第16讲　等腰三角形与证明（可编辑word）

1、.第16讲等腰三角形与证明A组根底题组一、选择题1.以下命题错误的选项是A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线相等的平行四边形是矩形C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D.对角线互相垂直的矩形是正方形2.如图,等边OAB的边长为2,那么点B的坐标为A.1,1B.3,1C.3,3D.1,33.平面直角坐标系中,A2,2、B4,0.假设在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形,那么满足条件的点C的个数是A.5B.6C.7D.84.2019滨州如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,那么B的大小为A.40°B.36°C.30°

2、D.25°二、填空题5.如图,ABC是等边三角形,BD平分ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,E=30°,那么BC=. 三、解答题6.2019肥城模拟:如图,ABC中,ABC=45°,CDAB于D,BE平分ABC,且BEAC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.1求证:BF=AC;2求证:CE=12BF.7.2019淄博1操作发现:如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现

3、了:线段GM与GN的数量关系是;位置关系是; 2类比考虑:如图2,小明在此根底上进展了深化考虑.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由;3深化研究:如图3,小明在2的根底上,又作了进一步的探究.向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断GMN的形状,并给予证明.B组提升题组一、选择题1.直线y=-3x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-13x-32+4上,能使ABP为等腰三角形的点P的个数是A.3B.4C.5D.6二、填空题2.2019泰安宁阳模拟“在同一平面内,垂直于

4、同一条直线的两直线平行这个命题的条件是,结论是, 它是一个命题. 3.有一面积为53的等腰三角形,它的一个内角是30°,那么以它的腰长为边长的正方形的面积为. 三、解答题4.动手操作题:如图,在一张长为7 cm,宽为5 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4 cm的等腰三角形要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上,求剪下的等腰三角形的面积.第16讲等腰三角形与证明A组根底题组一、选择题1.C2.D3.A如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点点B除外,即O0,0,C00,4,其中点C0与

5、A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,应选A.4.B根据题目中给定的条件,可以断定ADC、ABD和ABC均为等腰三角形,设C=x°,那么B=x°,ADB=2x°三角形中两内角和为等于第三个角的外角,BAD=2x°,根据三角形内角和180°,解得x=36°,所以答案为B.二、填空题5.答案2解析ABC是等边三角形,ABC=ACB=60°,BA=BC.BD平分ABC,

6、DBC=E=30°,BDAC,BDC=90°,BC=2DC.ACB=E+CDE,CDE=E=30°,CD=CE=1,BC=2CD=2.故答案为2.三、解答题6.证明1CDAB,ABC=45°,BCD是等腰直角三角形.BD=CD.DBF=90°-BFD,DCA=90°-EFC,且BFD=EFC,DBF=DCA.在RtDFB和RtDAC中,BDF=CDA,BD=DC,DBF=DCA, RtDFBRtDACASA,BF=AC.2BE平分ABC,ABE=CBE.在RtBEA和RtBEC中,AEB=CEB,BE=BE,ABE=CBE,

7、RtBEARtBECASA.CE=AE=12AC.由1知BF=AC,CE=12BF.7.解析1MG=NG;MGNG,连接BE,CD相交于H,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,AB=AC,BAD=CAE=90°,CAD=BAE,ACDAEBSAS,CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90°,BHD=90°,CDBE,点M,G分别是BD,BC的中点,MG􀱀12CD,同理:NG􀱀12BE,MG=NG,MGNG,故答案为MG=NG,MGNG.

8、2成立,理由如下:连接CD,BE,相交于H,同1的方法得,MG=NG,MGNG.3等腰直角三角形.连接EB,DC并延长,使其相交于H,M,N,G分别是BD,CE,BC的中点,MGCD,MG=12CD,NGBE,NG=12BE,同1的方法得,ABEADC,AEB=ACD,BE=DC,CEH+ECH=AEH-AEC+180°-ACD-ACE=ACD-45°+180°-ACD-45°=90°,MG=NG,DHE=90°,MGNG.B组提升题组一、选择题1.A以点B为圆心,线段AB长为半径作圆,交抛物线于点C、M、N,连接AC、BC,如下图.

9、令一次函数y=-3x+3中x=0,那么y=3,点A的坐标为0,3.令一次函数y=-3x+3中y=0,即-3x+3=0,解得x=3.点B的坐标为3,0.AB=23.由题意知抛物线的对称轴为x=3,点C的坐标为23,3,AC=23=AB=BC,ABC为等边三角形.令y=-13x-32+4中y=0,即-13x-32+4=0,解得x=-3或x=33.点M的坐标为-3,0,点N的坐标为33,0.ABP为等腰三角形分三种情况:当AB=BP时,以B点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M、N三点;当AB=AP时,以A点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M两点;当AP=BP时,作线段AB

10、的垂直平分线,与抛物线交于C、M两点.能使ABP为等腰三角形的点P的个数是3.应选A.二、填空题2.答案同一平面内两直线垂直于同一条直线;这两条直线平行;真3.答案203或20解析在等腰ABC中,设AB=AC=x.当顶角A=30°时,如图1,作CDAB,垂足为D.sin 30°=CDAC=12,CD=12x,12·x·12x=53,x2=203,即以它的腰长为边长的正方形的面积为203;当底角B=ACB=30°时,如图2,作CDBA,交BA的延长线于D.DAC=B+ACB=60°,sin 60°=CDAC=32,CD=32x,12·x·32x=53,x2=20,即以它的腰长为边长的正方形的面积为20.综上,以它的腰长为边长的正方形的面积为203或20.三、解答题4.解析分三种情况计算:1当AE=AF=4 cm时,如图1:SAEF=12AE·AF=12×4×4=8cm2;2当AE=EF=4 cm时,如图2:那么BE=5-4=1 cm,BF=EF2-BE2=42-12=15 cm,SAEF=12