山东大学物理学院宗福建

1、山东大学物理学院 宗福建1电动力学电动力学第第28讲讲第六章第六章 狭义相对论狭义相对论 (4) 6.3 6.3 相对论理论四维形式相对论理论四维形式教师姓名：教师姓名： 宗福建宗福建单位：单位： 山东大学物理学院山东大学物理学院2015年年12月月18日日山东大学物理学院 宗福建2相对论的基本原理 n在总结新的实验事实之后，爱因斯坦（Einstein）提出了两条相对论的基本假设： n（1）相对性原理）相对性原理 所有惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对论原理是被大

2、量事实所精确检验过的物理学基本原理。n（2）光速不变原理）光速不变原理 真空中的光速相对于任何惯性系沿任意方向恒为c，并与光源运动无关。山东大学物理学院 宗福建3洛伦兹变换n洛伦兹变换洛伦兹变换22222222221111xvtxvtxxvvccyyyyzzzzvvtxtxccttvvcc山东大学物理学院 宗福建4上一讲复习n速度变换公式速度变换公式 n由洛伦兹变换式可以推出相对论的速度变换公式，设物体相对于的速度 ,xyzxyzdxdydzuuudtdtdtdxdydzuuudtdtdt山东大学物理学院 宗福建5上一讲复习n6. 6. 速度变换公式速度变换公式 2,1xxxudxuudtc

3、2221,1yyxudycuudtc 22211zzxudzcuudtc 山东大学物理学院 宗福建6上一讲复习n6. 6. 速度变换公式速度变换公式 n反变换式为 222222211,111yzxxyzxxxuuuccuuuuuuccc 山东大学物理学院 宗福建7上一讲习题解答n4. 一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔，求车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0。 山东大学物理学院 宗福建8上一讲习题解答n解 取静

4、止系，随列车运动系 ，n列车经过一高大建筑物时避雷针上跳起一脉冲点火花，选此时为事件0，（0，0）， （0，0）n则，静止系上 事件1，后面的铁塔被电光照亮，时空坐标为：n静止系上 事件2，前面的铁塔被电光照亮，时空坐标为： 00,llc 00,llc山东大学物理学院 宗福建9上一讲习题解答所以随列车运动系 22222,11vtxxvtcxtvvcc002122()1lvlcctvc0022221lvlcctvc01222221l vtttvcc 山东大学物理学院 宗福建10本讲主要内容n三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n洛伦兹变换

5、的四维形式洛伦兹变换的四维形式 n四维协变量四维协变量 n物理规律的协变性物理规律的协变性 山东大学物理学院 宗福建11二维空间的正交变换二维空间的正交变换 n设坐标系相对于坐标系转了一个角n设平面上一点P的坐标n在系为x，y；n在系为x , y。n新旧坐标之间有变换关系 nOP长度平方为 cossin ,xxy sincosyxy 22222OPxyxy不变量山东大学物理学院 宗福建12二维空间的正交变换二维空间的正交变换 cossin ,xxy sincosyxy 22222OPxyxy山东大学物理学院 宗福建13二维空间的正交变换二维空间的正交变换 n设坐标系相对于坐标系转了一个角n设平

6、面上一点P的坐标n在系为x，y；n在系为x , y。n设为平面上任意矢量。在系中的分量为x , y；在系中的分量为x，y。任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式，这些分量有变换关系, cossinsincosxxyycossinsincosxxyyvvvv山东大学物理学院 宗福建14三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），系的直角坐标为（x1 , x2 , x3）。三维坐标线性变换一般具有形式 n坐标系转动时距离保持不变，应有 111121312212223233132333xaaaxxaaaxxaaax222222123123xxxxxx山东大学物理

7、学院 宗福建15三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n设为三维空间任意矢量。在系中的分量为x , y , z ；在系中的分量为x，y，z 。任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式，这些分量有变换关系,111213212223313233xxyyzzvaaavvaaavvaaav山东大学物理学院 宗福建16三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n系的直角坐标为（x1 , x2 , x3），系的直角坐标为（x1 , x2 , x3）。三维坐标线性变换一般具有形式 n在一般情形中，当公式中出现重复下标时（如上式右边的j），往往都要对该指标求和。以后为了书写方便起见，我们省去求和符号。除特别申明外，凡

8、有重复下标时都意味着要对它求和。这是现代物理中通用的约定，称为爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定。 311,2,3iijjjxa xi 山东大学物理学院 宗福建17三维空间的正交变换三维空间的正交变换 n由此，变换式可简写为 n正交条件是 n引入符号ij，定义为 n则，iijjxa x iiiix xx x 不变量1,0.ijijij若若iiijjikkiijkjkijikjkx xa x a xx xx xa a山东大学物理学院 宗福建18三维空间的正交变换三维空间的正交变换 ijikjka a( )( )a aI1( )( )aa山东大学物理学院 宗福建19物理量按空间变换性质的分类物理量按

9、空间变换性质的分类 n我们知道物理量可以分为标量、矢量、张量等类别，这种分类是根据物理量在空间转动下的变换性质来规定的。 n标量标量 有些物理量在空间中没有取向关系，当坐标系转动时，这些物理量保持不变。这类物理量称为标量。如质量、电荷等都是标量。n设在坐标系中某标量用u表示，在转动后的坐标系 中用u表示。由标量不变性有 u = u 山东大学物理学院 宗福建20物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n矢量矢量 有些物理量在空间中有一定的取向性，这种物理量用三个分量表示，当空间坐标按公式作转动变换时，该物理量的三个分量按同一方式变换。这类物理量称为矢量。 n例如速度、力、电场强度和

10、磁场强度等都是矢量。 n有些微分算符以具有矢量的性质。例如算符，它在系中的分量为/xi，在 系中的分量为/xi。根据微分公式有 .jijiijjxaxxxx山东大学物理学院 宗福建21物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n二阶张量二阶张量 有些物理量显示出更复杂的空间取向性质。这类物理量要用两个矢量指标表示，有9个分量。当空间转动时，其分量Tij按以下方式变换n n具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例如应力张量，电四极矩等都是二阶张量。 ijikjlklijijTa a TTaTa 山东大学物理学院 宗福建22物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n二阶张

11、量二阶张量112123212333111121311111213122122232221222323313233233132332AATABBBTABBBAAAaaaABaaaBAaaaABaaaBAaaaABaaaB111213111121312122232212223231323323132332111213111121321222321232122233132332313233aaaAaaaBTaaaAaaaBaaaAaaaBaaaAaaaaaaABBBaaaaaaAaaa111213111213212223212223313233313233aaaaaaaaaT aaaaaaaaa 山

12、东大学物理学院 宗福建23物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n二阶张量二阶张量111213111213212223212223313233313233111213111213212223212223313233313233111213212223313233TTaaaaaaTaaaT aaaaaaaaaaaaaaaaaaT aaaaaaaaaaaaaaaTaaa 对称张量111213212223313233aaaaaaTaaa山东大学物理学院 宗福建24物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n二阶张量二阶张量1112131112132122232122233

13、13233313233111213111213212223212223313233313233111213212223313233TTaaaaaaTaaaT aaaaaaaaaaaaaaaaaaT aaaaaaaaaaaaaaaaaa 反对称张量111213212223313233aaaT aaaTaaa 山东大学物理学院 宗福建25物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n若Tij对指标i，j对称Tij = Tji ，则变换后的张量仍然是对称的。同样，反对称张量Tij = Tji变换后保持反对称性。n张量之迹Tii是一个标量 iiikilklklklkkTa a TTT 不变量

14、山东大学物理学院 宗福建26物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质的分类 n因此，二阶张量可以分解为三个部分：n迹 Tii ，n无迹对称张量 Tij = Tji，Tii = 0 ,n反对称张量 Tij = Tji。 山东大学物理学院 宗福建27洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换。如果形式上引入第四维虚数坐标n则间隔不变性可写作 4xict2222222212341234xxxxxxxx不变量山东大学物理学院 宗福建28洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n以后在下角指标中用拉丁字母拉丁字母代表1-3，希腊字母希腊字母代表1-4，间隔

15、不变式可写为 n洛伦兹变换是满足间隔不变性的四维线性变换n由此，洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转动”，因而三维正交变换的关系可以形式上推广到洛伦兹变换中去。 x xx x不变量 xax 山东大学物理学院 宗福建29洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为 220001000010001,1xixyyaxzzictiictvcvcx其中山东大学物理学院 宗福建30洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n沿x轴方向的特殊洛伦兹变换的变换矩阵为 220001000010001,1iaivcvc其中山东大学物理学院 宗福建31洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变

16、换的四维形式n逆变换矩阵为 1220001000010001,1iaaivcvc其中山东大学物理学院 宗福建32洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式n逆变换为 220001000010001,1xixyyzzictiictvcvc其中山东大学物理学院 宗福建33四维协变量四维协变量n在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的“转动”。由于物质在时空中运动，描述物质运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性质来把物理量分类。n在洛伦兹变换下不变的物理量称为洛伦兹标量或不变标量或不

17、变量量。山东大学物理学院 宗福建34四维协变量四维协变量n具有四个分量的物理量V，如果它在惯性系变换下与坐标有相同变换关系，它就成为四维矢量四维矢量。n满足变换关系的物理量T称为四维张量四维张量。n这些物理量（标量、矢量和各阶张量）在洛伦兹变换下有确定的变换性质，称为协变量。 ,Va V Ta a T 山东大学物理学院 宗福建35四维协变量四维协变量n例如间隔n 为洛伦兹标量。n固有时 也是洛伦兹标量。 2dsdx dx d山东大学物理学院 宗福建36四维协变量四维协变量n因物体的位移dx为四维矢量，d为标量，所以n 是一个四维矢量。这个四维矢量称为四维速度矢量四维速度矢量。而通常意义下的速度

18、是 n（下角指标用拉丁字母表示由1-3。）ui不是四维矢量的分量。因为当坐标系变换时，dxi按四维矢量的分量变换，但dt亦发生改变，因此ui就不按矢量方式变换。 dxUdiidxudt山东大学物理学院 宗福建37四维协变量四维协变量n因为n所以四维速度的分量是 nU的前三个分量和普通速度联系着，当 c时即为u u，因此U称为四维速度。参考系变换时，四维速度有变换关系 221,1udtduc123( ,).uUu u u icUa U 山东大学物理学院 宗福建38四维协变量四维协变量123123112233( ,)( ,)000100001000uuuuUu u u icUu u u ica U

19、iuuuuuuiicic 山东大学物理学院 宗福建39四维协变量四维协变量1122331()(1)uuuuuuuuuucuuuuicicuc 112233000100001000uuuiuuuuuiciic山东大学物理学院 宗福建40四维协变量四维协变量11223312()(1)uuuuuuuuuuvuuuuvuc 山东大学物理学院 宗福建41四维协变量四维协变量112233221122()11(1)1uuuuuuuuuuvuuuuvcvu vucc山东大学物理学院 宗福建42四维协变量四维协变量222322112311122211111vvuuuvccuuuu vu vu vccc山东大学物

20、理学院 宗福建43四维波矢量四维波矢量n设有一角频率为，波矢量为k k的平面电磁波在真空中传播。在另一参考系上观察，该电磁波的频率和传播方向都会发生改变（多谱勒效应和光行差效应）。以和k k表示上观察到的角频率和波矢量。现在我们研究k k和如何变换。 山东大学物理学院 宗福建44四维波矢量四维波矢量n我们知道，计算辐射场的基本公式是推迟势公式 n若电流J是一定频率的交变电流，有0( ,)( , )4rx tcx tdVrJA()0( , )( )( )( , )4i ti k xtx tx ex ex tdVrJJJA山东大学物理学院 宗福建45四维波矢量四维波矢量n电磁波的相位因子是n在另一

21、参考系观察的相位因子是,iet k x,iet kx山东大学物理学院 宗福建46四维波矢量四维波矢量n设参考系和的原点在时刻t=t=0重合，n在该时刻位相 =0，取此事件为第1事件。n在参考系上n个周期后，第n个波峰通过原点，n=-2n,取此事件为第2事件。n因为某个波峰通过某一时空点是一个物理事件，而位相只是计数问题，不应随参考系而变。n相位是一个不变量。 tt 不变量k xkx山东大学物理学院 宗福建47四维波矢量四维波矢量n我们知道x x与ict合为四维矢量x，因此，若k k与i /c合为另一个四维矢量k，它们按四维矢量方式变换，有n我们得到一个四维波矢量 k xk x 不变量( ,)k

22、ic k山东大学物理学院 宗福建48四维波矢量四维波矢量112233( ,)000100001000ijkikakckkikkkkiiicck山东大学物理学院 宗福建49四维波矢量四维波矢量11222331()()vkkckkkkvk 山东大学物理学院 宗福建50四维波矢量四维波矢量n设波矢量k与x轴方向的夹角为，k与x轴方向的夹角为，有n这就是相对论的多普勒效应和光行差公式。11coscos(1cos )sin(cos)kkccvctgvc山东大学物理学院 宗福建51四维波矢量四维波矢量n若为光源的静止参考系，则 = 0，0为静止光源的辐射角频率。有 n这就是相对论的多普勒效应。0.(1cos )c山东大学物理学院 宗福建52四维波矢量四维波矢量n在垂直于光源运动方向观察辐射时，经典公式给出 = 0 ，而相对论公式给出 n即在垂直与光源运动方向上，观察到的辐射频率小于静止光源的辐射频率。这现象称为横向多谱勒效应。横向多谱勒效应为Ives-Stilwell实验所证实，它是相对论时间延缓效应的证据之一。 2021.c山东大学物理学院 宗福建53四维波矢量四维波矢量n设在参考系上观察,由光源辐射出的光线在