第2章 2.2 直线和圆的参数方程

1、.2.2直线和圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程1.理解直线的参数方程.(难点)2.掌握圆的参数方程.(重点)根底·初探1.直线的参数方程1经过点M0x0，y0，倾斜角为的直线l的参数方程为t为参数，其中参数t的几何意义是：|t|是直线l上任一点Mx，y到点M0x0，y0的间隔 ，即|t|M0M|.2设直线过点M0x0，y0，且与平面向量al，m平行或称直线与a共线，其中l，m都不为0，直线的参数方程的一般形式为 tR.2.圆的参数方程假设圆心在点M0x0，y0，半径为R，那么圆的参数方程为 02.特别地，假设圆心在原点，半径为R，那么圆的参数方程为.考虑&#

2、183;探究1.假设直线l的倾斜角0，那么直线l的参数方程是什么？【提示】参数方程为2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】过定点M0x0，y0，倾斜角为的直线l的参数方程为t为参数，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点Mx，y为终点的向量的长度，即|t|.当t0时，的方向向上；当t0时，的方向向下；当t0时，点M与点M0重合.自主·测评1.直线为参数，0必过点A.1，2B.1,2C.2,1D.2，1【解析】直线表示过点1，2的直线.【答案】A2.直线l的参数方程为t为参数，那么直线l的斜率为A.1 B.1 C.D.【解析】消去参数t，得方程xy10，直线l的斜率k

3、1.【答案】B3.参数方程为参数化成普通方程为_.【解析】为参数，为参数.22得x2y121，此即为所求普通方程.【答案】x2y1214.假设直线t为参数与直线4xky1垂直，那么常数k_.【解析】将化为yx，斜率k1，显然k0时，直线4xky1与上述直线不垂直.k0，从而直线4xky1的斜率k2.依题意k1k21，即×1，k6.【答案】6质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 类型一直线的参数方程直线l：t为参数.1求直线l的倾斜角；2假设点M3，0在直线l上，求t，并说明t的几何意义.【精彩点拨】将直线l的参数

4、方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义，求得t.【尝试解答】1由于直线l：t为参数表示过点M0，2且倾斜角为的直线，故直线l的倾斜角.2由1知，直线l的单位方向向量ecos，sin，.M0，2，M3，0，2，24，4e，点M对应的参数t4，几何意义为|4，且与e方向相反即点M在直线l上点M0的左下方.1.一条直线可以由定点M0x0，y0，倾斜角0惟一确定，直线上的动点Mx，y的参数方程为t为参数，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0x0，y0，斜率为的直线的参数方程是a、b为常数，t为参数.再练一题1.设直线l过点P3,3，且倾斜

5、角为.【导学号：62790011】1写出直线l的参数方程；2设此直线与曲线C：为参数交于A，B两点，求|PA|·|PB|.【解】1直线l的参数方程为t为参数.2把曲线C的参数方程中参数消去，得4x2y2160.把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得423t2160.即13t24312t1160.由t的几何意义，知|PA|·|PB|t1·t2|，故|PA|·|PB|t1·t2|.类型二圆的参数方程及应用设曲线C的参数方程为为参数，直线l的方程为x3y20，那么曲线C上到直线l间隔 为的点的个数为A.1B.2C.3D.4【精彩点拨】求曲线C的

6、几何特征，化参数方程为普通方程x22y129，根据圆心到直线l的间隔 与半径大小作出断定.【尝试解答】由得x22y129.曲线C表示以2，1为圆心，以3为半径的圆，那么圆心C2，1到直线l的间隔 d<3，所以直线与圆相交.所以过圆心2，1与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3d<，故满足题意的点有2个.【答案】B1.此题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，断定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断.特别要注意变量的取值范围.再练一题2.直线xy，与曲线为参数相交于两点A和B，求弦长|AB|.【解】由得x12y224，其圆心为1

7、,2，半径r2，那么圆心1,2到直线yx的间隔 d.|AB|22 .类型三直线参数方程的简单应用直线的参数方程为t为参数，那么该直线被圆x2y29截得的弦长是多少？【精彩点拨】考虑参数方程标准形式中参数t的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值.【尝试解答】将参数方程t为参数转化为直线参数方程的标准形式为t为参数.代入圆方程x2y29，得1 t22 t29，整理，得t28t40由韦达定理，t1t2，t1·t24.根据参数t的几何意义.|t1t2|，故直线被圆截得的弦长为.在直线参数方程的标准形

8、式下，直线上两点之间的间隔 可用|t1t2|来求.此题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，无视了参数t的几何意义.再练一题3.假设将条件改为“直线l经过点A1,2，倾斜角为，圆x2y29不变，试求：1直线l的参数方程；2直线l和圆x2y29的两个交点到点A的间隔 之积.【解】1直线l的参数方程为t为参数.2将代入x2y29，得t212t40，t1t24.由参数t的几何意义，得直线l和圆x2y29的两个交点到点A的间隔 之积为|t1t2|4.真题链接赏析教材P41习题22T6写出过点A1,2，倾斜角为的直线的参数方程，并求该直线与圆x2y28的交点.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为t为参数，a>0.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .1说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；2直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，假设曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【命题立意】知识：曲线的参数方程与极坐标方程.才能：通过参数方程与极坐标方程的互化，考察转化与化归的数学思想方法.试题难度：中.【解】1消去参数t得到C1的普通方程为x2y12a2，那么C1是以0,1为圆心，a为半径的圆.将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.2曲线C1，C2