第三节基本定理的推广

1、第三节 基本定理的推广一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题复合闭路定理复合闭路定理四、小结与思考一、问题的提出 2.d11 , zzz计算计算实例实例 , 1 2 在内的闭曲线在内的闭曲线是包含是包含因为因为 zz根据本章第一节例根据本章第一节例4可知可知, 2.2d11 zizz由此希望将基本定理推广到多连域中由此希望将基本定理推广到多连域中.二、复合闭路定理1. 闭路变形原理闭路变形原理 , )( 在多连通域内解析在多连通域内解析设函数设函数zf ),( 1正向为逆时针方向正向为逆时针方向单闭曲线单闭曲线内的任意两条简内的任意两条简为为及及DCC. 11DDCC全含于全含于为边界的区

2、域为边界的区域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作两段不相交的弧段作两段不相交的弧段DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 显然曲线显然曲线 BFABFAA , , , , ,FFEE 添加字符添加字符为了讨论方便为了讨论方便 . 均为封闭曲线均为封闭曲线 , D因为它们的内部全含于因为它们的内部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)(

3、 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d)( 1 CCzzfzzf或或DC1C1DAA BB EE FF , 1 成一条复合闭路成一条复合闭路看看及及闭曲线闭曲线如果我们把这两条简单如果我们把这两条简单CC : 的正方向为的正方向为 , 按逆时针进行按逆时针进行外面的闭曲线外面的闭曲线 C , 1按顺时针进行按顺时针进行内部的闭曲线内部的闭曲线 C ), , (的左手边的左手边内部总在内部总在的的的正向进行时的正向进行时即沿即沿 . 0)( dzzf那末那末 解析函数沿闭曲线的积分解析

4、函数沿闭曲线的积分, , 不因闭曲线在不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值. .闭路变形原理闭路变形原理说明说明: : 在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. .2. 复合闭路定理复合闭路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2

5、C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCCDC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , , , , :( , , , , 2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC 三、典型例题例例1 1解解 . 1 ,d12 2曲线曲线在内的任何正向简单闭在内的任何正向简单闭为包含圆周为包含圆周计算积分计算积分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1 也包

6、含这两个奇点，也包含这两个奇点， , 21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 例例2 2 . 1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC, 上处处解析上处处

7、解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,. 0d zzez例例3 3. , ,d)(1 1为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求nazazn 解解 , 内部内部在曲线在曲线因为因为 a a , 故可取很小的正数故可取很小的正数 , : 1内部内部含在含在使使 az1 , )(111内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通域在以在以 naz由复合闭路定理由复合闭路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201

8、d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很方用起来很方便便, 因为因为不必是圆不必是圆, a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心, 只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线内即可内即可.例例4 4. , ,d)(121 00为自然数为自然数闭曲线闭曲线的任意正向的任意正向为含为含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn , 0za 此处不妨设此处不妨设 . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin则有则有四、小结与思考 本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它掌握并能灵活应用它是本章的难点是本章的难点.常用结论常用结论: . 0, 00,2d)(1 1nnizazn思考题思考题 复合闭路定理在积分计算中有什么用复合闭路定理在积分计算中有什么用? 要要