它们。它们 都是以都是以wp2T为周期的函数，它们所描述的周期现象称为为周期的函数，它们所描述的周期现象称为简谐振动简谐振动。 二、三角函数系的正交性二、三角函数系的正交性如果级数（如果级数（1）在某种条件下能收敛于）在某种条件下能收敛于 一个函数一个函数)(xf，（，（D

42、x），），则称函数则称函数)(xf能展开成傅立叶级数，或者说三角级能展开成傅立叶级数，或者说三角级 数（数（1）在这种）在这种条件下收敛于函数条件下收敛于函数)(xf，即，即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf， Dx 三角级数（三角级数（1）中出现的函数综合）中出现的函数综合 称为称为三角函数系三角函数系 1,cos ,sin ,cos2 ,sin 2 ,cos,sin,xxxxnxnx10)sincos(nnnnxbnxaA由正弦、余弦函数组成的形如由正弦、余弦函数组成的形如 的级数，的级数，称为称为三角级数三角级数，又称，又称傅立叶级数傅立叶级数。 其中其中 都是常数。都是

43、常数。 0,(1,2,3,)nnA a b n 三三、周周期期为为 p2的的函函数数展展开开为为傅傅立立叶叶级级数数 设设)(xf以以p2为周期，并且可以展开成傅立叶级数（为周期，并且可以展开成傅立叶级数（1），即），即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf （2） 首先就要解决如下的两个问题：首先就要解决如下的两个问题： （1） 展开式中的系数展开式中的系数0A，na，nb，如何确定？，如何确定？ （2） )(xf满足什么样的条件，展开式才收敛于满足什么样的条件，展开式才收敛于)(xf呢？呢？ 下面先来解决问题（下面先来解决问题（1）。假定函数）。假定函数)(xf在在,pp上可积

44、，并且上可积，并且它的展开它的展开 式可以逐项积分，则有式可以逐项积分，则有 10)sincos()(nnnnxdxbnxdxadxAdxxfpppppppp 由三角函系的正交性可得：由三角函系的正交性可得： 002)(AdxAdxxfppppp 200aA dxxfa)(10ppp令令，则，则 再用再用kxcos乘以（乘以（2）式右端，并在）式右端，并在,pp上积分，有上积分，有 10)cossincoscos(coscos)(nnnkxdxnxbkxdxnxadxkxAkxdxxfpppppppp 由三角函数的正交性，得：由三角函数的正交性，得： ，从而求出，从而求出na： （n=1，2，

45、3，） pppnanxdxxfcos)(pppnxdxxfancos)(1 nanb由（由（3）式所确定的系数）式所确定的系数，称为称为)(xf的的傅立叶系数傅立叶系数，把它们代入，把它们代入 （2）式即得）式即得)(xf的傅立叶级数展开式的傅立叶级数展开式 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf （5） 同理用同理用kxsin乘以（乘以（2）式两端，并在）式两端，并在,pp上积分，可得：上积分，可得： （n=1，2，3，） pppnxdxxfbnsin)(1（3） （4） 综上所述，综上所述，)(xf的展开式的系数可以表示如下：的展开式的系数可以表示如下： （n=1，2，3，）

46、（n=1，2，3，）pppnxdxxfbnsin)(1pppnxdxxfancos)(1狄狄里里克克莱莱定定理理：设设)(xf以以p2为为周周期期，如如果果它它在在一一个个周周期期内内满满足足： （1） )(xf连连续续或或者者只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点； （2） )(xf至至多多只只有有有有限限个个极极值值点点（即即)(xf在在一一个个周周期期内内不不能能无无限限次次 的的振振荡荡） ，则则)(xf的的傅傅立立叶叶级级数数收收敛敛，并并且且 （1） 当当x是是)(xf的的连连续续点点时时，级级数数收收敛敛于于)(xf； （2） 当当x是是)(xf的的间间断断点点时时，级级数

47、数收收敛敛于于)0()0(21xfxf 收收敛敛定定理理告告诉诉我我们们，只只要要)(xf在在,pp上上至至多多有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点，并并 且且不不作作无无限限次次的的振振荡荡，函函数数的的傅傅立立叶叶级级数数在在连连续续点点处处就就收收敛敛于于该该点点的的函函数数值值，在在 间间断断点点处处收收敛敛于于该该点点左左、右右极极限限的的算算术术平平均均值值。 例例1 设设)(xf以以p2为周期，它在为周期，它在,pp上的表达式为上的表达式为 , 1, 1)(xf ppxx00 将将)(xf展开成傅立叶级数。展开成傅立叶级数。 解：解： 计算傅立叶系数计算傅立叶系数 0cos1

48、1cos) 1(1cos)(100pppppppnxdxnxdxnxdxxfan , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4) 1(1 2 1coscos1 10cos10cos1sin11sin) 1(1sin)(100nnnnnnnnnxnnxnxdxnxdxnxdxxfbnnpppppppppppppppp（2） 写出傅立叶级数写出傅立叶级数 ) 12sin(1215sin513sin31sin4xnnxxxp ） 0211（1） 讨论收敛性：讨论收敛性： 由于由于)(xf满足收敛定理的条件，它在满足收敛定理的条件，它在pkx （处不连处不连续，其它地方都连续，由收敛定理知道

49、，在续，其它地方都连续，由收敛定理知道，在pkx 时，时， 级数收敛于级数收敛于， , 2, 1, 0kpkx )(xf在在时，级数收敛于时，级数收敛于，即，即 ) 12sin(1215sin513sin31sin4)(xnnxxxxfp （x，pkx ，） 其和函数的图形如图。其和函数的图形如图。 , 2, 1, 0kxy4p3p2ppp2p3p4pO11例例2 设设ppxxxxf0, 00,)(，以，以p2为周期，将为周期，将)(xf展开为展开为 傅立叶级数。傅立叶级数。 解：（解：（1） 计算傅立叶系数计算傅立叶系数 21)(100ppppppxdxdxxfa 00222111sinco

50、s( ) coscos2,1,3,5,11 cos0,2,4,6,nxnxnxaf xnxdxxnxdxnnnnnnnpppppppppp00212111cossin( ) sinsin1cos( 1)nnxnxnxbf xnxdxxnxdxnnnnnpppppppppp (2) 写出傅立叶级数写出傅立叶级数 )5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(422xxxxxxxxpppp ）不连续，）不连续，(3) 讨论敛散性讨论敛散性 )(xf满足收敛定理的条件，在满足收敛定理的条件，在p) 12(kx （ 因此在这些点级数收敛于因此在这些点

51、级数收敛于22)(02)0()0(ppppff在其它点处在其它点处都都 收敛于收敛于)(xf，因此，因此 )3sin312sin21(sin)5cos513cos31(cos24)(22xxxxxxxfpp （x，pkx ，） , 2, 1, 0k, 2, 1, 0k)(xf及及其其展展开开式式的的图图形形如如下下 xx3p2ppp2p3p4pOpp例例 3 )(xf以以p2为周期，在为周期，在,pp上的表达式为上的表达式为xxf)(，将，将)(xf 展开为傅立叶级数。展开为傅立叶级数。 解：解： （1） 计算傅立叶级数计算傅立叶级数 ppppppp0001)(1xdxxdxdxxfa , 6

52、 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4 1cos2cossin1cossin1cos1cos1cos)(122020200nnnnnnnxnnxxnnxnnxxxdxxnxdxxnxdxxfanpppppppppppppp0sin1sin)(10pppppnxdxxnxdxxfbnOp2p3p4pp2p3pxy第七节第七节 正弦与余弦级数正弦与余弦级数 周期延拓周期延拓v重点：重点：（1）奇函数与偶函数分别展开为正）奇函数与偶函数分别展开为正 弦级数和余弦级数弦级数和余弦级数 （2）把已知函数进行奇延拓和偶延）把已知函数进行奇延拓和偶延 拓拓v难点难点：函数的周期性延拓函数的周期性延

53、拓一、奇函数和偶函数的傅立叶级数一、奇函数和偶函数的傅立叶级数1sinnnnxb10cos2nnnxaa这个定理说明，如果这个定理说明，如果)(xf为奇函数，那么它的傅立叶级数是为奇函数，那么它的傅立叶级数是 只含有正弦项的只含有正弦项的正弦级数正弦级数 如果如果)(xf为偶函数，那么它的傅立叶级数是只含有余弦项为偶函数，那么它的傅立叶级数是只含有余弦项 的的余弦级数余弦级数 例例 1 )(xf是周期为是周期为p2的函数，它在的函数，它在,pp上的表达式为上的表达式为xxf)(， 将将)(xf展开为傅立叶级数。展开为傅立叶级数。 解：解： 所给函数满足收敛定理的条件，它在点所给函数满足收敛定理

54、的条件，它在点p) 12(kx处收敛于处收敛于 02)(2)0()0(ppppff 在连续点处收敛于在连续点处收敛于)(xf。其次，若不计。其次，若不计p) 12(kx，则，则)(xf是周期为是周期为p2的的 奇函数。显然，奇函数。显然，)(xf的傅立叶级数是正弦级数。的傅立叶级数是正弦级数。 ）（,.3 , 2 , 1) 1(2cos2sincos2sin2sin)(210200nnnnnnxnnxxnxdxxnxdxxfbnnppppppp 代入到正弦级数表达式并由收敛定理中得代入到正弦级数表达式并由收敛定理中得)(xf的傅立叶展开式的傅立叶展开式 xy3p2ppp2p3p4pOpp例例

55、2 将函数将函数xExfsin)(（0E）展开为傅立叶级数。）展开为傅立叶级数。 解：解： 因为因为)(xf为偶函数，所以它的展开式为余弦级数，为偶函数，所以它的展开式为余弦级数，)(xf是在是在 ),(内的连续函数，并且周期是内的连续函数，并且周期是p，当然，当然p2也是它的周期。也是它的周期。 为偶数为奇数nnEnnxnnxnEdxxnxnEnxdxxEnxdxxfan,) 1(4, 01) 1cos(1) 1cos() 1sin() 1sin(cossin2cos)(220000ppppppppp （1n） 补充补充1a， 02sin2cossin2cos)(202001ppppppxE

56、xdxxExdxxfa Oxyp2pp2pE二、函数的周期性延拓二、函数的周期性延拓例例 2 将函数将函数1)( xxf （p x0）分别展开成正弦级数和余弦级数。）分别展开成正弦级数和余弦级数。 解：先求正弦级数，为此对函数解：先求正弦级数，为此对函数)(xf进行奇延拓，如图进行奇延拓，如图 将将nb代入到正弦级数中并由收敛定理得代入到正弦级数中并由收敛定理得 4sin43sin322sin2sin)2(21xxxxxppppp （p x0） , 6 , 4 , 2,2, 5 , 3 , 1,22cossincos2sin) 1(2sin)(20200nnnnnxnnxnnxxnxdxxxd

57、xxfbnpppppppppOxypp11Oxypp11Oxypp11再求余弦再求余弦级数级数，为此对，为此对)(xf进行偶延拓，如进行偶延拓，如图图 sincossin202nnxnnxnnxxpp22cos) 1(cos)(00 xdxxdxnxxfanpppp , 5 , 3 , 1,4, 6 , 4 , 2, 0 1cos222nnnnnppp 222) 1(20200pppppxxdxxa 将将na代入到余弦级数中并由收敛定理得：代入到余弦级数中并由收敛定理得： （)5cos513cos31(cos412122xxxxppp x0） 第八节第八节 周期为周期为2的函数的傅立叶级数的函数的傅立叶级数v重点：把周期为重点：把周期为2的函数展开为傅立叶级的函数展开