控制系统分析与设计的状态空间方法1——基础部分

1、1（涉及第二、三、七章）（涉及第二、三、七章）2 经典控制理论的特点经典控制理论的特点l 图形方法为主，物理概念强，直观简便，实用性强图形方法为主，物理概念强，直观简便，实用性强l 控制结构简单，设定和调整参数少，且调整方针明确控制结构简单，设定和调整参数少，且调整方针明确l 以简单的控制结构获取相对满意的性能以简单的控制结构获取相对满意的性能 主要缺点：主要缺点：l 需反复需反复“试凑试凑”，控制结构及性能一般不是最优，控制结构及性能一般不是最优l 仅适用于单变量（仅适用于单变量（SISO）线性定常系统，一般不能）线性定常系统，一般不能用于多变量系统、时变系统或非线性系统用于多变量系统、时变

2、系统或非线性系统l 只考虑系统输入与输出的关系只考虑系统输入与输出的关系,不涉及系统的内部状不涉及系统的内部状态态3 现代控制理论（状态空间方法）的特点现代控制理论（状态空间方法）的特点l 统一表达和处理单、多变量系统，可以分析时变系统一表达和处理单、多变量系统，可以分析时变系统和非线性系统；统和非线性系统；l 核心是状态变量的能控性、能观性；核心是状态变量的能控性、能观性；l 通常寻求通常寻求最优控制性能；最优控制性能；l 重要成果有极点配置、状态观测器、最佳调节器、重要成果有极点配置、状态观测器、最佳调节器、最优控制等。最优控制等。 主要缺点：主要缺点：l 对模型精度要求高，对模型误差及未

3、知扰动的鲁棒对模型精度要求高，对模型误差及未知扰动的鲁棒性较差；性较差；l 状态反馈难以直接实现，而采用状态观测器使控制状态反馈难以直接实现，而采用状态观测器使控制结构复杂、结构复杂、 性能变差。性能变差。4状态空间方法的主要内容状态空间方法的主要内容l 线性系统状态空间描述线性系统状态空间描述 数学模型数学模型（2章）章）l 线性变换与对角规范型线性变换与对角规范型 模型的结构化简模型的结构化简（3、7章）章）l 状态空间描述下的运动分析状态空间描述下的运动分析 分析的基础分析的基础（3章）章）l 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论 稳定性分析稳定性分析（自学）（自学）l 状态可控性和

4、可观性状态可控性和可观性 核心内容核心内容（7章）章）l 状态空间描述下系统的结构分析状态空间描述下系统的结构分析 可控或可观状态可控或可观状态变量的划分变量的划分（自学）（自学）l 状态反馈和极点配置、最优控制、状态观测器设计状态反馈和极点配置、最优控制、状态观测器设计 理论应用理论应用 （8章）章）主要讲主要讲SISO线性定常系统线性定常系统5 (t)x(t)x(t)x(t)xx(t)t(x,),t(x),t(xnn321n21 个个状状态态变变量量阶阶系系统统，有有n n对对于于状态变量状态变量：完全描述系统行为的最小一组变量：完全描述系统行为的最小一组变量称为称为状态向量状态向量构成构

5、成n维状态空间维状态空间x1x3x23 3维状态空间维状态空间x(t0 )x(t1 )x(t )随时间变化产生随时间变化产生状态轨迹状态轨迹一、线性系统的状态空间描述一、线性系统的状态空间描述6例例: R-L-C: R-L-C串联网络串联网络 （输入（输入u u，输出，输出u uc c）dt)t (duC)t ( i)t (udt)t (diL)t (Ri)t (uCC 1. 1. 系统的状态空间表达式系统的状态空间表达式2x1x 2x 1xy 212121xx10yu0L1xx0C1L1LRxx1x状态方程状态方程输出方程输出方程CxyBuAxx 简记为简记为7由由R-L-CR-L-C网络的

6、输入网络的输入输出微分方程求输出微分方程求状态变量的选择是否唯一？状态变量的选择是否唯一？ 212121xx01yu10 xxLRLC110 xx2x21xx 2x y1x状态方程状态方程输出方程输出方程)t (u)t (udt)t (duRCdt)t (udLCCC2C2 该方法具有一般性该方法具有一般性,可用于可用于输入输出输入输出高阶高阶微分方程微分方程不唯一不唯一! !8同一系统不同状态变量之间的关系？同一系统不同状态变量之间的关系？前例前例R-L-CR-L-C网络的两种网络的两种状态变量为状态变量为 cuix ccuux 和和 ccuux 令令xuiP0C110Ciuuuxcccc

7、则则即同一系统不同状态变量之间存在即同一系统不同状态变量之间存在线性变换关系（化简的基础）线性变换关系（化简的基础）9）（前馈矩阵前馈矩阵）（输出矩阵输出矩阵）（控制矩阵控制矩阵）（系统（状态）矩阵系统（状态）矩阵个状态变量，则有个状态变量，则有个输出，个输出，个输入，个输入，设系统有设系统有pq nq pn nn D:C:B:A:DuCxyBuAxxnqp线性系统状态空间表达式的一般形式线性系统状态空间表达式的一般形式A、B、C、D 为常数阵为常数阵 定常系统定常系统A、B、C、D 含时变参数含时变参数 时变时变系统系统系统系统u(t)y(t)10DuCxyBuAxx 线性系统状态空间模型的

8、结构图线性系统状态空间模型的结构图BCADx xyu状态空间描述的示意图状态空间描述的示意图状态方程状态方程 n21xxx输出方程输出方程)t (u)t (y)t ,u,x(gy)t ,u,x(fx ：一一般般的的状状态态空空间间表表达达式式112. 2. 两种模型的相互转化两种模型的相互转化l 由状态空间模型转化为传递函数（阵）由状态空间模型转化为传递函数（阵）l 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型由微分方程或传递函数转化为状态空间模型l 应用应用MATLABMATLAB进行模型之间的相互转化（自学）进行模型之间的相互转化（自学）12DuCxyBuAxx 空空间间模模型型为为设设线线性性

9、定定常常系系统统的的状状态态(sI-A)det(sI-A)detDadj(sI-A)BC)s(G)s(UDBA)C(sI)s(U)s(GY(s)1 传递函数（阵）为传递函数（阵）为系统系统u(t)y(t)G(s)注意！注意！DU(s)CX(s)Y(s)BU(s)AX(s)0 x(sX(s) 对对其其进进行行拉拉氏氏变变换换BU(s)AX(s)sX(s)0)0 x( ：，得得令令初初始始条条件件为为零零征征值值对对应应的的根根称称为为系系统统的的特特为为系系统统的的特特征征方方程程，0)AsIdet( 由状态空间模型转化为传递函数（阵）由状态空间模型转化为传递函数（阵）13 212121xx10

10、yu0L1xx0C1L1LRxx 212121xx01yu10 xxLRLC110 xx1RCsLCs1)s(G2 由同一系统的不同状态空间表由同一系统的不同状态空间表达式导出的传递函数（阵）必达式导出的传递函数（阵）必然相同然相同例例: R-L-C串联网络（输入串联网络（输入u，输出，输出y=uc）14转化的实质：转化的实质：寻找在外部特性上等价的状态空间表寻找在外部特性上等价的状态空间表达式，使其满足输入输出微分方程或传递函数达式，使其满足输入输出微分方程或传递函数 G(s) = C(sI-A)-1B+D并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现。并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现

11、。方法：直接分解法、方法：直接分解法、极点分解法、结构图分解法极点分解法、结构图分解法这种转换不唯一这种转换不唯一! !系统系统u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)A,B,C,D（自学）（自学）由微分方程或传递函数转化为状态空间模型由微分方程或传递函数转化为状态空间模型15例例: 求求3阶微分方程的状态空间表达式阶微分方程的状态空间表达式系统系统u(t)y(t)t (ku)t (yadt)t (dyadt)t (ydadt)t (yd0122233 2x21xx 3x y1x3x32xx 321321210321xxx001yuk00 xxxaaa100010 xxx反映一般规律反映一般规

12、律!16ubyayayayay001)2(n2n)1(n1n(n) 一般规律（输入端不含导数项）一般规律（输入端不含导数项）2xn1n3221xx,xx,xx nx y1x1nx nx x0001yu,b000 xaaaa100001000010 x01n210 17CxyBuAxx 0001c,b000, baaaa100001000010A01n210 即即输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？可互换可互换18基于传递函数的直接分解法：基于传递函数的直接分解法：)s(a)s(basasasbsbsbU(s)Y(s)G(s)011n1nn011n1n

13、 )s(H)s(b)s(U)s(a)s(bY(s)1 则则)s(UH(s)s(a 设设 G(s) 为为SISOSISO系统系统系统系统u(t)y(t)G(s)U(s)Y(s)A,B,C,D)t (hb)t ( hb)t (hb)t (y)t (u)t (ha)t ( ha)t (ha)t (h01)1(n1n01)1(n1n(n) 2xnx 1xnx引入中间引入中间变量变量 h(t)对该方程的处理类同前面！对该方程的处理类同前面！19uha hahahah01)2(n2n)1(n1n(n) 2xn1n3221xx,xx,xx nx 1x1nx nx xbbbbyu,1000 xaaaa1000

14、01000010 x1n2101n210 1021n1nxbxbxb)t (y 称为（第二）可控规范形称为（第二）可控规范形20思考：若传递函数分子分母的阶次相等思考：若传递函数分子分母的阶次相等011n1nn011n1nnnasasasbsbsbsbU(s)Y(s)G(s) 如何导出状态空间模型的可控规范形？如何导出状态空间模型的可控规范形？21练习练习B2.24(1),(2)B2.24(1),(2)； B2.25B2.25； B2.26; B2.27B2.26; B2.2722二、线性变换与对角规范形二、线性变换与对角规范形设系统的两种状态空设系统的两种状态空间表达式为间表达式为DuCxy

15、BuAxx 系统系统u(t)y(t)uDxCyuBxAx ,xPx BuPxPAPxBuxPAxP11 DuxPCy DD,PCC,BPB,PAPA11 和和非奇异线性变换为非奇异线性变换为则有则有存在）存在）（1P 同一系统不同状态空间表达式之间的关系？同一系统不同状态空间表达式之间的关系？23（1）线性变换不改变系统的特征值）线性变换不改变系统的特征值变换前后有变换前后有非奇异线性变换的几个重要性质非奇异线性变换的几个重要性质变变换换后后的的特特征征多多项项式式为为APPA1 AIdetPdetAIdetPdet PAIPdetAPPIdetAIdet111 即变换前后的特征多项式相同即变

16、换前后的特征多项式相同24 DBAsIC)s(G1 （2）线性变换不改变系统的传递函数）线性变换不改变系统的传递函数变换前变换前变换后为变换后为 )s(GDBAsIC DBPPAsIPCP DBPAPPsICP DBAsIC)s(G 11111111 变换关系：变换关系：DD,PCC,BPB,PAPA11 25矩阵矩阵 A 的对角化的对角化（1） 矩阵矩阵A的特征值的特征值i 互异（可变换为对角形）互异（可变换为对角形）设变换矩阵设变换矩阵P为为 n1n21 PP PPP 的的特特征征向向量量. .为为矩矩阵阵A A对对应应特特征征值值P Pi ii i,n,2 ,1i,0P)AI(,n,2

17、,1i,APPiiiii 即即diagAPPAi1 26变换矩阵变换矩阵P的计算的计算:a)先求矩阵先求矩阵 A 的特征值的特征值i，i=1, 2, , nb)由由 (i IA)Pi = 0 确定每一个确定每一个i 所对应的特征所对应的特征向量向量 Pi ， i = 1, 2, , nc)P = P1 P2 Pn d)若矩阵若矩阵A为可控规范形，则实现对角化的一为可控规范形，则实现对角化的一个变换阵为个变换阵为Vandermonde矩阵，即矩阵，即 1nn1n21n12n2221n21 1 1 1P 自证自证27,6 - 11 - 6-1 0 00 1 0A 例：例：试求变换矩阵试求变换矩阵P

18、。 解：解： 3 - 2 - 1APPA 9 4 13 2 11 1 1 1 1 1PA3,2, 1,0)AIdet(1232221321321 验算验算为可控规范形为可控规范形得得由由 28，例：已知例：已知 5 11 -6-6 11 -6-1 -1 0A试求对角化变换矩阵试求对角化变换矩阵P。 T31211111321 p ppP1 3,2,1 0AIdet 的的特特征征向向量量设设属属于于得得由由得得则由则由0A)PI(11 解：解： T 1 0 1 P1p,0p, 1p1312111 即即可解得可解得取取个独立解向量个独立解向量只只的秩为的秩为12 有， 61166106111AI1特

19、征向量不唯一特征向量不唯一满足比例关系满足比例关系0p6p11p6 0p6p10p6 0ppp 312111312111312111 29 3 - 2 - 1APPA9 4 16 2 01 1 1P 9 6 1 P 4 2 1 P3213232 TT验验证证的的特特征征向向量量分分别别为为和和于于用用同同样样的的方方法法可可求求得得属属 30（2）矩阵）矩阵A 有多重特征值（可变换为约当标准形）有多重特征值（可变换为约当标准形） 4 2 3 2 0 15- 6 0A A例：例：其特征值为其特征值为1=2，2 =3 = 1，求将矩阵，求将矩阵A变换为约当变换为约当形的变换矩阵形的变换矩阵P。解：

20、解： 设属于设属于1的特征向量为的特征向量为P1 T2 -1 -2P2p,1p2p0A)PI (131211111 则求得则求得取取, 2211001000APPA 312322232PP)AI( 0P)AI(, 方方程程列列下下满满足足P P和和P P的的特特征征向向量量双双重重特特征征值值3 32 2 100110002APPA4946- 4922- 1 PPppp3 2 32 1 1-5 6 -175 73 1P1p1T32332313T212约当标准形为约当标准形为则求得则求得若取若取 , , 2211001000APPA P3常量常量不再不再是特征向量是特征向量取p13=132三、状

21、态空间描述下的运动分析三、状态空间描述下的运动分析 t02121d )(f)t (f)t (f)s(F)s(F)s(F 则则若若复习：卷积定理复习：卷积定理33为初始值为初始值为常量为常量、为一维，为一维，)t (xbax),t (ub)t (xa)t (x0 tt)a(t0)tt(a00d )(ueb)x(te)t (x 则则)0(x若初值为若初值为 t0)a(tatd )(ueb)0 x(e)t (x 则则零输入响应零输入响应零状态响应（卷积）零状态响应（卷积）本本响响应应形形态态决决定定系系统统的的稳稳定定性性和和基基：ate先考虑最简单的情况先考虑最简单的情况)s(Uasb)s(X 决

22、决定定主主要要由由零零状状态态响响应应的的暂暂态态特特性性ate341. 1. 齐次状态方程的解齐次状态方程的解 0kkk22AttAk!1tA!21AtIe定定义义 0kkkkk22attak!1tak!1ta!21at1e，对于对于0 x)0(x),t (Ax)t (x 0Atxe)t(x 程程的的解解为为则则容容易易验验证证齐齐次次状状态态方方模仿单变量方程的求解模仿单变量方程的求解)t (eAt ：状状态态转转移移矩矩阵阵，记记为为352. 2. 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质A)t ()t (A)t ( Ie)0( 0A ）（）（21)tt ()tt ()t()t ()tt (

23、)t ( )tt ()tt ()tt ( 00110020112 ，必有逆，且逆为必有逆，且逆为或或）（）（ 43)t ()nt( )t ()t ()t ()t ()tt ( n122121 ）的特例有）的特例有作为（作为（）（）（565分段转移特性分段转移特性类似（类似（3）)t (x)tt ()t (x)0(x)t ()t (x00 或或求逆容易求逆容易363. 3. 状态转移矩阵的计算状态转移矩阵的计算拉氏变换法拉氏变换法00110100 x)t ( x)AsI(L)t (x x)AsI()s( X)s(AXx)s( sXx)0(x, )t (Ax)t (x 得得由由 11)AsI( L

24、)t ( 37对角标准形法对角标准形法ediage,diagAPPAttAi1i 则有则有设矩阵设矩阵 A 的特征值相异，对角变换为的特征值相异，对角变换为)0(xe)t (xtA ,xPx 01tA1tA1xPPe)t (x)0(xPe)t (xP 即即利用变换式得利用变换式得1t1tAAtPediagPPPeei 38 t2tt2tt2tt2t11At1e2ee2e2eeee2AsILe )2s)(1s(s )2s)(1s(2- )2s)(1s(1 )2s)(1s(3sAsI)2s)(1s(AsI,3s21s)AsI(的状态转移矩阵的状态转移矩阵例：计算例：计算 3210A解：解：1）用拉

25、氏变换法计算）用拉氏变换法计算39 t2tt2tt2tt2tt2t1tAAtt2ttA1e2ee2e2eeee2 1112e00e2111PPe ee00ee,2001APPA 2）利用对角形变换法计算）利用对角形变换法计算2,1A21 为为可可控控规规范范形形，且且 1112P,211111 P121有有取取 404. 4. 非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解 t00t0)A(tAtd )(Bu)t (x)t (d )(Bue)0 x(ex(t) 则则)t (Du)t (Cx)t (yx)0(x),t (Bu)t (Ax)t (x0 ，初值初值对于对于)t (Dud )(Bu)t (x)t

26、 (C)t (Dud )(Bue)0 x(eCy(t)t00t0)A(tAt 基本形态。基本形态。的特征值决定响应的的特征值决定响应的零状态响应属于卷积：零状态响应属于卷积：A)t ()AsI(L)s(BU)AsI()s(X111 41 tt00tt)A(t0)tt(A000d )(Bu)t (x)tt (d )(Bue)t (xex(t) 则则，若初值若初值00 x)t (x tt00tt)A(t0)tt(A000)t (Dud )(Bu)t (Cx)tt (C)t (Dud )(BueC)t (xCey(t) 42 。和和求求例：已知例：已知)t (y)t (xx21y)t (1u,11)

27、0(x,u10 x3210 x t2tt2tt2tt2tAte2ee2e2eeee2 e 解解： t2tt2tt2tt2tt2tt2tt0)A(tAte3e2e5 . 1e25 . 0ee3e5 . 0e5 . 0e4e3e2e3d)(Bue)0 x(e)t (x t2te5 . 4e25 . 0)t (Cx)t (y 参考前面参考前面的例的例43练习练习B3.4B3.4（1 1）；）； B3.5B3.5（1 1）; B3.7; B3.744四、状态可控性四、状态可控性问题：状态变量能否通过输入问题：状态变量能否通过输入 u 任意改变？任意改变？DuCxyBuAxx 线性系统状态空间模型的结构

28、图线性系统状态空间模型的结构图BCADx xyu45u0L1uiRR1RR1C100RRRRRRRRL1uiRRRRux,ixcL423142423131cL3241c2L1 时状态方程为时状态方程为，当，当例：选取状态变量为例：选取状态变量为显然，通过显然，通过 u 可以控制状可以控制状态变量态变量 iL，但不能控制，但不能控制 uc，所以系统是不完全可控的。所以系统是不完全可控的。46u0L1uiRR1RR1C1RRRRRRC1RRRRRRL1RRRRRRRRL1uiRRRRcL423142431331142242423131cL3241 时状态方程为时状态方程为当当虽然虽然 u不能直接控

29、制不能直接控制 uc，但可以通过控制但可以通过控制 iL 来间接来间接影响影响uc， 可以证明系统是可以证明系统是完全可控的。完全可控的。47可控性定义可控性定义状状态态可可控控的的。则则称称系系统统是是，转转移移到到任任一一终终端端状状态态态态状状内内，使使系系统统由由某某一一初初始始有有限限的的时时间间区区间间，能能在在若若存存在在对对于于)t (x)t (x)t (u),t (Bu)t (Ax)t (x10t,t10 。原原点点，即即终终端端状状态态为为状状态态空空间间的的即即初初始始状状态态对对应应零零时时刻刻，性性定定义义等等价价简简化化如如下下：为为了了分分析析方方便便，将将可可控

30、控0)t (x,)0(x)t (x10 为何不研究输出为何不研究输出y(t)是否可控？是否可控？48-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1uCR1CR1xxCR100CR1xx221121221121 ，则状态方程为，则状态方程为例：如图选取状态变量例：如图选取状态变量可以证明，可以证明，R1 C1 = R2 C2 时系时系统不可控（直观解释？）统不可控（直观解释？）; 但但 R1 C1 R2 C2 时系统完全可时系统完全可控。控。49u(t)R1R2L+- y x1+- x2C较复杂的情况：较复杂的情况：DuCxyBuAxx 如图所示的系统是否可控？如图所示的系统是否可控？（K

31、alman问题）问题）一般情况下，对于任意给定的一般情况下，对于任意给定的 A、B，系统是否可控？，系统是否可控？难以直观判断！难以直观判断！50线性定常系统的可控性判据线性定常系统的可控性判据1. 凯莱凯莱-哈密尔顿（哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理）定理011n1nnasasasAsI)s(f 设特征多项式为设特征多项式为0IaAaAaA)A(f011n1nn 则有则有IaAaAaA011n1nn 为相应系数为相应系数i011n1n0211n2nn1n1nb,IbAbAbAaAaAaAaA 51,2,1,0k,IcAcAcA1n,1,0iAA011n1nkni 的的线线性性组

32、组合合：）（达达为为的的任任意意高高次次幂幂都都可可以以表表即即将上述结果应用于状态转移矩阵可得将上述结果应用于状态转移矩阵可得1n1n100kkk22AtA)t (A)t (I )t (tAk!1tA!21AtIe 522. 可控性判据可控性判据 1n101n1n0it0iiBAABBd )(u)(BA)0(x 1 0d )(Bue)0 x(e)t (x111t0)A(ttA1 ，即即转转移移到到内内将将在在根根据据可可控控性性定定义义，希希望望0)t(x)0(x1 t0,1 1t0Ad )(Bue)0 x( 1n0iikAA)( e 又又1n,1,0i,d)(u)(1t0ii 式中式中也可

33、同样分析也可同样分析显然，显然，0)t (x1 53结论：线性定常系统完全可控的充要条件为结论：线性定常系统完全可控的充要条件为 nBAABBrankQrank1nc 满满秩秩。件件为为上上式式有有解解的的充充分分必必要要条条BAABB1n Qc ：可控性判别阵：可控性判别阵（充分性证明可参考胡寿松教材）（充分性证明可参考胡寿松教材）54可可控控。则则若若；则则不不可可控控对对于于单单输输入入系系统统，若若0Qdet0Qdetcc 。是是否否为为零零来来判判断断可可控控性性可可根根据据，不不是是方方阵阵对对于于多多输输入入系系统统，TccTccccQQdetQrankQQrankQ 其其中中r

34、 r为为B B阵阵的的秩秩. .是是否否成成立立判判据据为为对对于于多多输输入入系系统统，简简化化nBA,AB,B,rankrn 关于可控性判别阵的说明：关于可控性判别阵的说明：55-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1uCR1CR1xxCR100CR1xx221121221121 系统的状态方程为系统的状态方程为 R1 C1 R2 C2 时时 det Qc 0，Qc 满秩，系统状态完全可控；满秩，系统状态完全可控；但但 R1 C1 = R2 C2 时时 det Qc =0， Qc 不满秩，系统状态不完全不满秩，系统状态不完全可控。可控。 222222212111cCR1CR1C

35、R1CR1ABBQ重新讨论前面的例：重新讨论前面的例：)CR1CR1(CRCR1Q22112211c 56Kalman问题：如图所示系统是否可控？问题：如图所示系统是否可控？uL1CR1xxLR00CR1xx1212121 R1 R2 C L 时，时，Qc 满秩，系统状态完全可控；满秩，系统状态完全可控；但但 R1 R2 C = L 时，时， Qc 不满秩，系统状态不完全可控。不满秩，系统状态不完全可控。 222211cLRL1CR1CR1ABBQu(t)R1R2L+- y x1+- x2C)CR1LR(CLR1Q121c 57解：解： rank B = 2， 简化判别阵为简化判别阵为 213

36、21321uu100110 xxx110010011xxx例：判断下列多输入系统的可控性例：判断下列多输入系统的可控性 111001011110ABBBAABBQrn1c0313121313detQQdetT1c1c 系统不可控系统不可控58五、状态可观测性五、状态可观测性问题：反馈控制需要状态信息，但问题：反馈控制需要状态信息，但 x 通常无法通常无法直接测取，能否通过输出直接测取，能否通过输出 y 确定状态变量？确定状态变量？DuCxyBuAxx 线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图BCADx xyu59142423131214231424231312132411c2L

37、1x)RRRRRRRR(yu0L1xxRR1RR1C100RRRRRRRRL1xxRRRR,uy,ux,ix 时有时有当当例：选取例：选取显然，通过显然，通过 y 可以确定状可以确定状态变量态变量 x1 ( iL )，但不能确，但不能确定定 x2 ( uc )，所以系统是，所以系统是不完全可观测的。不完全可观测的。1u60-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C121221121221121xxyuCR1CR1xxCR100CR1xx 间间表表达达式式为为例例：系系统统如如图图，状状态态空空可以证明，可以证明，R1 C1 = R2 C2 时系时系统不可观测（直观解释？）统不可观测（直

38、观解释？）)t (x)t (x)t (x)t (x210201 但但 R1 C1 R2 C2 时系统完全可时系统完全可观测。观测。61Kalman问题：如图所示系统是否可观测？问题：如图所示系统是否可观测？uR1xxR1yuL1CR1xxLR00CR1xx12111212121 u(t)R1R2L+- y x1+- x2C难以直观判断！难以直观判断！62 对于任意给定的输入对于任意给定的输入u(t) ，如果能在有限的时间，如果能在有限的时间区间区间 t0, t1内，根据输出内，根据输出y(t) 的量测值唯一地确定的量测值唯一地确定系统的初始状态系统的初始状态x(t0) ，则称系统是可观测的。，

39、则称系统是可观测的。状态可观测性定义：状态可观测性定义：。控控制制输输入入为为即即初初始始状状态态对对应应零零时时刻刻，：测测性性定定义义等等价价简简化化如如下下为为了了分分析析方方便便，将将可可观观0)t (u,)0(x)t (x0 63 0At00)tt(Att)t(Att)t(A0)tt(AxCet y0t,0)t (uxCeBueCt y BueCxCet y0000 ，则有，则有令令 线性定常系统的可观测性判据线性定常系统的可观测性判据 01n1n101n0k0kkxCACAC)t ()t ()t (xA)t (C)t ( y nCACACACrankQ rank1n2o 有解的充要

40、条件是有解的充要条件是Qo ：可观测：可观测 性判别阵性判别阵D = 0根据根据Cayley-Hamilton定理定理64结论：线性定常系统完全可观测的充要条件为结论：线性定常系统完全可观测的充要条件为nQranko 来来判判断断。可可通通过过直直接接计计算算系系统统出出单单输输oQdet 。是是否否为为零零来来判判断断可可根根据据系系统统出出多多输输QQdetoTo 说明：说明：m m为为C C阵阵的的秩秩。判判据据为为的的简简化化多多输输出出系系统统n,CACACrankmn 65-u(t)R1R2C2+-+ y x1+- x2C1 x11yuCR1CR1xxCR100CR1xx22112

41、1221121 R1 C1 R2 C2 可观测可观测R1 C1 = R2 C2 不可观测不可观测 2211oCR1CR111CACQ重新讨论前面的例：重新讨论前面的例：同可控性同可控性条件条件66Kalman问题：如图所示系统是否可观测？问题：如图所示系统是否可观测？uR1x1R1yuL1CR1xxLR00CR1xx111212121 u(t)R1R2L+- y x1+- x2CR1 R2 C L 可观测可观测R1 R2 C = L 不不可观测可观测 LRCR11R1CACQ2211o)CR1LR(R1Q121o 同可控性同可控性条件条件67注：非奇异线性变换不改变系统的可控性注：非奇异线性变

42、换不改变系统的可控性 和可观测性和可观测性设变换关系为设变换关系为CPC,BPB,APPA11 即变换前后的可控性判别阵同秩即变换前后的可控性判别阵同秩则变换后的可控性判别阵为则变换后的可控性判别阵为 c11n11n1111ncQPBAABBPBAPABPBPBABABQ 可观测性的情况类似（自证）可观测性的情况类似（自证）68对偶性原理对偶性原理 1cT1nTTTTT1n2ToQC)A(CACCACACACQ 别别阵阵的的可可控控性性和和可可观观测测性性判判分分别别为为系系统统和和 )B,C,A()C,B,A(QQTTT11111o1c 1o1nTT2TTTTTT1nTcQ)A(B)A(BA

43、BBBAABBQ ，有有别别阵阵的的可可控控性性和和可可观观测测性性判判对对于于系系统统)C,B,A( 可观测（或可控）可观测（或可控）可控（或可观测）可控（或可观测）称为对偶系统，且有称为对偶系统，且有与系统与系统系统系统11 69六、可控性、可观测性与传递函数六、可控性、可观测性与传递函数012230122asasasbsbsb)s(U)s(Y)s(G 数数为为设设系系统统输输入入输输出出传传递递函函 xbbbyu100 xaaa100010 x210210 标标准准形形为为则则状状态态空空间间模模型型的的可可控控70 122222caaa1a10100BAABBQ可控性判别阵为可控性判别

44、阵为显然满秩，系统状态可控。显然满秩，系统状态可控。上述结论可推广到任意上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为阶系统，表达为可控标准形的系统一定是状态可控的。可控标准形的系统一定是状态可控的。71观观测测标标准准形形，即即的的另另一一种种对对偶偶实实现现为为可可012230122asasasbsbsb)s(U)s(Y)s(G x100yubbbxa10a01a00 x210210 （满秩，可观测）（满秩，可观测）TcoQQ 可观测性判别阵为可观测性判别阵为上述结论可推广到任意上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可观测阶系统，表达为可观测标准形的系统一定是状态可观测的。标准形的系统一定是状态可观测的。T1T1T1111BC,CB,AAC,B,A 则可观标准形的则可观标准形的设可控标准形为设可控标准形为)(72可观测标准型的一般表达式可观测标准型的一般表达式 x100