中考数学系列专题38弧长及扇形的面积

1、专题38弧长及扇形的面积聚焦考点温习理解1 弧长及扇形的面积(1)半径为r, n的圆心角所对的弧长公式:n n rT80 ；(2)半径为r，n°的圆心角所对的扇形面积公式:2n n r360lr 2 圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，假设设圆锥的母线长为 弧长为2 n r.(1) 圆锥侧面积公式：S圆锥侧=n rl ;(2) 圆锥全面积公式：S圆锥全=n rl +n rl3 求阴影局部面积的几种常见方法l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的(1)公式法;割补法;拼凑法；(4)等积变形构造方程法;去重法.名师点睛典例分类考点典例一、弧长公式的应用【例1】(202

2、1湖南长沙第15题)如图，扇形OAB的圆心角为120°,半径为3，那么该扇形的弧长为(结果保存 n)1203试题分析：扇形 OAB的圆心角为120° 半径为3,根据弧长公式可得扇形的弧长为120 =2n180考点：弧长公式【点睛】此题考查了弧长的计算，解答此题的关键是熟练掌握弧长的计算公式.【举一反三】2021湖南岳阳第11题在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为cm【答案】4n.【解析】试题分析：根据弧长公式可得半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：120 6=4n cm.180考点：弧长的计算.考点典例二、扇形面积的计算【例2

3、】2021山东东营第17题如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框 ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形忽略铁丝的粗细，那么所得的扇形ABD的面积为【答案】25.【解析】试题分析：扇册ABD的5长厉等于正方形两边长的和EC+DC = 1O,廟形AB©的半径为正方形的边长鸣1'*?护&：；= 2*5=考点：扇形的计算【举一反三】2021辽宁营口第12题如图，AB是O O的直径，弦CD垂直平分 OB垂足为点E,连接OD BC假设BO1,那么扇形OBD勺面积为【答案】一.【解析】试题分析；T肋是0。的宜径，弦垂直平分03, ,OE=EB? OB LCD, ：.CE

4、=DE在和AOED 中，/ CEDE厶CE班©EQ, BE-OE ?二在EEC盎AOED SAS',二 OXBE,在 AOED 中， OE=-OB=-ODf £ODE= ; ：，ZP0D=6Q° ;贝煽形面积企创更刈？上,故答案为：-.2 2 360 6 6考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质.考点典例三、扇形面积公式的运用【例3】莱芜如图，AB为半圆的直径，且AB=4,半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A'的位置，那么图中阴影局部的面积为A.nB . 2 n C . D . 4 n2【答案】B.【解析】试题分析：根据题意可得出

5、阴影局部的面积等于扇形ABA的面积加上半圆面积再减去半圆面积，即为扇形面积即可.试题解析： S阴影=S扇形ABA +S半圆-S半圆=S扇形ABA4542360=2 n,应选：B.考点：扇形面积的计算；旋转的性质.【点睛】阴影局部一般都是不规那么的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规那么图形 面积的和、差；二是进行图形的割补【举一反三】2021山东枣庄第11题如图，AB是OO的直径，弦CDL AB, / CDB= 30°, CD= 2 3，那么阴影局部的面第11题图积为A . 2 nn2 nB.nC.D.33【答案】D.【解析】试题分析：已扯AB ft00的直径，弦C

6、D丄d根握圆的对称性可得阴影局部的面积等于廟形AOB的面积,由垂径宦理可得店J5,宙SL周角定理可得ZC08=60fi在RtACOE中，求得OC%所以A. 10cm B.15cm C.10 3 cm D.考点：垂径定理；圆周角定理；扇形面积公式考点典例四、圆锥的侧面展开图【例4】2021湖北十堰第9题如图，从一张腰长为 60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮 OAB中剪出 一个最大的扇形 OCD用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面不计损耗，那么该圆锥的高为202 cm【答案】D.【解析】试题分析：如團，过0作0E丄抠于Ej由OA=OD-SOcm, ZA0B=120° ,可

7、得ZA=ZB=3O0丿根据等腰三角1 P0rx30形的性质得到OE=-01=30cwi,所法弧CD的长二 =20心设圆锥的底面圆的半径为厂那么2Jlr=202 ISOnf解得r=10,利用勾股定理计算出圆锥的高为如JJ.故答案选D*考点：圆锥的计算.【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径和“侧面展开图的扇形半径是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和 高组成了一个直角三角形.【举一反三】2021湖南衡阳第17题假设圆锥底面圆的周长为8 n ,侧面展开图的圆心角为90 ° ,那么 该圆锥的母线长为.【答案】

8、16 .【解析】试题分析：设该圆锥的母线长为I ,圆锥的侧面展开图为一扇形，根据这个扇形的弧长等于90 |180圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长可得8 n =,解得1=16 ,即该圆锥的 母线长为16 .考点：圆锥的计算考点典例五、求阴影局部的面积【例5】2021湖北襄阳第15题如图，AB是半圆O的直径，点 C D是半圆O的三等分点，假设弦 CD=2,那么 图中阴影局部的面积为 .【答案】【解析】试题分析：连结理 眄 因酣6迟是半圆口的三等分点F所儿ZBOD = ZCOD=SO° ,所儿 三角形OCD1 C1 tx 4 4t1为等边三角形，所I儿 半圆。的半0C=CD=2；

9、 * =：= 4 ；：=丄* S_,:-=-x273x1 = J3 , J60S2S CD S 3.1 C3 SiCX益A JT二'曲，所以阴影艺吩的面积沏訶$=三_ £ -A O H考点：扇形的面积计算【点睛】阴影局部一般都是不规那么的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规那么图形 面积的和、差；二是进行图形的割补.【举一反三】2021山东威海第22题如图，在 BCE中，点A时边BE上一点，以 AB为直径的O O与CE相切于点D, AD/ OC点F为OC与O O的交点，连接 AF.1求证：CB是O O的切线；2假设/ ECB=60 , AB=6,求图中阴影局

10、部的面积.3【答案】1详见解析；2 32【解析】1/ 3=/ ECB=30 ,2/ 仁/2=60°,/ 4=60 °,/ OA=OD OAD是等边三角形, AD=OD=QF / 仁/ ADO在厶 ADGD FOG中,Z1=ZADGZfgo=Zm ,AD 二 OF AD®A FOGad(=Sfog,/ AB=6,S阴=s 扇形QD=-360考点：切线的性质和判定；扇形的面积公式；全等三角形的判定及性质课时作业能力提升1. 2021贵州遵义第10题如图，半圆的圆心为 O,直径AB的长为12, C为半圆上一点,/ CAB=30°,Ac的长是BA. 12nB.

11、6 nC. 5 nD. 4 n【答案】D.【解祈】试題分析：如團，00, 丁厶加少30° , ；.ZSt?O2ZG6C,厶又直"的长対心春徑心孟瞅島 譽旳应选6考点：弧长的计算.2. 2021四川甘孜州第10题如图，在5X 5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,假设将 AOB绕点O顺时针旋转90°得到 A OB，贝U A点运动的路径 Aa'的长为A.nB. 2nC. 4nD. 8 n【答案】B.【解析】试題分析：l霉个小正方形的边长制为1,二加斗，T将AA绕虽0顺时针腊专妍 得到厶屮 曲,Q Q 江圮 4 二厶曲 曲 显点运动的路径卫 的长知 空匸二

12、匸 应选E.180考点：弧长的计算；旋转的性质.3. 2021福建泉州第6题如图，圆锥底面半径为rem,母线长为10cm,其侧面展开图是圆心角为216°A. 3B. 6C. 3 n D. 6 n【答案】B.【解析】试题分析：圆锥底面半径为rem,母线长为10cm,其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，所以2n r= 216360X 2nX 10,解得r=6 .应选 考点：圆锥的计算.B.4. 2021内蒙古通辽第8题如图，AB是O O的直径，CDLAB / AB=60°, Ct=2. 3，那么阴影局部的面积为DA. 23【答案】AB.nC. 2nD. 4 n【解析

13、】 试题分祈；, /.X03=30* 、 /.Z05=60° 、又 丁弦 仞丄AS, C2?= 23二码冠为冬口皆先芋二;江故迭乩考点：扇形面积的计算.5.2021重庆A卷第9题如图，以AB为直径，点 0为圆心的半圆经过点 C,假设AC=BC=2，那么图中阴影局部的面积是【答案】A【解析】试题分析： AB为直径，/ ACB90。，： AC=BC=J2 , ACE为等腰直角三角形，二.OCLAB / AOC和厶B0C都是等腰直角三角形，Smo=&boc 0/=-2AC=1,a S阴影局部=S扇形ao=901 =.应选A.23604考点：扇形面积的计算.6. 2021浙江台州第1

14、3题如图， ABC的外接圆0的半径为2,Z C=40°,那么Ab的长是【答案】89【解析】试题分析：/ C=40°,aZ AOB80。，考点：三角形的外接圆与外心；弧长的计算.80故答案为：G7. 2021湖南株洲第14题如图，正六边形 ABCDE内接于半径为3的圆Q贝U劣弧AB的长度为【解析】试题分析：如黏连接OB,；以曲为正六边形,:X 1=50* *爼的长为 6空故答轨兀.考点：正多边形和圆；弧长的计算.8. 2021青海第8题如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm CQ=5cm当AC绕点Q顺时针旋转90°时，那么雨刷器 AC扫过的面积为 c

15、ni 结果保存n 【答案】500 n.【解析】试題分析：由諮专的性JS可得OAF" , 0C=CCf , AC=AX CJ ,所以 A0CAA; 2 ；即可得刮雨刷AC 扫过的面积二扇形朋和的面积-扇形的面积二衣X 7T 二 £OQTT um4考点：扇形面积的计算；旋转的性质.9. 2021 南京 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，假设圆锥底面圆半径r=2cm.那么该圆锥母线长cm.【解析】试题分析：圆锥底面圆半径r=2cm, 根据圆的周长公式，得圆的周长为2 r 4侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，.扇形弧长4 又侧面展开后所得扇形的圆心角为120&#

16、176;,120 l根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为旦 1 4 l 6 cm .180考点：圆锥和扇形的计算.10. 2021内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第16题小杨用一个半径为 36cm面积为324 n cm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽接缝的重合局部忽略不计，那么帽子的底面半径为cm.【答案】9.【解析】试题分析：扇形的半径为36cm，面积为324n cm2,所以扇形的弧长 L=2S 2 324 =18n，即可得R 36帽子的底面半径 r L =9cm2考点：圆锥的计算.11. (2021江苏盐城第14题)圆锥的底面半径是 2，母线长是4,那么圆锥的侧面积是 .【答案】8n.

17、【解析】- 1试题分析：底面半径是 2，那么底面周长=4n，圆锥的侧面积 =X 4nX 4=8 n .故答案为：8n.2考点：圆锥的计算.12. (2021贵州铜仁第24题)如图， AB是O 0的直径，点 P为圆上一点，点 C为AB延长线上一点，PAfPC / C=30°.(1) 求证：CP是OO的切线.(2) 假设00的直径为8，求阴影局部的面积.【答案】(1)证明见解析；(2) 84 3 .3【解析】试题井析；(1)连接0P,由笄牘三甬形的性质得出ZGZQ氏门旷、3&即,求出Z0PG9C即 证明是等边三角形，阴影局部的面积二扇形的面积-SP的面积，即可得出结果，试题解析；

18、<1)证明；连接0P,如下图：Zt>30e . .Z.4=ZC=30* 厶妒0=1.ZQ=Z.4=30° , .ZO?C=120°-30c =906 ,即 GP丄CP,二CP 是(30 的切:A3 是GX?的直径，二匕二朋，二厶血片9<T - ZL4-609 , '：OOB-4,边三角形，二阴影局部的面积二扇形。貯的面积-ZW砂的面积二竺空一卜12曲£_4的.3602313. 2021辽宁葫芦岛第 23题如图，在 ABC中，AB=AC以AB为直径的O O分别交线段 BC, AC于点D,E,过点D作DF丄AC垂足为F,线段FD, AB的延长

19、线相交于点 G1求证：DF是O O的切线；2假设CF=1, DF= 3，求图中阴影局部的面积.【答案】1详见解析；2【解析】试題分析=1连接血、切，由脂曲直径可辭出点D再氐的中点，由此得出边为期C的中位线再根 据中位线的性廉呵得出丄巧从而证出DF是O0的坯戋jCF-1,呼右通过解直角三角形得出 CD二氛ZC=0O* ,从而得出AEC为等边三角形，再利用分害!|團形求面积扌扛卩可得出阴影局部的面积. 试题解析匕C1证明：连接AK呱如團所示-TAB为直径，ZADB=90Q，.'.AD1BC,二点D为线段BC的中点.丁点0为A3的中点，二対的中位线.'.or 7 AC,IDF 丄 AGadf®®0的切线.(2)解：在 RtACFD 中，CFl, D2J,7>r+ tanZC= Jj f CD=2jCF "ZWO",FC二AB ?ABC为轸边三角形;战=4.'01-' II AC, ZDO