误差分析与处理基础

1、第章 误差分析与处理基础测量：人们借助于检测仪表通过实验方法对客观事物取得数量信息的过程。真值：在一定时间、空间条件下客观存在的被测量的确定数值。测量值：检测仪表指示或显示被测参量的数值即仪表读数或示值。测量误差：测量值与真值的差。在科学研究及科学实验中，精度是首要的；在工程实际中，稳定性是首要的，精度只要满足工艺指标范围即可。3.1 误差的概念与分类测量误差的概念及表达方式一、绝对误差测量值与真值之差 X检测仪表指示或显示被测参量的数值即仪表读数或示值（测量值） X0在一定时间、空间条件下客观存在的被测量的真实数值（真值），一般情况下，理论真值是未知的，在工程上，通常用高一级标准仪器的测量值

2、来代替真值。二、相对误差（评定测量的精确度）1、实际相对误差 2、示值相对误差 为了减小测量中的示值误差，当选择仪器、仪表量程时，应使被测量的数值接近满度值，一般使这类仪器、仪表工作在不小于满度值23以上的区域。三、引用误差1、引用误差示值绝对误差x与仪表量程L之比值q 2、最大引用误差仪表量程内出现的最大绝对误差与该仪器仪表量程L之比值，即 仪表在出厂检验时，其示值的最大引用误差qmax不能超过其允许误差Q（以百分数表示）即 3、精度等级工业检测系统常以允许误差Q作为判断精度等级的尺度。规定：取允许误差百分数的分子作为精度等级的标志，也即用最大引用误差中去掉百分号（%）后的数字来表示精度等级

3、，其符号是G， 精度等级为G的仪表在规定的条件下使用时，它的绝对误差的最大值的范围是 例3-1-1 检定一个满度值为5A的1.5级电流表，若在2.0A刻度处的绝对误差最大，xmax+0.1A，问此电流表精度是否合格?解 按式(3-1-6)求此电流表的最大引用误差 2.01.5即该表的基本误差超出1.5级表的允许值。所以该表的精度不合格。但该表最大引用误差小于2.5级表的允许值，若其它性能合格可降作2.5级表使用。例-1-2 测量一个约80 V的电压，现有两块电压表：一块量程300 V、0.5级，另一块量程l00 V、1.0级。问选用哪一块为好?解 如使用300 V、0. 5级表、按式(3-1-

4、4)、(3-1-9)求出其示值相对误差为 如使用100V、1.0级表，其示值相对误差为 测量误差的分类根据测量误差的性质及产生的原因，可分为三类：一、随机误差随机误差是测量结果与在重复条件下对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值A之差。即 式中 随机误差是测量值与数学期望之差，它表明了测量结果的分散性，经常用来表征测量精密度的高低。随差越小，精密度越高。二、系统误差在相同测量条件下，对同一被测量进行无限多次重复测量所得结果的平均值A与被测量的真值A0之差。即系统误差表明了测量结果偏离真值或实际值的程度。系统误差越小，测量就越准确。所以，系统误差经常用来表征测量准确度的高低。三、粗大误差在

5、相同的条件下，多次重复测量同一量时，明显地歪曲了测量结果的误差，称粗大误差，简称粗差。粗差是由于疏忽大意，操作不当，或测量条件的超常变化而引起的。含有粗大误差的测量值称为坏值，所有的坏值都应去除，但不是主观或随便去除，必须科学地舍弃。正确的实验结果不应该包含有粗大误差。四、准确度、精密度和精确度测量中发现了粗大误差，数据处理时应将其剔除，这样要估计的误差就只有系统误差和随机误差两类。 由上式可见，各次测量值的绝对误差等于系统误差和随机误差的代数和。精确度又称为精度，它反映系统误差和随机误差综合影响的程度；准确度则是反映系统误差影响的程度，精密度则是反映随机误差影响的程度。因此，精度高说明准确度

6、和精密度都高，意味着系统误差和随机误差都小。3.2 随机误差的处理 随机误差的概率分布一 、随机误差的分布规律1 、正态分布正态分布的测量值的概率密度为（图321（a）正态分布的随机误差的概率密度为（图321（b）正态分布的随机误差的统计特点：1)对称性绝对值相同的正、负误差出现的次数相同。2)抵偿性： 3)单蜂性：在处，概率最大)有界性：随机误差的绝对值不会超过一定界限。随机误差在的区间内取值的概率为1。标准偏差越小，正态分布曲线越陡，则小误差出现的概率也越大，大误差出现的概率就越小，这意味着测量值越集中。因此，的大小说明了测量值的离散性，即测量值相对于真值的分散程度。2、均匀分布（图）特点

7、是误差均匀地分布在某一区域，在此区域内误差出现的概率密度处处相同。而在该区域以外误差出现的概率为零。 被测量真值和测量方差的估计值理论上计算被测量的真值（即数学期望）与方差需要即有无限多个测量数据。但是在实际情况下，只能进行有限次测量，得到有限多个测量数据。利用这有限多个测量数据我们可以求得被测量的真值（即数学期望）的估计值和方差的估计值。这里“”是表示估计值的符号。一 、被测量真值的最佳估计值通常把测量数据的算术平均值作为被测量真值的最佳估计值，即把测量值与算术平均值之差称为剩余误差，简称残差，即二 、方差的估计值方差的估计值： 标准偏差的估计值： 三、算术平均值的标准偏差及其估计值算术平均

8、值的标准偏差为 算术平均值的方差估计值 算术平均值的标准偏差估计值 在实际测量中，一般取n次左右即可。例3-2-1 甲、乙二人分别用不同的方法对同一电感进行多次测量结果如下（均无系统误差及粗差）： 甲 (mH)：1.28，1.31，1.27，1.26 ，1.19 ，1.25 乙 (mH)：1.19，1.23，1.22 ，1.24， 1.25，1.20试根据测量数据对他们的测量结果进行粗略评价 解按式(3-2-9)分别计算两组算术平均值得 按式(313)分别计算两组测量数据的方差估计值(总体方差估计值) 按式（16）计算两组测量数据算术平均值的方差估计值时，得到的结果是可见两人测量次数虽相同、但

9、算术平均值方差估计值相差较大，表明乙所进行的测量精密度高。 测量结果的置信度与表示方法一、 置信区间与置信概率1、置信度测量结果值得信赖的程度。随机变量的“置信度”，通常用随机变量落于某一区间（称“置信区间”）的概率（称“置信概率”）来表示。2、置信区间：测量数据的取值范围即置信区间为随机误差的取值范围即置信区间为3、置信概率：随机变量落于 “置信区间”的概率。置信概率可用概率密度曲线 与置信区间横坐标包围的面积表示（图）。测量数据落入置信区间的概率等于随机误差落入置信区间的概率。4、超差概率：随机变量落在置信区间以外的概率，又称为置信水平或显著性水平。5、置信系数：置信区间极限与标准偏差的比

10、值。二、置信度的计算1 、正态分布之测量数据的置信度2、有限次测量情况下的置信度通常采用分布来计算置信概率。 随机变量的概率密度服从分布。t分布的一个重要特点是其分布与无关。当测量次数n较小时，t分布与正态分布的差别较大，但当时，分布趋于正态分布。置信概率： t落在区间（，）的概率 式中为置信系数。被测量真值以置信概率处在区间内。 例3-2-2 对某电源电压进行8次独立等精密度、无系统误差的测量，所得数据(单位为V)为：12.38，12.40，12.50，12.4812.4312.4512.46，12.42。试按置信概率99.5估计电压真值在何区间。解（） 求测量数据的算术平均值（）由式(31

11、4)可计算出标准偏差估计值 （）由式（17）求算术平均值的标准偏差估计值（）由给定的置信概率及测量次数n8（用自由度n-1=7）查表2得(5)估计电压真值即所处区间，以，代入得 12.38，12.50。故电压真值三 、测量结果的数字表示方法、如果已知测量仪器的标准偏差，作一次测量，测得值为X，则通常将被测量X的大小表示为 、当用n次等精度测量的算术平均值作为测量结果时，其表达式为 3.3 系统误差的处理系统误差的分类一、恒定系差在整个测量过程中，误差的大小和符号固定不变。二、变化系差 是一种按照一定规律变化的系统误差。根据变化的持点又可分为1、累积性系差2、周期性系差及3、复杂变化系差判断系统

12、误差的方法一、实验对比法只适用于发现恒定系差。二、剩余误差观察法主要适用于发现变值系差三、马利科夫判据用于发现累积性系差。四、阿卑赫梅特判据用以发现周期性系差。 系统误差的消除方法一、消除产生误差的根源二、对测量结果进行修正在测量之前，用上一级标准（或基准）对仪器仪表进行检定, 取得受检仪器的修正值。在用受检仪器测量时，将修正值C加入测量值x中，即可消除系统误差，求出实际值 三、采用特殊测量法1、恒定系差消除法(1）零值法零值法（又称平衡法）是把被测量与作为计量单位的标准已知量进行比较，使其效应相互抵消，当两者的差值为零时，被测量就等于已知的标准量。(2)替代法替代法（又称置换法）是先将被测量

13、x接入测量装置使之处于一定状态，然后以已知量A代替x，并通过改变A的值使测量装置恢复到x接入时的状态，于是x=A。(3)交换法交换法又称对照法。在测量过程中，将测量中的某些条件（如被测物的位置等）相互交换，使产生系差的原因对先后两次测量结果起反作用。将这两次测量结果加以适当的数学处理（通常取其算术平均值或几何平均值），即可消除系统误差或求出系统误差的数值。(4)补偿法补偿法是替代法的一种特殊运用形式，在两次测量中，第一次令标准器的量值N与被测量x相加，在N+x的作用下，测量仪器给出一个示值；然后去掉被测量x，改变标准器的量值为N，使仪器在N的作用下给出与第一次同样的示值，则x=N-N（5）微差

14、法（虚零法）微差法只要求标准量与被测量相近，而用指示仪表测量标准量与被测量的差值。这样，指示值表的误差对测量的影响会大大减弱。2、变值系差消除法(1)等时距对称观测法可以有效地消除随时间成比例变化的线性系统误差。（2）半周期偶数观测法可以消除周期性的系统误差。3.4 粗大误差的处理 粗大误差的判别设为含有粗大误差的异常测量值，为包含此异常值在内的所有测量值的算术平均值，为包括此异常值在内的所有测量值的标准误差的估计值，为置信系数，则判断在置信区间之外即属于异常数据的依据是，其残余误差大于，即 （3-4-1）因此，凡大于K倍标准偏差的剩余误差可认为是粗差，它所对应的测量值就是坏值，应予以舍弃。拉依达准则拉依达准则表达式为： 当某个可疑数据Xb符合上式时，则认为该数据是坏值，应予剔除。拉依达准则只适用于测量次数较多（例如以上），测量误差分布接近正态分布的情况。格拉布斯准则格拉布斯准则表达式为： 式中的判别值是和测量次数、超差概率相关的数值，可通过查表获得。例3-4-1 对某电源电压进行5次等精