双曲线的几何性质1

1、双曲线的标准方程形式一：形式一： （焦点在（焦点在x轴上，（轴上，（-C，0）、）、 （C , 0）) 0, 0( 12222babyax1F2F) 0, 0( 12222babxay 形式二：形式二：（焦点在（焦点在y轴上，轴上，F1（0，-c）、）、F2（0，c） 其中其中222bac+复复 习习 2、对称性、对称性一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质) 0, 0( 12222babyax1、范围、范围axaxaxax, 12222即关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称。x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心

2、，又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授课堂新授 (从方程如何判断？）3、顶点、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa)0 ,()0 ,(21aAaA、顶点是如图，线段如图，线段 叫做双曲线叫做双曲线的实轴，它的长为的实轴，它的长为2a,a叫做叫做实半轴长；线段实半轴长；线段 叫做双叫做双曲线的虚轴，它的长为曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长2A1A2B1B（2）实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫叫

3、等轴双曲线等轴双曲线（3）)0(22mmyx) 0, 0( 12222babxayM(x,y)4、渐近线、渐近线1A2A1B2BN(x,y)Q:的位置关系它与xaby :的位置的变化趋势它与xaby 的下方在xaby 慢慢靠近慢慢靠近xyobyxa byxaab)0(22xaxaby分的方程为双曲线在第一象限内部xabybabyax的渐近线为双曲线)0, 0( 12222（1）的渐近线为等轴双曲线)0(22mmyx（2）xy利用渐近线可以较准确的利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图画出双曲线的草图（3）5、离心率、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace 离心率。ca0e 1e是表

4、示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,), 0(), 1 (+的夹角增大增大时，渐近线与实轴e)0, 0( 12222babyaxxyB2A1A2 B1 Ob a222)(1ababaace+e越大，斜率越大，倾斜角越越大，斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口越开阔大，张角越大，张口越开阔e越小，斜率越小，倾斜角越越小，斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭小，张角越小，张口越扁狭ace 222bac+二四个参数中，知二可求、在ecba（4）等轴双曲线

5、的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2( 5 )的双曲线是等轴双曲线离心率2exyo的简单几何性质类推双曲线)0, 0( 12222babxay-aab-b（1）范围:ayay,（2）对称性:关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称（3）顶点: (0,-a)、(0,a)（4）渐近线:xbay（5）离心率:ace )0, 0( 12222babxay)0, 0( 12222babyax标准方程标准方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点焦点焦点离心率离心率渐近线渐近线xyoRyax,对称轴：对称轴：x轴轴,y轴轴 中心：原点中心：原点)0 ,( ae1,Rxay ,对称轴：对称轴：x轴轴,

6、y轴轴 中心：原点中心：原点),0(ae1,e越大，张口开阔越大，张口开阔e越小，张口扁狭越小，张口扁狭e越大，张口开阔越大，张口开阔e越小，张口扁狭越小，张口扁狭xabyxbay(c,0) (-c,0)(0,c) (0,-c)12 + +byax222（ a b 0）12222 byax( a 0 b0) 222 + + ba(a 0 b0) c222 ba(a b0) cyXF10F2MXY0F1F2 p小小 结结 |x| a,|y|b|x| a，y R对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点对称轴：对称轴：x轴，轴，y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点（-a,0)

7、(a,0) (0,b) (0,-b)长轴：长轴：2a 短轴：短轴：2b(-a,0) (a,0)实轴：实轴：2a虚轴：虚轴：2be =ac( 0e 1 )ace=(e1)无无 y = abx方 程图 象 实半轴长实半轴长 虚半轴虚半轴 长长焦点坐标焦点坐标顶点坐顶点坐 标标离心率离心率 2453例例1 :求双曲线求双曲线的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标,离心率离心率.渐近线方程。渐近线方程。解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可得可得:实半轴长实半轴长a=4虚半轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距c=焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率:渐近线方程渐近线方程:14416922 xy1342222 xy53422 + +45 acexy34例题